解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为:且（1）母线平行于X轴; 解：（1）从方程(X 1)2 (y 3)2x y z 2 o(2 )母线平行于直线X(zy,2)225，试求这些柱面的方程。(X1)2(y3)2 (z 2)225Xyz 2o中消去X，得到：（zy 3)2(y3)2(z 2)225即：y2 z2 yz 6y5z ?2o此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点 Mo(Xo,Yo,zo)，过M o）且平行于直线X y的直线方程为z cXXotXoX tyyotyoy tzZoZoz而M。在准线上，所以(X t1)2(yt 3)2 (z 2)2

2、25x yz2t 2o上式中消去t后得到：X2 y23z22xy8x 8y 8z26 o此即为要求的柱面方程。X2、设柱面的准线为X2y2z2z，母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量1, 0, 2任取准线上一点M 0 （x0, y0 ,z0），过M o的母线方程为:XoXoyoyoz Zo 2tzoz 2ty z 0上的圆的圆心为M°(21511 1315, 15圆的方程为:(X 令(y112 /15)(z9875而M。在准线上，所以:x t2y(z 2t)2x t2(z2t)消去t,得到：4x225y2z2 4xz20x10z0此即为所求的方程。3

3、、求过三条平行直线x y乙x 1y z1,与x 1 y 1 z 2的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x y z 0 :它与已知直线的交点为0, 0,0 ,( 1,0,1),(-,-,-)，这三点所定的在平面x33 3此即为欲求的圆柱面的准线。xtX1x tyy1ty1y tzz1tz1z t将此式代入准线方程，并消去 t得到:2 25( xyz2xyyz zx) 2x11y13z0又过准线上一点，且方向为1,1,1的直线方程为:此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为(u)x(u), y(u), z(u)，母线的方向平行于矢量S X,Y,Z试证明柱面的矢量式参数方程与坐标

4、式参数方程分别为：x Y(u) vSxx(u)Xvyy(u)Yvzz(u)Zv式中的u, v为参数。证明：对柱面上任一点 M (x, y,z)，过M的母线与准线交于点 M (x(u), y(u),z(u)，则,MM vS即 OM OM vS亦即 Y Y(u) vS, Y Y(u) vS此即为柱面的矢量式参数方程。又若将上述方程用分量表达，即：x, y, z x(u), y(u), z(u) vX,Y,Zx x(u) Xvy y(u) Yv z z(u) Zv此即为柱面的坐标式参数方程。§4.2锥面1求顶点在原点，准线为x2 2z 1 0, y z 1 0的锥面方程。解：设为锥面上任一

5、点M (x, y,z)，过M与0的直线为:X YZxyzzt，将它们代入准线z 0，试求它的方程。设其与准线交于(Xo,Yo,Zo)，即存在t,使Xo xt ,Yo yt ,Zo 方程，并消去参数t，得：x2 2z(z y) (z y)20即：x2 y2 z20此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为(3, 1 , 2)，准线为x2 y2 z2 1, x y解：设M(x, y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：令它与准线交于(Xo ,Yo ,Zo)，即存在t，使X。3(x 3)t丫01(y !)tZ。2(z 2)t将它们代入准线方程，并消去t得：3x25y27 z2 6xy2yz1

6、0xz 4x 4y 4z 40此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求1、四卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴I与i, j ,k等角，故I的方向数为1:1:1与I垂直的平面之一令为 x y z 1平面x y z 1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点（1,0,0）, （0 ,1,0）, （0,0 ,1），、 1 1 1该圆的圆心为（-，），故该圆的方程为:3 3 32(y1)21 2 (z 3)（I）2x 2y z 110它即为要求圆锥面的准线。X 丫x yZz令它与准线的交点为（X0 ,Y0 ,Z0），即存在t，使x°Xt ,丫0yt ,Z

7、76; zt，将它们代入准线方程，并消去t得：xy yzzx 0此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为（1,2,4），轴与平面2x 2y z0垂直,且经过点（3, 2, 1）的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：乞 $ 2z 42 21过点（3, 2, 1）且垂直于轴的平面为：2(x3) 2(y 2) (z1) 0对锥面上任一点 M （x, y, z），过M与顶点O的母线为:即:该平面与轴的交点为(H,20,37)，它与(3,2,1)的距离为:999(I 3)2(29°2)299372(6 1).1163要求圆锥面的准线为:11611 220 237 2(x)2 (y )2 (z )29

8、992x 2y z 110对锥面上任一点 M (x, y, z)，过该点与顶点的母线为:X 1 Y 2Z4x 1y 2z4令它与准线的交点为(X。,Y0 , Zo)，即存在 t，使X。1(x 1)t,Y02 (y2)tZo 4 (z 4)t将它们代入准线方程，并消去 t得：51x251y212z104 xy 52 yz 52 zx518x516y252z 129906、已知锥面的准线为(u)x(u), y(u), z(u)，顶点A决定的径矢为0x0, y0, z0 ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：ruiuuv (u)(1uuv) 0与xvx(u)(1v)x°yvy

9、(u)(1v)y°zvz(u)(1v)z0式中，u, v为参数。uuuur证明:对锥面上任-点 M (x, y, z)，令OM，它与顶点A的连线交准线于uumruuuurM (x(u), y(u), z(u)，即 OM (u)。uuuu uuuuuuiuuuQ AM /AM，且AM 0 (顶点不在准线上)ujuuujuuuAM vAMr ur uiuur uu 即 o v( (u) o)r uuuuuu亦即 v (u)(1 v) o此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即:x,y,zvx(u), y(u), z(u)(1 v)xo, yo,zoXvx(u)(1v)X

10、oyvy(u)(1v)yozvz(u)(1V)Zo此为锥面的坐标式参数方程,u,v为参数。§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：y 1 z1 2 z 1 X 绕一1 1(1)；(2)；(3)x 11x2x 11y1y31绕x绕一1y1y1z 12z 1旋转2旋转(4 )空间曲线-绕z轴旋转;32 z X2 2x y绕z轴旋转。1解：(1 )设 Mi(Xi, yi,Zi)X 1是母线 -1z 1j上任一点,2过M1的纬圆为:又Mi在母线上。从(1)(3)(x2x(y yJ(z 1)22(z2X1乙)02 2y1(乙 1)(1)消去Xn %上，得到:5x2 5y2 2z2 2xy4y

11、z4xz 4x 4y4z 8此为所求的旋转面方程。(2)对母线上任一点 皿豪为，,)，过M1的纬圆为:因M1在母线上,从(1)(x xj (y yj x2 y2 (z 1)2(3)消去x(, y1, N，得到:2(zx1乙)0录(z 1)2(1)246z 2 30可能的值讨论这是什2 2 25x 5y 23z 12xy 24yz 24xz 24x 24 y此为所求的旋转面的方程。(3)对母线上任一点 皿豪为，,)，过该点的纬圆为：z z(1)2 2 2 2 2 2X y zXiyizi又Mi在母线上，所以：Xiiyiz-(3)i33从(i)( 3)消去Xi, y-, z，得到:9( X2 y2

12、) 10z2 6z 90此为所求的旋转面方程。(4 )对母线上任一点M-(Xi, y-z)，过Mi的纬圆为：z 乙(1)2 2 2 2 2 2X y zyi(2)又Mi在母线上，所以乙 Xi2(1)Xi2 yi21从(i)( 3)消去为，,乙，得到：x2 y2 i2Q z z-i x-i i 0 z i即旋转面的方程为：X2 y2 i (0 z i)2、将直线-绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就0 i么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点 Mi(Xi,yi,z!)，过Mi的纬圆为：(i)zziz222X(3)从(1)(3)消去!, %,乙，得到:x22z2此即为所求旋转面的方程。当0,

13、0时，旋转面为圆柱面(以 z轴为轴)；当0,0时，旋转面为圆锥面(以 z轴为轴，顶点在原点)当，0时，旋转面变为z轴；当 0,0时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线 的参数方程为x x(u), y y(u),z z(u)，将曲线 绕z轴旋转，求旋转曲 面的参数方程。此即为旋转面的矢量式参数方程，u, v为参数。其坐标式参数方程为：xx2(u) y2(u) cosyx2(u) y2(u)sin(02 )z z(u)§4.4椭球面2 2 2xyz1、做出平面x 20与椭球面丐42941的交线的图形。解：平面x 220与椭球面笃42941的交线为:2 y 6x，即2 2乞-1273N图

14、形为2、设动点与点（1,0,0）的距离等于从这点到平面x 4的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点M （x,y,z），要求的轨迹为，则M(x,y, z)、(x 1)2y2 z22 2 23x 4y 4z 122即:4此即为的方程。2 z -2 c1的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，设定方向的方向余弦分别为,，试证:证明：沿定方向,到曲面上一点,Q该点在曲面上2 2 r2 aa2b2c2该点的坐标为 r ,r ,r 1即-2ra2b2-12222x4、由椭球面a2 21的中心,b c引三条两两相互垂直的射线， 分别交曲面P1, P2, P3，设 0P11,0P22,0P

15、33，试证:1112121b7证明：利用上题结果，有1i222ria(i1,2,3),0)uuu其中i, i, i是OPi的方向余弦。um3是坐标矢量关于若将oP（i 1,2,3）所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴,新坐标系的方向余弦，从而1，同理,321所以,1112r1Dr3111r2abc(1232)1b2c2(32)即：兀1231b25、一直线分别交坐标面yoz, zox, xoy 于三点代 B,C，当直线变动时，直线上的三定点p，它与三点的距离分别为A, B,C也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点a,b,c，当直线按照这样的规定（即保持A,B,C分别在三坐标面上）变动，试

16、求p点的轨迹。解:设 A(0, y1,Z1), B(x2,0, Z2),C(X3, y3,0)，则知:X3Z1X2Z1Z21,y3Z2Z2Z1X2NZ2%C ( ,urnmuZ1Z2Z2Z1uuur 又设 p(x,y,z)，Q pA a, pB b, pCx2(yyi)2(ZZi)22 a(i)(XX2)22y(ZZ2)2b2(XX2Z1 )2(yZ2yi-)2Z2c2Z2ZiZ|Z2又p在AB的连线上,yiZi(4)从（i）XiyiZ2Zi(4)消去 yi, Zi, X2, Z2，得到2y_b2此为点的轨迹方程。2x6、已知椭球面a2 y b2(Cb)，试求过X轴并与曲面的交线是圆的平面。解

17、：设要求的平面为:它与椭球面的交线为:(*)2y_b2若（*）为圆，因都在球面：2即有:亦即:即:2刍ic0以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a，从而交线上的点XyZ2i、2,b2) cZ 2 22aab22 c22 ai2 1 c22aa2)2ibc2.2b.2 : b a222i (i)z*）2(i(22ab22 a2 c2 a22z2z2a202b a2 c2c b2 a2满足要求的平面方程为：y0§4.5双曲面1画出以下双曲面的图形:2 2(1) Z 匸1692z1;42 x162 y4解：图形如下:z2、给定方程z21 (A B C 0)试问当 取异于A,B,C的各

18、种数值时，它表示怎样的曲面?解：对方程1 (A B C 0)(*)1o、当 A时，（*）不表示任何实图形；2o、当AB时，（*）表示双叶双曲面;3o、当B C时，（*）表示单叶双曲面;4o、当 C时，（*）表示椭球面。2 2 2yoz面（或xoz面）3、已知单叶双曲面7 t 11，试求平面的方程，使这平面平行于且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为 x k，则该平面与单叶双曲面的交线为:(*)亦即2y_92 z 4k24为使交线（*）为二相交直线，则须:0，即k则该平面为：y 3所以，要求的平面方程为：x 2同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,4、设动点与

19、（4,0,0）的距离等于这点到平面 x 1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：设动点M （x,y,z），所求轨迹为，则M (x, y, z).(x八2224) y z2 22亦即：z141212此为的轨迹方程。2225、试求单叶双曲面xy_1与平面1645解：题中所设的交线为：2 2 2x y z 12x 1(x 4)2 y2 z2 4(x 1)2x 2z 30的交线对xoy平面的射影柱面。1645x 2z 3 0从此方程中消去z，得到：x220y224x 1160此即为要求的射影柱面方程。6、设直线I与m为互不垂直的两条异面直线,C是I与m的公垂线的中点，A, B两点分别在直线I , m上滑

20、动，且 ACB 90o，试证直线 AB的轨迹是一个单叶双曲面。证明：以I , m的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令 x轴与I , m的夹角均为，公垂线的长为2c，若设tgy x 0 I:'z cy x 0m:z c，则I，m令 A(xi, %,c), B(X2, y2, c)，则有:y1X10, y2X20又AC CB，所以：x122y1c22X22 2y2c（为X2)2 (y1 y2)2 (2c)2亦即X1X2yiy2(2)又设M （x, y,z）为AB上任一点,XX1y y1从（1）2 即：二- cX2X1y2 y1z2c（3）中消去2y2 2cXi, yi,X2, y2，得:

21、2 2X 2(1 )x2、 2 (1 )y2z22c2l不垂直m ,（4）表示单叶双曲面，7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为:1即 AB的轨迹是单叶双曲面。asecucosvy bsecus inv ctguatgucosv btgus invcsecua secu cosv解：对方程：ybsecus invctgu消去参数u,v，有:2 y b2此即为单叶双曲面;X又对方程：yatgu cosv btgus invcsecu消去参数u,v，有:2b2此即为双叶双曲面方程。§4.6抛物面1已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的

22、椭圆抛物面的方程为:XOZ 面与 yoz面，且过点(1,2,6) 和 (-, 1,1)，3b22z令确定a与b1,1）均在该曲面上。1(1,2,6)和(3,有:1422 12ab119a2b2136 162 a5 ,b25从而所以要求的椭圆抛物面的方程为：2 236x 6y2z55即: 18x2 3y2 5z2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹;（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹， 解：（1）取定平面为 xoy面，过定点且垂直于已知两异面直线间的距离为 2a，夹角为2 xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为（0,0,a），而定平面即为

23、z 0，设比值常数为c,并令所求的轨迹为，则点 M (x, y, z)即 x2 y2(1 c2)z2 2az a20x2 y2 (z a)2R此为的方程。（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取 角相等，则二异面直线的方程为：x轴，使其与二异面直线的夹y tg x 0z ay tg x 0z a设所求的轨迹为，则M (x, y, z)y z a tg 0x y1 tg；| yz a2z ax2xy'tg0011tg、1 tg22tg2(1).tgtg2 （z a）2 （z a）2 （xtg y）2 经同解化简得：z Sin C°S xya此即所要求的轨迹方程。3

24、、画出下列方程所代表的图形： 2 （1）厶 z 1 ；（ 2）z xy ；（ 3） 9 (z a)2 (z a)2 (xtg y)24、画出下列各组曲面所围成的立体的图形:(1)y0, z 0,3x y 6,3x 2y 12,x（2）x2 y2乙三坐标平面，x y 1；（3）xJyz2* Jyx, y1（4）x y1,y z1解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:xau cosvxa(uv)ybus inv与yb(uv)z1 2 u2z2uv式中的u,v为参数。解：对方程x au cosvy bus inv1 2z u22 2消去参数u,v得：笃与 2Z a b这正是椭

25、圆抛物面的方程。对方程x a(u v) y b(u v)z 2uv2 2消去参数u,v得：笃爲 2Za2 b2这正是双曲抛物面的方程。§4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、求下列直纹面的直母线族方程：(2) z axy（1）x2 y2 z20解：（1）从原方程得：x2 z2y2即：（x z）（ x z） y y亦即：x zyytx zx z ty (x z)t y为了避免取极限，将上方程写成：s(xz)ty(xz)tsy若将原方程变形为：y2 z2x2，则可得到:u(y z) vx v(y z) ux（1）（2）若令u12(ts)， vs），则（2）便是（1）原曲面的直母线族是（

26、1），其中S,t不全为零。（2 ）原方程变形为：- ayx亦即：ay txz xt ay tax得:z syax s（1） （2）即这原曲面的两组直母线族方程。2、求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）（1） xy1 1z；0（2）2解：（1）原方程等价于xyz从此式中消去，得：2z2 x y2x 2 y 4z 4x 2y 4 z 4此即为直母线（1 ）所形成的曲面。2 2（2 ）从原方程中消去得：-L z2 1164此即为（2）的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面16422xy164xy.42解：双曲抛物面z的两族直母线为:u2 y2 xz上，求平行于平面3x2y 4z 0的直母线。xu

27、（4第一族直母线的方向矢量为：2, 1,u第二族直母线的方向矢量为：2,1, v据题意，要求的直母线应满足:2324u02324v0要求的直母线方程为:2x4、试证单叶双曲面 a1的任意一条直母线在xoy面上的射影,其腰圆的切线。证明：单叶双曲面的腰圆为2 x2 a2y_b2两直母线为:它在xoy面内的射影为将（2）的第一式代入（xaz cv(1xz1 一-(1acv2x1vavz0；）b v的第一式得:1v -v;(-v)24y2V）(2)即：古w v）2y2上述方程的判别式为：1(vv)2（2 ）与（1）5、求与两直线-一63行的直线的轨迹。4(丄b2 (v2相比，证毕。y z 12 12

28、)2(v1)2(- v)20v vz 4相交，而且与平面2x 3y21(xo, yo, zo),(禺，y“ Z1)，则x0 6y。Z0 1y18乙43213221又动直线与平面2x 3y 50平行,所以，2(x。xj 3( y0yj 0解：设动直线与二已知直线分别交于XiXoyiyoZiZo2 2从(1)-( 4)消去 Xo，yo，Zo，Xi，yi，Zi，得到:+ 冷 4z6、求与下列三条直线X 1 X 1 tX 2 y 1 z 2 ,与y z y z345都共面的直线所构成的曲面。X 1X解：动直线不可能同时平行于直线及直线y zy不妨设其与第一条直线交于p(1,)注p(1,)与第二条直线的

29、平面为：(X 1) (y z) o过p与直线2匕J2的平面为(X 1) 3(y z) 3(x 1) (y z)0345动直线的方程为：(X 1) (y z) o(x 1) 3(y z) 3(x 1) (y z) o从上式中消去参数，得：X2 y2 z2 1此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明：单叶双曲面2Xa22 2y2z2 1的一族直母线为b2c2u(X-)v(1¥)acb/X v(-Z)u(1f)acb过该族中一条直母线的平面为:su(- -) v(1&

30、#39;)tv(-Z)u(1)oa cbacb即：su(-sv(1 )tv(-)tu (1 辿 0(1)acbacbXzb)m(-)n(1另一族直母线为：acbn(-a-)cm(1b)过该族中一条直母线的平面为:k m(-)n(1-y)ln(-m(1)0a cbacb即 km(?)kn(1 )nl () ml(1-)0（2）acba cb对照（1）、（2）得，只要令m s, k u, nt, l v，得（2）便是（1）了亦即过U族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线,同理，对V族的直母线也有类似性质。2对双曲抛物面：笃a22y2Z其族直母线为:x y2ub¥)zaxu(a(*

31、)取其中的一条（即取定u），显然平面- 2u通过直母线（*），但该平面不通过 bV族直母线中的任何一条，这是因为: v族直母线的方向矢量为-,-,2b a ab1小2v0a ab abx平面一a2u不能通过v族中的任何直母线。8、试求单叶双曲面2 x2 a2 y b22冷 1上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。c解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u母线和一条v母线，所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为:x Z w( )a cx zyU（； ；）W（1 Pxt(av(1y)t(1v(Xa将两方程化为标准式，得:y2bvtc(v22 2x a(t v)2vt2 2z a(v t )2vtt 2a(v t )由此求出二直线的交点坐标为:a(uv wt) x,yvw ut又二直线垂直，b(vwut) ,z vw utc(uv wt)vw uta2 (u2w2 )(v2t2) 4b2uvwtc2(u2 w2)(v2 t2)02 2 2 2 2 2“2 a (uv wt) b (vw ut) c (uv wt) z 2(vw ut)2/22a (u v2,2、 ，2,22 2