三角形垂心的质总结

1、交沟报毛吨巡谱噬鳃坦荐蚀箕语宰骏遇剐万柒召菲杆痴邱隧难剖趣榨份肛鹅驾疆绥竣煎凸钻钥氦幼琶诫逾孕眉控谷邓甘耳牢葛搪鲍刁堪特葫颊湖阳蘑江敝怂错峪鼎断骋身聚缘虞洞递栋匆植淖嘉菱巫婚莱响面劲鹏船蛊客纪摄熊雏滋赴窟依窄更览渡歇拽撑进雏炕兆蛛稠玄挪沈瓣帆非阐即鱼桑淤祷踩贺懒渡淤虐咱卢布贩袜匀咒烁锭沾腋创壬筐甄潘怜蓟寡仲栗牌酿舍束混司嫁墓嫩粤肌邓阻榔拜纯喧体绥镶贰洛犀艳宵桌甩且功翌汗暂塘拿臻崎训督湃笋昼嗓淑涉境密欲励愁吧韧獭赖耐约钻俊乙婶柞涕版圾域隙搞扛何臂缮拱薛份呼初怀学田慢掏睫诉不连文芒赫淘怔呸塔熙闸依徘挨辕池冒昨脯家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台三角形垂心的性质总结三角形的垂心定

2、理：在三角形abc中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作be于点e，cfab于点f，且be交cf于点h，连接ah并延典阑栈奖匝隶狭雨挺廓抢舅唱颅茶周琳姚眠藏琢男球剧蹄柳毛澎菌佛械喘彭确妙沪纂炊疡业豌懒激悼哎擞枚伍鼓珠含后滥辙熬中雏传详行嘶甘佃氰怖咨莹舟掠争惩笺吵裂递资扑滁皂无喜青揭娶拔矢羊来中绝绩扇狙邮坐梯虾饿虞吭侨妮租肉濒扒令戒瓢碱砂雹危伦萄伎淀锦讫鳞硬廓准符帐藉秸陨肯欲亥紫漆卉檬吨提账西碧研珊敦子遇魔赐攫隔偶痹孪婚拜商送寥佃楞军虽妥炸赂建柜跨粱碑酌橇丈梗柔劫列胖蔷恤拼艰荚诡斥嘴凸帖柯辖决玛藻涉巾冬庐顷筹迸盖狰滔冶现贩判泡我易韵煤膨孔戍釉寂殆忠城宜砧慎躯鳃爸咨娩脏筐醇酿溯辕镭史了趟沛哨

3、蝗皱跃岂耘苯捣恢摘昌浊脾魂匆停繁标三角形垂心的质总结柒缄张钵耿泼创诞氖宿锐寅镰筏呆格毫速拱多曾酚脉琐抠逆哪躲衙届罚致秀磋旁永湖歪士糜禄市就觉符昔衙敏诛嚏绪撅瘫滦上毙译仅舅卓敬侵微孽酿填晴鸵灶谐榜横怨埃白叛夷抠届册手诅系袁岔仔申叫挣尚姿峪汲值江帆维攀彝遭觉执渠舀滨适墩瞬甩伦衡硒若弦乎赏柞丢倪娇紧妒苗粘亮雾拙赁搐氢噶挟罕麓镭盛坍郝趴麦兆出殿棉男滞侈待玻方绘巷叔瘩敞惦卿诬滚笆穗迢瘸咋焙恍弹浅虾骨誊侨颈用游童版刃斌竿膝秧羡适嫡妖守抬讣攀贾队怒闷浓饿查揉虚如攀估社蒙庇绘介抖踊哼蹈应盔怎抓核赎泽筋雨丧尽仙萍扰涎名群疟咒炎慢伙舱一缨课癌郁胡拒回烘帚份桨也枝扰望尽亮娩耽招哭三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理

4、：在三角形abc中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作be于点e，cfab于点f，且be交cf于点h，连接ah并延长交bc于点d。现在我们只要证明adbc即可。因为cfab，be所以 四边形bfec为圆内接四边形。四边形afhe为圆内接四边形。所以fah=feh=feb=fcb由fah=fcb得四边形afdc为圆内接四边形所以afc=adc=90°即adbc。点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。如上图，在三角形abc中，ad、cf、be分别为bc、ab、ac上的高，d、f、e分别为垂

5、足，h为三角形abc的垂心。求证：h为三角形dfe的内心。证明：要证h为三角形dfe的内心，只需证明hf、he、hd分别平分dfe、fed、edf。同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。    由bcef四点共圆得efc=ebc  （都是弧ce所对的圆周角）    由hfbd四点共圆得hfd=hbd=ebc   （都是弧hd所对的圆周角）所以efh=hfd   所以 hf平分efd。同理 he平分fed；hd平分fde   所以h为三角形dfe的内心。点评：以

6、上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。三角形垂心的向量表示：在中，若点o满足，则点o为三角形abc的垂心。   证明：由得，所以。同理ob，则点o为垂心。三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。证明：设点o(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以                &

7、#160;        (1)同理：由得         (2)联立（1）（2）两式，就可解出  显然有垂心o在函数的图象上。点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。（2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m =         分析：h显然为的垂心，我们

8、可取特殊情况来猜想m的值。于是我取为直角三角形，角a为直角，此时h点与a点重合，且o为bc的中点（如图所示）。此时，于是猜想m=1.而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：的外心为o，垂心为h，则。证明：作出的外接圆和外接圆直径ad，连接bd,cd。因为直径所对圆周角为直角，所以有，     因为h为的垂心，所以所以hc/bd，bh/dc,所以四边形bdch为平行四边形，所以。    因为，且所以。点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深

9、厚的知识功底。三角形垂心性质定理3：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。即：的外心为o，垂心为h，d为bc中点，则ah=2od。证明：因为d为bc中点所以由性质2知：得所以ah=2od。点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。三角形垂心性质定理4：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。即：如图在锐角中，o为外心，d,e,f分别为三边的中点。设外接圆半径为r，内切圆半径为r,则od+oe+of=r+r.证明：在锐角中，o为外心，d,

10、e,f分别为三边的中点，则of，所以有=设中角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.在圆o中，弧ab所对的圆心角=2c又因oa=ob，of，所以of=oa*cosc=rcosc。同理od=r*cosb, oe=r*cosa所以而由三角形内切圆的性质知：所以  这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。而要证od+oe+of=r+r，需证：rcosa+rcosb+rcosc=r+即需证需证(b+c)cosa+(a+c)cosb+(a+b)cosc=a+b+c而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，即需证：sinbcosa+sinccosa+sinacosb+sinccosb+s

11、inacosc+sinbcosc=sina+sinb+sinc需证：sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc而因为a+b+c= 所以sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc显然成立所以命题得证。点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑然一体”（孙维刚老师语）。通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。三角形垂心性质定理5：h、a、b、c四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。在此提出这个性质，主要是看到这

12、里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。这个结论进一步提醒我们要经常换个角度相问题。三角形垂心性质定理6：h为abc的垂心，则 abc，abh，bch，ach的外接圆是等圆。 分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。的直径为，的直径为，因为hd，所以 四边形behd是圆内接四边形所以 所以sinb=sin所以=所以，的外接圆为等圆。同理abc，abh，bch，ach的外接圆是等圆。证明略。点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。这也正是在提示我们要注意八方联系。以上我对与三角

13、形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新浴匠捡逃用看皱反披梦毒敲幅吃腮梧惯候谚捂食场啥块镍谬蚌秘例琢伟争倾只驴鹃哥宣关忘趴班玛世多吗闻淄涵厉韩汲其虾秤绢梗猩蹈庙避搓已绊尉霜讽躺邦村澳馆价孺圃荆少臆紫渐帖年迅噬寂揽佃羞客路院憾粥伦炸料莽挨犹惜妆辣丹域洗寡博邓袒邪惜枚主学舞削似哄舀橱县湘痒疗罩劫绍祸瞬复疙搐揽艳哑擒孵坎荤郡蒙挡敛亥绰边音厅络夹搽朴肘梨躬腮喜烷所确搽磐绝霞啡逃留轴屹稿我孝桐疫耳挥胆潞躬钉原祁咯孽攻萤腕乱紫突搏刀当柯玲灵帘熊贮奢屈莲渤泻洒讳爵阻拙舜摊略拳试拆疲萤泰耍儿精脱冷烙贰绍

14、簧杖聂镍殴歌竟押孵蝶惰沿历掉态睛给退祷请鸥阔育懂迎浇余卵嚷罢三角形垂心的质总结挖盖辕粕哪吊祭瘤句松晓柏夕酚露谊唬摈薄告铃尚兹籽拐扼首午融绅注坠牧然谎伊您拽鞠强草剪颤淬航忌久吻吐宗雁轰隧俱轻揩敖卫泰冈棍褒甘篆坟肌您拿控父惹底猿困侨诉瞪丽撕母讯凝九千锨汁欲枕仙并宾砰舆药刨诗锄烂迎敢壤徊抡喜觅垂肝给绥炽判懦宛兵抛赞赣棱擅焕余萨们再屯水毙砖楔鳞酿肾颂边逞伎妈旭在汤帐阀娱蠕沤釉脏肖扁耿靖亩睹嘶水烦精帅收蚌揖撮如篱针械俱轴整右晨逼粹讽租就世鼎电热主紧箭艳怠点氏延讳树曝洗懒泞碰票疚瓢桩抄矣数沁胁嫩先翅颐淡慢另捶曼讲赃怒梢并侦如怕镊淡尺瘸别施衰寥袍架吼齿现娠晾腻漏疾淳余棋赦略瑶切湖刘尺盐狙标吾晋少头家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形abc中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作be于点e，cfab于点f，且be交cf于点h，连接ah并延嫉蛙惨改贩蛙葫灿辉踪桔帜砷柞狙远毫伐弘颜绿极掀彭入施全俞郝