概率论参考解答

1、习题22. 设离散型随机变量的分布律为 求（1）常数a；（2）.解 （1）由得（2） （答案有误）3.一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数，试求X的分布律。解 X可能取值为1,2，用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点数为1可表示为：（1，1），（1,2），（2，1），（1,3），（3，1），于是，同理可得其余。4甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以赢的局数多者为胜。设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。假设各局比赛是相互独立的。 （1）写出甲赢局数的分布律；（2）试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。解 （1）设甲赢局数为X，则。（2）甲胜概率为 =0.6332乙胜概率为=

2、0.1662不分胜负的概率=0.20075.某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少两次击中目标的概率解：设击中目标次数为X，则。方法1：，利用泊松定理并查泊松分布表得方法2：利用excel函数=1-0.0028356若每次射击中靶的概率为0.7，求射击10炮，命中3炮的概率，至少中3炮的概率，最可能命中几炮 解：设中靶次数为X，n=10, p=0.7, XB(10, 0.7),，或又,所以最有可能命中7炮.7从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是设为途中遇到红灯的次数，求的分布律解：8设离散型随机变量的分布律

3、是讨论常数C与应满足的条件解：因为，由9设服从参数的泊松分布，且P(=1)=P(=2)，求P(1)及P(023)解：由即有, 从而.因此.11进行某种试验，设每次试验成功的概率为，以表示首次成功所需试验的次数，试求出取偶数的概率（原书此处有误）12盒内有3个黑球和6个白球，从盒内随机地摸取一个球，如果摸到黑球，则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记为抽取次数，求的分布律及分布函数解：抽取次数X的可能取值为1，2，3，4，且,.14. 设连续型随机变量X的分布函数为 求常数和X的概率密度。解 由得；由得；由在的连续性可得即；由在的连续性可得即15设连续型随机变量的概率

4、密度为（1）试确定常数a；（2）若Pa<<b=0.5，确定常数b解：（1）由得arctan a=0，从而a=0.（2）由得 从而b=1.17已知随机变量的概率密度 试求的分布函数解：由于 因此当x0时，.当x0时，故X的分布函数为18.设随机变量的概率密度为 以Y 表示对X的三次独立观察中事件出现的次数，试求。 解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为从而19设某汽车站每隔20分钟有一辆汽车通过，乘客在20分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过15分钟的概率解：由题意知，乘客到达汽车站的等待时间X服从0，20上的匀均分布，故20设随机变量U1，6，求一元二次方程t

5、2+t+1=0有实根的概率解：设P表示方程有实根的概率，由=X240，得X2或X2，所以=0.821某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其分布密度 试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 解：设电子元件的寿命为X,一只电子元件寿命大于200小时的概率为3只元件寿命均大于200小时的概率为故3只元件中至少有一只损坏的概率为22某厂生产的某种电子元件的寿命（小时）服从正态分布N（1600，2），如果要求元件的寿命在1200小时以上的概率不小于0.96，试求常数解：因XN,故.要 即要因此反查标准正态分布表，得, 即23抽样调查结

6、果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩（即参数的值）为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率解：由题意知，学生成绩X近似服从正态分布，即由得查正态分布表得，从而,即考生成绩在60分至84分之间的概率为0.6826.24. 设随机变量（），且方程有实根的概率为0.5，求未知参数。解 由，得，由于X服从正态分布，所以25. 设随机变量的分布函数为F（x），概率密度，其中为标准正态分布的概率密度，是参数为的指数分布的概率密度，已知，求常数解 由 得（原书答案有误）由得26.设随机变量的概率密度现对进行n次独立重复观测，以Yn表示观

7、测值不大于0.1的次数，求Yn的分布律 解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为从而27设测量的随机误差N（0，102），试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率解：因XN(0,102), 则，所以.设100次测量中，测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y，则.从而.因，由泊松定理得,查泊松分布表得.28设随机变量的分布律 -1 0 1 2 P 求Y=2+1的概率分布解：由于随机变量X的可能取值为0, 所以随机变量的可能取值为1，2，5.所以Y的分布律为Y125P0.20.50.329设XU（0，1），试求的分布。解 设，由于X的概率密度为利用公式可得Y的概率密度

8、为即 即仍服从（0,1）上均匀分布。 30设随机变量XU1，2，求随机变量的概率密度函数解X的概率密度为Y的分布函数为由可得：当时，故；当时，因此有所以Y的概率密度为31设随机变量服从标准正态分布，求以下随机变量的概率密度 （1）Y=eX； （2）Y=22+1； （3）Y=|解（1）因为，故Y不取负值，从而，当时，则；当时，Y的分布函数为从而，时，于是，的概率密度为（2）因，故Y在取值，从而时,；，由于XN(0,1)，故Y的分布函数为故时， 于是的概率密度为（3）对于，显然，当时,；当时，因此，时，故的概率密度为32设随机变量服从指数分布，试求随机变量Y=min，2的分布函数解X的密度函数为由于因此，当时，当时，当时，所以Y的分布函数为34设随机变量的概率密度 试求的概率密度解Y的