近世代数试题库

1、近世代、单项选择题1、假设 A=1 , 2, 3, 5, B=2 , 3, 6, 7，贝0 A B=()A、1 , 2, 3, 4 B、2 , 3, 6, 7C、2 , 3 D、1 , 2, 3, 5, 6, 7答案：C、交换群是循环群、以上都不对2、循环群与交换群关系正确的 是A、循环群是交换群BC、循环群不一定是交换群D答案：A3、以下命题正确的选项是、整环一定是域、以上都不对A、n次对换群Sn的阶为n!BC、交换环一定是域 DbH或 aH bH答案：A4、关于陪集的命题中正确 的是A、对于 aH ,bH ,有 aH/ 设H是G的子群, 那么B、 aH H a Hc、aH bH a 1b

2、HD、 以上都对答案：D是从A到B的、满射、既非单射也非满射都A、有限BC、为零D答案：A7、整环域的特征为A、素数BC、有限D答案：D8、假设S是半群，那么C、必有单位D元答案：A9、在整环 Z6的真因子是中，A、1,6BC、1, 2D答案：B10、偶数环的单位元个数为A、任意 a,b,c S,都有 abc=abcA、单射BC、映射 D答案：D6、有限群中的每一个元素的阶、无限、为1、无限、或素数或无限B、任意a,b S,都有ab=ba、任何元素必存在逆元、2, 3、3, 6C、 2 个D 、无数个 答案： AAn 到 D 的一个映射，11、设 A1, A2, ,An 和 D 都是非空集合，

3、而 f 是 A1 A2那么 A、集合Ai,A2, , An,D中两两都不相同；B、A1,A2, ,An 的次序不能调换；C、 A1 A2An 中不同的元对应的象必不相同；D、一个元 ai,a2 , ,an的象可以不唯一。答案： Ba b a b aba、在整数集Z上，12、 指出以下那些运算是二元运算B、在有理数集 Q上，a b ab ；C、在正实数集 R 上, a b alnb ；D、在集合 n Z n 0上，a b a b答案： D即取 a 与 b 中的13、设 是整数集 Z 上的二元运算，其中 a b max a,b 最大B、不适合结合律、；不适合交换，那么 在 Z 中 D、每个元都有逆

4、元存在单位C14、设 G, 为群，其中 G 是实数集，而乘法 : a b a b k ，这里 k 为 G 中定的常数。那么群 G, 中的单位元 e 和元 x 的逆元分别是(A、0和 x； B、1 和 0; C、k和 x 2k; D、 k和 (x 2k)。 答案：D15 、设 a, b, c 和 x 都是群 G 中的元素且 x2a bxc 1,acx xac ， 那么 x ( )A、11 bc a11ca11 a bcb 1ca答案： A 16 、设 H 是群 G 的子群，且 G 有左陪集分类 H,aH,bH,cH 。如果 6，那么G 的 阶 G ( )A、6;B、 24;C、 10;D 、 1

5、2答案： B 17、设 f :G1 G 2是一个群同态映射，那么以下错误的命题是()A、f 的同态核是 G1 的不变子群;B、G2 的不变子群的逆象是 G1 的不变子群;C、Gi的子群的象是 G2的子群；D、G1 的不变子群的象是 G2 的不变子群。答案： D18、设 f : R1 R2 是环同态满射， f (a) b ，那么以下错误的结论为( )A、假设a是零元，那么b是零元；B、假设a是单位元，那么b是单位元；C、假设a不是零因子，那么 b不是零因子；D、假设R2是不交换的，那么 Rl 不交换。 答案： C 19、以下正确的命题是( )C、唯一分解环必是主理想 环；D、唯一分解环必是欧 氏

6、环答案：A20、假设I是域F的有限扩 域，的有限扩域，那么E:IE :I I:F ;、F:E I :F E:I ；BD 、 E:F E:I I :F答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和答案：传递性2、设A,B都为有限集，且A m, B n,那么AB .答：mn3 .设R是集合A =平面上所有直线上的关系：泸2 ll II 2或H 讥A，贝9 R 等价关系。答：是4、设群G中的元素a的阶为m,贝V an e的充要条件是答：mn5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是答: a,b H,有ab 1 H6、n次对称群Sn的阶是答：n!7、设G是有限群，H是G的子群，

7、且H在G中的指数为n ,那么G 8、设 G 是一个群 ,e 是 G 的单位元，假设 a G, 且 a=a, 那么( ) 答： a=e9、最小的数域是()答：有理数域10、设集合 A= 1,2 ,那么 AX A= ( ) ,2 A=()。答：( 1 , 1),( 1 , 2),( 2, 1),( 2 , 2),，1 , 2, 1 , 2 11、 设f是A的一个变换，S A，贝g f 1 f S ( ) f f 1 S答：12、 设R1 ,脸是集合A上的等价关系，R1脸()等价关系。 答：是13、假设群G中每一个元素x都适合方程xn e，贝M G是()群。 答：交换群14、n 阶群 G 是循环群的

8、充要)。条件是答 ： G 中存在 n 阶的元素15、 设G，G1是有限循环群，G m，G1“那么g1是G的同态象的充要条件nm )。是答 ： nma,b R ，有 ab ba ，那么称 R 为()环。16 、如果环 R 的乘法满足交换律，即 环 答：交换环1 7 、数集关于数的加法和乘法作成的环答：数环18、设有限域 F 的阶为 81，那么的特征 p 答： 319、群 G 中的元素 a 的阶等于 50，那么 a 4的阶等于 。 答： 2520、一个有单位元的无零因子称为整环。答：交换环21、如果 710002601 a 是一个国际标准书号，那么 a 。 答：22. 剩余类加群 Z12 有 个生

9、成元 .答：623、设群G的元a的阶是n，那么ak的阶是答： n/k,n k,n 表示 k 和 n 的最大公约数24、6 阶循环群有 个子群 .答：326、 模 8 的剩余类环 Z8 的子环有 个.答：627、设集合 A 1,0,1 ； B 1,2 ，那么有 B A 。 答： 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1, 2,0, 2,1那么28、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，那么 f 1 fAj ， a 答： a29、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果AiAi Aj答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。答：变换群32、给出一个 5-

10、循环置换 31425 ，那么 1 。答： 1352433、假设 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想，那么 I 中的元素可以 表达为。答： xiayi, xi, yi R34、假设 R 是一个有单位元的交换环， I 是 R 的一个理想，那么 RI 是一个 域当且仅当 I 是。答：一个最大理想35、整环 I 的一个元 p 叫做一个素元，如果 。答：p既不是零元，也不是单位，且 q只有平凡因子36、假设域 F 的一个扩域 E 叫做 F 的一个代数扩域，如果 。答： E 的每一个元都是 F 上的一个代数元三、判断题1、 设A与B都是非空集合，那么 A B xx A且x B。 X 2、设 A

11、、B 、D 都是非空集合，那么 A B 到 D 的每个映射都叫作二元运算。 X 3、 只要f是A到A的映射，那么必有唯一的逆映射f 1。V 4、如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，那么G与整数加群同构。V 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群X)6、群G的子群H是不变子群的充要条件为 g G, h H;g 1Hg H o( V )7、如果环R的阶2，那么R的单位元1 0。( V )8、假设环R满足左消去律，那么 R必定没有右零因子。(V )9、F (x)中满足条件p ( ) 0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。(X )10、假设域E的特征是无限大，那么 E含有一个与Zp同构的子

12、域，这里Z是整 数环，p是由素数p生成的主理想。(X )四、解答题1、A=数学系的全体学生，规定关系R:与同在一个班级a,b A,aRb ab，证明R是A的一个等价关系答案：自反性:自己与自己显然在同一个班级 对称性：假设a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级 传递性：假设a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显 然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算 是否满足结合率和交换率? a b a b ab(等式右边指的是普通数的运算)答：因为对于 a,b,c R，有 a b c a b ab c a b ab c a b abc a b ab c ac bc abca b c a b c

13、bc a b c bc a b c bca b ab c ac bc abc根据实数的加法与乘法的运算率得a b c a b c 。又 a b a b ab b a ba b a 。所以， R 的代数运算 既满足结合率，又满足交换率3、设集合 A a,b,c,d ,B c,d,e ，求 A B,A B,A B,( A B) (B A) 答案： A B c,d , A B a,b,c,d,e ,A B a,b ,( A B) ( B A) a,b, e 4 、设 G S 3 1 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 ， H 1,12 ，求 G 关于子群 H 的 左陪集分解。答：

14、1H (12)H H ，13 H (123)H 13 , 123 ，23H (132)H 23, 132 。因而，G关于子群H的左陪集分解为 G H 13 H ( 23) H。5、设半群S,既有左单位元e，又有右单位元f，证明e f，而且是S的唯 单位元。答：证明ef e (因f是右单位元)，ef f (因e是左单位元)，得e f ；假设S 还有单位元ei，那么e eei “，故0是S的唯一单位元。6、 对于下面给出的Z 到 Z 的映射 f,g,hf : x 3x,g: x 3x 1,h: x 3x 2;计算 f g,g f ,g h,h g, f g h答案：f g: x9x 3,g f :

15、 x9x 1,g h:x9x 7;h g: x9x 5,f g h: x 27x 21.7、设 H 是 G 的不变子群，那么 a G ，有 aHa 1 H 。答：因H是G的不变子群，故对于 a G,有aH Ha，于是aHa aH a Ha a H aa He H 。8、设 0 是环 R 的零元，那么对于 a R，0 a a 0 0 。答：因为 a R ，有0 a ( 0 0) a 0 a 0 a ，由于 R 关于加法作成群，即 R 对于加法满足消去律，在上式中两边同时 消去 0 a ， 得 0 a 0 。同理可得 a 0 0 。9、如果半群G有一个左单位元e，并且对于a G，存在左逆元a 1

16、G，使得a 1a e ，那么 G 是一个群。答: a G，由条件知，有左逆元 a 1 G,使得a1a e，而对于a1在G中也存在左逆元 a'，使得 a'a 1 e，那么有 aa 1 e aa 1 (a'a 1)( aa 1) a'a 1a a 1 a'ea 1 a a 1 e 所以，a 的左逆元 a 1 也是 a 的右逆元，即 a 在 G 中有逆元 a 1，11又由于 ae a a a aa a ea a ，知 e 是 G 的单位元。故 G 是一个群。10、证明 R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法左消去律成立。 答：设环R没有左零因子，如

17、果有ab ac ,那么有ab ac a (b c) 0 ，当 a 0 时，由于 R 没有左零因子，得 b c 0 ，即 b c ， R 中关于乘法左消 去 律成立。反之，假设在 R 中关于乘法左消去律成立，如果 a 0，有 ab 0，即 a b 0 a 0 ，左消去 a 得 b 0，即 R 中非零元均不是左零因子，故 R 为 无零因子。11、假设I1，I2是R的两个理想，那么I1 I2 x1 x2 x1 I1, x2 I 2 也是 R 的一个理想。答： x, y I 1 I 2, r R ，那么有x x1 x2, y y1 y2， (x1,y1 I1;x2,y2 I2) ，从而x y (x1

18、y1) (x2 y2) I1 I2；rxr(x1x2)rx1rx2I1I2 ；xr(x1x2)rx1rx2rI1I 2。所以，I1 I2 是 R 的一个理想。12、设G S3 ( 1), (12), (13), (23), (123), (132), H ( 1), (12),那么 h是g 的-个子群，写出 G 关于 H 的所有左陪集的分解 答案： (1)H (12)H H ,(13)H ( 13), (123) (123)H,G H (13)H (23)H13、在 Q 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？a b b22 2 2 2答：取a 1,b 2,c 3,那么 1 2 3 2 2 3

19、32 9, 1 2 3 1 3 2 92 81 22 又1 2 2 2 4,2 1 1 2 1 。所以， Q 的代数运算 既不满足结合率，又不满足交换率。14、 设 G S3 1 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 ，H1,12 ，求 G 关于子群 H 的 右陪集分解。答： H 1 H(12) 1, 12，H 13 H (132) 13, 132 ，H 23 H (123) 23, 123 。因而， G 关于子群 H 的右陪集分解为G H H 13 H (23) 。15、设 S 是有单位元 e 的半群， a S ，假设 a 有左逆元 a1 ，又有右逆元 a2 ， 那么 a 是

20、 可逆元，且 a1 a2 是 a 的唯一的逆元。卄b, c假设者E是a的逆元，同理有b be b ac ba c ec ca有唯一的逆元16、设 R 是环，那么 a,b R，有 (a)b a( b) (ab)(a)b ab ( a a)b 0 b 0 ，得(ab) ( a) b，得同理，由 a( b) ab a( b b) a 0 0(ab) a ( b)17、设H是G的子群，假设对于a G , h H，有aha 1 H，那么H是G的不变 子群。答：任取定 a G,对于ah aH，由于aha 1 H，那么存在hi H，使得aha 1 h1 ah h 1 a Ha aH Ha ；ha Ha，由于

21、aha a h(a )H，故存在2 h，使得1a ha h 2 ha ah 2 aH Ha aH。因此，对于a G，有aH Ha。故H是G的不变子群。18、如果G是半群，那么G是群的充分必要条件是：a，b G，方程ax b和yab在G中有解。答：必要性。因G是群，那么a G在G中有逆元a 1,贝V a也g，分别代 入 方程ax b和ya b，有a a 1b aa 1 b eb b，ba 1 a b a 1a be b11 即 a 1b,ba 1分别为方程 ax b 和 ya b 的解。充分性。因G是半群，那么是非空集合，取定a G,贝M方程 归a在G中有即存在G中的元素e，使得ea a。下证e

22、是G的左单位元。a,b G，方程ax b和在G中有解c，艮卩ac b，于 是 eb e ac eac ac b ，那么 e 是 G 的一个左单位元。又a G，方程ya e在G中有解a'，即a'a e，得a是a的一个左逆元。从 而 得 G 中的每一个元素 a 都有左逆元。故 G 是群。19、 证明 R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法右消去律 成立。 答：设环 R 没有左零因子，那么也无右左零因子。于是由 ba ca ， 得ba ca (b c)a ，当 a 0 时，由于 R 没有右零因子，得 b c 0 ，即 b c ， R 中关于乘法右消 去 律成立。反之，假设

23、在 R 中关于乘法右消去律成立，如果 a 0，有 ba 0，即b a 0 0 a ，右消去 a 得 b 0，即 R 中非零元均不是右零因子，故 R 为 无零因子。20、 设R为交换环，a R， Ia x Rax 0，证明：Ia是R的理想。答(i)a,b忖那么ax 0,bx0 从而 ax bx 0，(a b)x 0 即 a b I a。(2) a Ia，r R，有ax 0，由于R为交换环，从而 rax r0 axr 0r 0 ，即 ar,ra I a。因此 Ia 是 R 的理想21、G = (z, +)，对G规定结合法“a b a b 2 证明 (G, ) 是一个群。证明： " "为 G 的一个二元运算显然，设a,b,c 是 G 中任意三个元，(a b) c (a b 2) c (a b 2 c) 2=a (b 2 c) 2 a (b c 2) a