高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修11

1、第一课时椭圆的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的简单几何性质1,2求椭圆的标准方程3,9椭圆的离心率4,7,10综合问题5,6,8,11,12,13【基础巩固】1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是(d)(a)(-1,0),(1,0)(b)(-6,0),(6,0)(c)(-,0),(,0)(d)(0,-),(0,)解析:因为椭圆的焦点在y轴上,且a2=6,所以长轴的两个端点坐标为(0,-),(0,).故选d.2.椭圆+=1和+=k(k>0)具有(d)(a)相同的长轴(b)相同的焦点(c)相同的顶点(d)相同的离心率解析:椭圆+=1和+=k(k>0)中,不妨设a&g

2、t;b,椭圆+=1的离心率e1=,椭圆+=1(k>0)的离心率e2=.故选d.3.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(b)(a)+=1(b)+=1或+=1(c)+=1(d)+=1或+=1解析:因为a=4,e=,所以c=3.所以b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.故选b.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(b)(a)(b)(c)(d)解析:因为2x2+3y2=m(m>0)+=1,所以c2=-=.所以e2=.故选b.5.(2018·衡水周测)若ab为过椭圆+=1中心的线段,f1为椭圆的焦

3、点,则f1ab面积的最大值为(b)(a)6(b)12(c)24(d)48解析:如图,=+=2.又因为of1=c=3为定值,所以点a与(0,4)重合时,of1边上的高最大,此时aof1的面积最大为×4×3=6.所以的最大值为12.故选b.6.(2018·昆明质检)椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是(d)(a)3(b)(c)2(d)解析:设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0得2y2+my-4+=0.=m2-8（-4）=0,即-m2+32=0,所以m=&

4、#177;4.所以两直线间距离最大是当m=4时,dmax=.故选d.7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆c:+=1(a>b>0),直线l为圆o:x2+y2=b2的一条切线,若直线l的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为. 解析:直线l的倾斜角为,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线l:y=tan(x-a),即y=(x-a),直线l为圆o:x2+y2=b2的一条切线,则=b,即b=a,c=a,则e=.答案:8.(2018·许昌高二月考)若f1,f2是椭圆c:+=1的焦点,则在c上满足pf1pf2的点p的个数为. 解析:因为椭圆c:+

5、=1,所以c=2.所以f1(-2,0),f2(2,0),其短轴的端点为b(0,2),a(0,-2),所以f1bf2=f1af2=90°.又短轴端点与f1,f2连线所成的角是椭圆上动点p与f1,f2连线所成角中的最大角,所以在c上满足pf1pf2的点有2个.答案:2【能力提升】9.已知椭圆c:+=1(a>b>0)的左、右焦点为f1,f2,离心率为,过f2的直线l交c于a,b两点.若af1b的周长为4,则c的方程为(a)(a)+=1(b)+y2=1(c)+=1(d)+=1解析:e=,又af1b的周长为4,所以4a=4,所以a=,所以c=1.所以b2=a2-c2=2.故c的方程

6、为+=1.故选a.10.(2018·上饶质检)已知圆c1:x2+2cx+y2=0,圆c2:x2-2cx+y2=0,椭圆c:+=1(a>b>0),半焦距为c,若圆c1,c2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是(b)(a),1)(b)(0,)(c),1)(d)(0,解析:圆c1,c2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,所以只需2c<a,所以0<<.即椭圆离心率的取值范围是(0,).故选b.11.(2017·全国卷)设a,b是椭圆c:+=1长轴的两个端点,若c上存在点m满足amb=120°,则m的取值范围是(a)(a)(0,

7、19,+)(b)(0,9,+)(c)(0,14,+)(d)(0,4,+)解析:当点m为短轴的端点时,amb最大;0<m<3时,a(-,0),b(,0),m(0,).由题意可知amo60°,所以|om|1.1,所以0<m1.m>3时,a(0,-),b(0,),m(-,0).由题意可知amo60°,所以|oa|3,|-|3,3,m9.故选a.12.设椭圆e的方程为+=1(a>b>0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为.(1)求e的离心率e;(2)设点c

8、的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,证明:mnab.(1)解:由题设条件知,点m的坐标为(a,b),又kom=,从而=.进而得a=b,c=2b,故e=.(2)证明:由n是线段ac的中点知,点n的坐标为(,-),可得=(,).又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以·=0,故mnab.【探究创新】13.在直线l:x-y+9=0上任取一点p,过点p以椭圆+=1的焦点为焦点作椭圆.(1)p点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解:|pf1|+|pf2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是p到f1,f2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点p,使|pf1|+|pf2|为最小.(1)如图,连接pf1,pf2,f1(-3,0),f2(3,0),作点f2关于直线l:y=x+9的对称点f2,则f2(-9,12),那么f1f2与直线l的交点即为所求的点p.易知f1f2的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得p(-5,4).(2)由(1)知2a=6,a=3,所以b2=a2-c2=3