线性代数期末考试题库资料大全

1、期末考试试题线性代数I一、填空题(15分，每题3分)31、(12 3) 2 =。2、若(0,2,4,t)T , (0,3,t,9)T , (1, t,2,3)T 线性相关，则 t=13、A 是 2 阶方阵，B 是 3 阶方阵，| A| 2 , | B | 4，则 | A| 1 B|=。4、 若A是3阶方阵，且2I A， I A，IA均不可逆，则 A的特征值为 。2、设A是4阶方阵，A的行列式|A| 0，A、必有一列元素全为零BC必有一列向量是其余列向量的线性组合3、设1是A的特征值，则。A 1是A2 A的特征值BC 2是A2 A的特征值D4、设向量组 1 ,2，A、任意r个向量线性无关C任意r

2、 1个向量线性相关n的秩为r,则A中。、必有两列元素对应成比例D、任一列向量是其余列向量的线性组合、2是A2A的特征值、1是A2A的特征值则此向量组中B、任意r个向量线性相关D、任意r 1个向量线性相关5、二次型 f (x1,x2, X3) 2xj 4x； 6xf4x1X2 6x2X3对应的矩阵为 240120A 446 B、223 c、066033三、计算行列式：(16 分，每题8分)123.n41231、34122 、 103.n120 .n23 411234123 .0211四、(10分)求解矩阵方程X 210111113432220140243 D、4260360665、二次型f2X1

3、4xf 4xf 2 X1X2 2x1X3 4x2X3 是正定二次型，则的取值范围是二、选择题(15分，每题3分)1、已知x为n维列向量，xTx1,A xxT,I为n阶单位阵，则。A A2AB 、A2IC、A2I D 、A2A五、（10分）已知向里组1 , 2 ,3 , 4线性无关，11 ti 2 , 22七2 3 , 33七3 4，其中ti ,2x1x2 2x1x3t2 , t3是数，试证向量组1 , 2 , 3线性无关。期末考试试题答案及评分标准线性代数I、填空题:(15 分,每题3分）1、10 2（-2，1）1、D2、C3、B4、三、计算行列式:（16 分尢每题8分）41231123341

4、214121、2341=101341=1012341234(15 分,、14、2，-1，2每题3分）二、选择题:11233110311=201 1 102221 1 10111、C5=160.8分X12x2X32x402x-iX2X3X413x1X22x3X4a101七、（12分）已知A020，求一个正交阵 P，使PT AP为对角阵，并写出此对角阵。101六、（12分）讨论a为何值时，下列方程组无解，有解？并在有解时求出其通解。用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换八、（10分）2X15x|123n123. n103n026.2n2、120n=003.2n=n!.8分1230000. n四、

5、（10 分）2111001110011 11001解:2100102100100 320121110012111000 331021110011001/301/30111/302/30102/312/3121 11/301/3从而21 02/312/3 6分11 1110所以X =11 31/301/3221 10 分2/312/3=。4328/352/3110五、（10分）证明：设k1 1k22k33 2分即 ki( ib 2) k2(2 t23）k3(3 t34) .4 分从而有k1 (t1k1 k2)2(t2k2k3 )3t3k34 .6 分k10因为i,t1k1 k20 .8 分2，3

6、，4线性无关，所以七2丘2k30t3k30得 k10 ,k20，k30，故1，2，3线性无关。.10分六、（12分）12 12 012120121 20解：21 11 10515105151.3分31 21 a0515a000 0a 1a 1时,无解；5分a 1时，有无穷组解； 7分2/5X12x2X32x40令X31/5等价方程组为：5x4X40，得特解.8分5x2 x31003/50导出组：x-i 2x2X32X401/51得基础解系1， 2.10 分5x2 x3 5x4010012/53/50通解为：1/51/51+ k1+k2，其中k1，k2为任意常数。.12 分010001101七、

7、（12分）解：|A|020=(2)2=0，101得特征值10 ,232。.2分对10，线性方程组（I A）xx1 x302x20x1 x30X30，得基础解系：11/, 210 ，单位化得10 ;.4 分x2011/. 2为:为:X1X3X1X300X1X3，得基础解系.02 1 ,00(,33(2,3)2, 2)2正交化得：221001T. 2单位化得：2130,.9 分,01八2对232，线性方程组（I A）x30.6分11010910 ,-7分11011/ .201八2因此所求正交阵为 P010.11 分1/ .201/ . 20且PT AP2.12 分2 x2 x3 = ( xiX2X

8、3)24(X2X3)2冬.2分4y1X1X2X31 11令y2X214X3,0 11/4y34X30 01111100 1 05/41011/4010 0 11/40001001 0 0105X1*2 匚 *34故经可逆变换X21y2-y3，-.8分4八、（10分）解:（人x22x3X3)24x|X3y30 ,.4分1 0100 115/41 0010 011/4.6分0 1001 001可将二次型化为f2y14y；5 2 _ y。.10分4期末考试试题线性代数II填空题（每题4分，共20 分）1、设A为三阶方阵，且 A 2，贝U 2A 2、设A为三阶方阵，且R（A） 3 , ABO，则B 。

9、3、 已知2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A）1必有一个特征值 。4、已知 i （5,2, 3,1）, 2（4,1, 2,3）,3（1,1, 2,1）,4（3,4,1,2），则向量组1, 2, 3,4（线性相关或线性无关）。2 2 25、 若二次型f（X1,X2,X3） %! 4x2 2x3 2tX1X2 2X1X3是正定的，那么t应满足不等式 二、选择题（每题4分，共20分）1、设A为n阶方阵，则|A 0的必要条件是（）（A ）两行元素成比例（B）必有一行为其余行的线性线性组合（C） A中有一行元素全为零（D）任一列为其余列的线性组合2、 设A、B、C均为n阶方阵，且 ABC I，则必有

10、（）（A）ACB I（ B）CBA I（ C）BAC I （ D）BCA I3、 若向量组，线性无关；，线性相关，则（）（A） 必可由，线性表示（B） 必不可由，线性表示（C）必可由，线性表示（D）必不可由，线性表示4、设n元齐次线性方程组 Ax 的系数矩阵 A的秩为r，则Ax有非零解的充分必要条件是 （）（A）r n（ B） rn（C）rn（D） r n5、若A B，则有（）（A）I A I B（B） |AB（C）对于相同的特征值，矩阵A和B有相同的特征向量（D）A和B均与同一个对角阵相似ab acae三、计算行列式（本题 6分）bdcddebfcfef01011四、（本题10分）已知（I

11、A）XB，其中A111，B20，求矩阵X。10153五、（本题12分）问取何值时，下列方程组无解，有唯一解,有无穷多解?%1%2X32%1X2%32 ，当方程组有无穷多解时求其通解。X1 X2 X33六、（本题14分）312设矩阵A2 02，求可逆相似变换矩阵P，使得P 1AP为对角阵，并计算 A100。2 11七、（本题12分）设三元二次型 f （x1, x2 ,x3） x； 2x； x； 2x1x2 4x1 x3 2x2x3（!）写出该二次型的矩阵表达式，并求其秩；（2）用配方法将该二次型化为标准形，并写出所作的实可逆线性变换。 八、（本题6分）（L 1 分）1设n阶方阵A满足A2 2A

12、IO，试证明：A与A 2I均可逆，并求其逆矩阵。期末考试试题线性代数II评分标准填空题（每题4分，共20分）31、4；2、0;3、；4、线性无关;2二、选择题（每题4分，共20分）5、Bab ac aeb c ebdcd de=adfbc ebfcfefb ce1、B ；2、D ；3、C ；4、A ；三、计算（本题6分）1 1 1= abcdef 1111 1 1=4abcdef(I A)XB1X (I A) 1B110A 101102四、（本题10分）4 0 00 1212 23 1313 13 13(L 2 分)（L 2 分）（L 2 分）（L 2 分）（L 2 分）（L 3分）23 23

13、 13A)1 12111 120111 1300（1）（五、（本题12分）当2时，方程组无解；当2且 1时，方程组有唯一解,当 1时，方程组有无穷多解，1 1x k1 0k2 11 0（L 3分）20（L 4 分）2） 3（1）（L 2 分）（L 2 分）（L 2 分）20 ，其中K,k2为任意实数（L 2分）0六、（本题14分）特征值10, 2（3 分）A属于1的线性无关的特征向量为1（L 2 分）（L 2 分）110由于1 ，2 ,2线性无关，101110 0所以,令P122，则有 P 1AP1101 11 0A属于2的线性无关的特征向量为2 , 20 1（L 2 分）0100则 A10

14、P1P 1110 02123121 2 2 1312002(L2分)1 0 11211311七、(本题12分)112X1(1) f(X1,X2,X3)121X2(L2分)211X3f的秩为3(L2分) f (人 X2 2x3)2(X2X3)24x"(4分)y1X1X22x3X1y1y2y3令线性变换y2x2X3，则可逆线性变换X2y2y(2 分)y3X3X3y3将二次型f化为标准形f2y12y24y32(2分)八、(本题6分)由A(A 21) I得円A 211则A与A 2I都不为零，所以A与A 2I均可逆；(2分)且 A 1 A 2I( 2分)(A 2I) A(2 分)期末考试试题线

15、性代数III一 填空题(每题4分，共20分)1设A、B均为三阶方阵，且 A 2, |B3 则 2AB 1 。2、已知 A2 2A I 0 则(A I ) 1 =二选择题(每题4分，共20分)1、 设A为n阶方阵，贝y A 0的必要条件是()(A) A中必有一行(或一列)元素全为零(B) A中必有两行(或两列)元素成比例(C) A中必有一行为其余各行的线性组合(D) A中任意一行为其余各行的线性组合2、 设A、B都是n阶可逆方阵，则下列结论正确的是()2 1 12 111(A)(A) (A )(B) (A B) AB(C)(A B)(A B)A2 B2(D) (kA) 1kA 1 (k0,1)3

16、、 设A为3阶可逆方阵，且各行元素之和均为2，则().1(A) A必有特征值2( B) A 必有特征值2（C） A必有特征值-2（ D） A 5、(A I ) A I必有特征值-21、期末考试试题答案及评分标准填空题（每题 3分，共15 分)课程名称：线性代数163 ；2、0;三、计算下列各题（本题 28分）13031031002041、（本题8分）计算行列式的值（1) D0112(2)D19920039528513013006001476010112、（本题10分）解矩阵方程 AXB O ,其中A111 ,B20 ,10153求矩阵X 。四、（本题12分）问为何值时，方程组X1X1X1X2x

17、xX3X3X322 无解、有唯一解、有无穷多组解？并在有无穷多3组解时求其通解。2 0 0100五、（本题10分）设A 0 3 2 B0200 2 300a（1）确定a ；（2）求一个可逆矩阵 P，使P 1AP10310020431004二、选择题（每题4分，共20分)CABDC三、计算题与证明题（本题30分)1、（本题7分）解:199200395200(L3分)301300600300314100 1252000130（L 7分）2、（本题8 分）解:AXBOXA 1B12121231A'100（L 6分）X1 1%121222四、（本题10分）解:增广矩阵为11 103111 103122 124200 122 033145300 013111 118200 000 0特解为：10（L7分）2101710对应齐-次线性方程呈组:基础解系为：1 0， 240301方程组的解为xk11 k22（k,k2R）五、（本题12分）解：1、矩阵A的特征值为10, 22,