解答题重难点题型(八)第23题二次函数综合题

1、解答题重难点题型(八)第23题二次函数综合题在平面直角坐标系中,二次函数y= ax2+ bx + 2的图象与x轴交于A( 3, 0), B(1, 0)两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点,设点P的横坐标是 m.(1)求这个二次函数的解析式；过点P作PM丄x轴于点M ,交AC于点Q,求线段PQ的最大值；在的条件下，过点P作PH丄AC于点H ,求厶PHQ周长的最大值；(4) 是否存在点P,使厶APC的面积最大？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由;(5) 在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使厶BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？假设存在 ，写出点Q的坐标; 假设不存在

2、，说明理由；(6) 点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q,使以点B, Q, E 为顶点的三角形与 AOC相似？假设存在，写出点Q的坐标；假设不存在，说明理由；(7) 点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点 Q,使以A, C, M , Q为顶点的四边形是平行四边形？假设存在 ， 写出点Q的坐标；假设不存在，说明理由.(1)【思路点拨】 要求抛物线y= ax2 + bx+ 2的解析式，该解析式中有两个未知数，故需要知道经过该抛物线上的 两个点的坐标，结合题意，点A和点B是该抛物线上两点，将这两个点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线 的解析式.2

3、a = 3,b = 3.【自主解答】 解：抛物线y= ax2 + bx+ 2过点A( 3, 0), B(1, 0),9a 3b+ 2= 0,解得a + b+ 2= 0.二次函数的解析式为 y= 3x2 4x+ 2.【思路点拨】设出点P的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值.【自主解答】解：如图1 ,由题知，C(0, 2), A( 3, 0),图12可得直线AC的解析式为y = |x+ 2. 设点 P(m, |m2 fm+ 2).2 PQ丄x轴且点Q在直线y=尹+ 2上，2-Q(m, 3m + 2).2 2422 223 23PQ= (- 3m x =

4、 2时，6 PHQ 最大为 39+2513 26 - 3m + 2) - (3m + 2) = 3m2 2m= 3(m + 2)2+ 23 3当m = 2时，PQ取得最大值，最大值为|.(3)【思路点拨】在Rt PHQ中，将PH，QH的边长用PQ的长度表示出来，从而要求 PHQ周长的最大值转解：如图2,由题知AO= 3,化为即求PQ长度的最大值.【自主解答】/ PH丄AC, PQ/ y轴，QPH = Z CAO. 那么 sin / QPH =曲 CAO = C0 =守cos / QPH = cos/ CAO =AO= 3后AC= 13 - C phq= PQ+ QH + PH26+ 10 13

5、39<0,且3<m<0, PHQ周长的最大值为39+ 15 . 1326【思路点拨】要使 ACP的面积最大，可先把 APC的面积用含有字母的式子表示出来,再利用二次函数的性质讨论其最值,进而求得点P坐标.2 4【自主解答】解：设点P坐标为(m, m2 Tm + 2).3 3方法一：由知PQ= |m2 2m,=PQ+ PQsin / QPH + PQcos/ QPH=(1+ sin / QPH + cos/ QPH )PQ.,2由(2)知，PQ= 3m2 2m , 那么 Cphq = (1 + sin/QPH + cos/ QPH)PQ2 ,133,;132 2=(1 + 右

6、+ 右)(- 3m 2m)=- 2(m+ 3) 2+ 31332226+ 10 133 八 39+ 15 13=39(m+ 2) +26.ACP=PQC+ S PQA =1 1 12 PQ(XC XP) + 2 PQ(XP XA)= 21 2 2 2PQ -(XC xa)= 2 ( 3m2 2m) 0 ( 3) = m2 3m =-(m + j)2+ 9.3当 m = 3时，Sapac3 5存在点p(2, 2),使厶pac的面积最大.方法二：如图 3,连接PO,作PM丄X轴于M , PN丄y轴于N轴于N.2 4- PM = 3m2 3m + 2, PN= m, AO = 3.由题知，C(0,

7、2), OC= 2.Sa PAC= SPAO + Sa PCO SACO=2ao-pm + 2co-pnao-co1 2411=2X 3 ( 3m2 3m + 2) + 2x 2 ( m) 2X 3X 2=m2 3m3 29=-(m+ 2)2+ k* a= 1 v 0, 3<m<0 ,3当m= 3时，SaPAC有最大值.此时3X ( 2)2 3X ( 2 + 2 = 2，3 5存在点p(2, p,使厶pac的面积最大.(5)【思路点拨】 BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，那么需分以点C或点B为直角顶点的等腰直角三角形两种情况讨论.【自主解答】解：如图4所示，以BC为边在两侧作正方

8、形 BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,那么点Q1, Q2, Q3, Q4为符合题意要求的点.过点Qi作QiD丄y轴于点D,/ BCQ i = 90 ° ,/ QiCD + Z OCB = 90° .又在直角厶OBC中，/ OCB + Z CBO = 90° ,QiCD = Z CBO.又 QiC= BC, / QiDC = Z BOC , QiCD CBOAAS. Qi D = OC= 2, CD = OB = 1, - OD = OC + CD = 3. Q12, 3.同理求得 Q23, 1, Q3-1 , 1, Q4 2, 1.存在点Q ,使厶BCQ是以BC为

9、腰的等腰直角三角形.点Q坐标为Q12, 3, Q23, 1, Q3 1, 1, Q4 2,1.6【思路点拨】因为/ QEB = Z AOC = 90° ,要使以点 B, Q, E为顶点的三角形与 AOC相似，那么需分 AOCBEQ或厶AOCQEB两种情况分别求解.2 4【自主解答】解：如图5所示，设Qn, qn2 zn + 2, En , 0,3 324 BE = 1 n , QE= 知2訓+ 2.图5假设以点B , Q , E为顶点的三角形与 AOC相似，那么有两种情况: 假设 AOCBEQ ,那么有爭=BE ,CO AO2 243n 3n + 2 1 n即=丁 ,化简得 n2+

10、n 2 = 0 ,解得n1= 2 , n2= 1与点B重合，舍去， n= 2 , QE = 2.二 Q 2 , 2. 假设 AOCQEB,那么有 QE- = CO,2 2 43n 3n + 2 1 n 即3=厂，化简得 4n2n 3 = 0 ,3解得n1= - , n2= 1与点B重合，舍去，综上所述,存在点Q ,使以点B , Q , E为顶点的三角形与 AOC相似.Q点坐标为(2 , 2)或( 3 ,三1).4 8【思路点拨】因为题干中没有指明是以哪一条线段为边，哪一条为对角线，所以需要分情况讨论.，【自主解答】解：假设存在点 Q,使以A , C, M , Q为顶点的四边形是平行四边形. 假

11、设AC为对角线，此时CM平行于x轴，如图6所示，有符合要求的点 Qi,此时QiA = CM./ CM / x 轴，点M，点C(0, 2)关于抛物线对称轴直线 x=- 1对称， M( 2, 2) . CM = 2.由 QiA = CM = 2,得到 Qi( 1 , 0); 假设AC为边，当CM / x轴时，符合要求的点有1个，如图6所示的Q2,由 Q2A = CM = 2,得到 Q2( 5, 0);当CM与x轴不平行时，如图7所示，过点M作MG丄x轴于G,易证 MGQ COA(AAS),得 QG = OA = 3, MG = OC = 2,即 yM = 2.24l设 M(x , 2),那么有一|

12、x2 ；x + 2= 2,解得 x= 1 土, 7.又 QG = 3, - xq = xg + 3= 2 ± '7.- Q3(2 + .-'7, 0), Q4(2 .' 7, 0).综上所述,存在点Q,使以A , C , M , Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为Q1( 1 , 0) , Q2( 5 , 0),Q3(2 + .'7 , 0) , Q4(2 ；7, 0).vr-j£2/3希L>)I1 K 图6图7,类型1探究线段问题31. (2021河南)如图，抛物线y= x2 + bx+ c与x轴交于点A( 1, 0) , B(5

13、 , 0)两点，直线y= ：x+ 3与y轴交于 点C ,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF丄x轴于点F ,交直线CD于点E.设点P的 横坐标为m.(1) 求抛物线的解析式；假设PE = 5EF,求m的值(3)假设点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E'落在y轴上？假设存在，请直接写出相应的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.解：(1) 抛物线 y= x2 + bx + c与 x 轴交于 A( 1, 0), B(5, 0)两点，0 = 1 b+ c,0 = 25+ 5b+ c.b = 4,c= 5.抛物线的解析式为 y = x2 + 4x

14、+ 5.3点 P 的横坐标为 m, P(m , m2 + 4m+ 5), E(m , &m+ 3), F(m , 0). 点P在x轴上方，要使PE= 5EF,点P应在y轴右侧， 0<m<5. PE= m2+ 4m + 5 (务+ 3)= m2+ 字口+ 2.分两种情况讨论：3 当点E在点F上方时，EF = ：m+ 3.193T PE= 5EF, m2+ -4-m + 2 = 5( 4m + 3).即 2m2 17m + 26= 0,-3解得 m-= 2, m2= 3(舍去); 当点E在点F下方时，EF = 3m 3.42 193-PE= 5EF,m2+ m + 2 = 5(

15、;m 3).4 4即 m2 m 17= 0,)； m的值为2或泸9(3)点 P 的坐标为 Pi( 2,乎),P2(4, 5), P3(3 .11, 2 , 11 3).2. (2021河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点 A，点P是抛物 线上点A , C间的一个动点(含端点),过点P作PF丄BC于点F.点D , E的坐标分别为(0, 6), ( 4, 0),连接PD, PE, DE.(1) 请直接写出抛物线的解析式；(2) 小明探究点P的位置发现：当点 P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜测：对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判

16、断该猜测是否正确，并说明理由；小明进一步探究得出结论：假设将“使PDE的面积为整数的点 P记作“好点，那么存在多个“好点，且使 PDE的周长最小的点P也是一个“好点.请直接写出所有“好点的个数 ，并求出厶PDE的周长最小时“好点 的坐标.解：(1)抛物线解析式为y= ；x2 + 8.8(2) 正确，理由：设 P(x, 8x2 + 8),1 1那么 PF= 8 ( -x2+ 8) = -x2.过点P作PM丄y轴于点M ,贝UPD2= PM2+ DM 2= x2+ 6 ( 8x2 + 8)2= 6jX直线的解析式为y= 4x+3.+ 2x2 + 4 = (-x2+ 2)2. /. PD= 8x2+

17、 2.1 2 1 2 PD PF=8x2 + 2 8x2= 2.猜测正确.(3) “好点共有11个.在点P运动时，DE大小不变， PE与PD的和最小时， PDE的周长最小.PD PF= 2, PD = PF+ 2. PE+ PD = PE+ PF+ 2.当P, E, F三点共线时，PE + PF最小.此时点P, E的横坐标都为一4.1将 x= 4 代入 y = -x2 + 8,得 y= 6.8 P( 4, 6),此时 PDE的周长最小，且厶PDE的面积为12,点P恰好是“好点. PDE的周长最小时“好点的坐标为(一4, 6).1 1提示： PDE 的面积 S= ：x2 3x+ 4 = 4(x

18、+ 6)2+ 13.由一8<x< 0,知 4WS< 13, S 的整数值有 10 个.由函数图象知，当S= 12时，对应的“好点有 2个，“好点共有11个.3. (2021滨州)如图，直线y= kx + b(k, b为常数)分别与x轴，y轴交于点A( 4, 0), B(0 , 3),抛物线y= x2+ 2x + 1与y轴交于点C.(1) 求直线y = kx + b的解析式；假设点P(x, y)是抛物线y= x2 + 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式， 并求d取最小值时点P的坐标；求CE + EF的最小值.3b = 3.过点P作PH丄A

19、B于点H ,过点H作x轴的平行线MN ,分别过点A, P作MN的垂线，垂足分别为 M , N.4k + b= 0,解得b= 3,333设 H(m , &m+ 3),贝U M( 4, &m+ 3), N(x , 4m+ 3), P(x, x2+ 2x + 1). / PH 丄 AB , / PHN + Z AHM = 90° ./ AM 丄 MN ,MAH +Z AHM = 90° ./ MAH =Z PHN.又/ AMH =Z HNP = 90° , AMH s HNP./ MA / y 轴，MAH OBA. OBANHP. 呼=股=OB AOPH

20、Ab.x m33(m+ 3) ( x2 + 2x + 1)4d5.整理，得 d= 4x2 x+ 8= 4(x 5)2+ 103, 555、880 '4T 3>0,当x =鲁时,d取最小值,此时P(5,罟).(3) 由题知抛物对称轴为直线x= 1, C(0 , 1).如图，作点C关于直线x= 1的对称点C',过点C'作C F AB于点F.过点F作JK/ x轴，分别过点A ,C'作AJ丄JK 于点J, C K丄JK于点K.那么C (2 1).此时C', E, F三点共线,CE+ EF = C E EF最小.设 F(m , 3m+ 3),/ C，F丄 A

21、B ,AFJ + Z C FK= 90° ./ C，K 丄 JK,C '+/ C FK= 90° ./ C，=Z AFJ.又/ J=Z K = 90 ° , AFJ FC，K.3m+ 434m + 2.aj =旦 4m+3 FK C'K 2 m整理，得 25m2 + 92m 32= 0.解得m=25或-4(不符合题意，舍去). F(825,8125)./ C，(2, 1), FC，2=北5 . CE + EF的最小值为14FC =詈类型2探究面积问题4. (2021孝感)在平面直角坐标系 xOy中，规定：抛物线y= a(x h)2+ k的伴随直线为

22、y = a(x h) + k.例如：抛物线 y= 2(x + 1)2 3 的伴随直线为 y = 2(x + 1) 3,即 y = 2x 1.(1) 在上面规定下，抛物线y= (x + 1)2 4的顶点坐标为(1, 4),伴随直线为y= x 3,抛物线y= (x + 1)2 4与 其伴随直线的交点坐标为 (0, 3)和(1, 4);(2) 如图，顶点在第一象限的抛物线y = m(x 1)2 4m与其伴随直线相交于点A , B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C, D. 假设/ CAB = 90 ° ,求m的值； 如果点P(x, y)是直线BC上方抛物线上的一个动点， PBC的面积记为S

23、,当S取得最大值召时，求m的值.4解：抛物线解析式为 y= m(x 1)2 4m,其伴随直线为 y= m(x 1) 4m,即y= mx 5m.y = m (x 1) 2 4m,y = mx 5m ,联立抛物线与伴随直线的解析式可得x = 1,x= 2,解得或y= 4m y= 3m. A(1 , 4m), B(2 , 3m).在 y= m(x 1)2 4m 中，令 y = 0 可得 x= 1 或 x= 3, C( 1, 0), D(3 , 0). AC2 = 4+ 16m2, AB 2= 1 + m2, bc2= 9 + 9m2./ CAB = 90° , AC2 + AB2= BC2

24、,即 4 + 16m2 + 1+ m2 = 9+ 9m2,解得 m = ¥(不合题意，舍去)或 m =于.当/ CAB = 90。时，m的值为一誓.设直线BC的解析式为y = kx + b.- B(2 , 3m), C( 1, 0),2k + b= 3m,k= m ,解得k + b = 0 ,b= m.直线BC的解析式为y = mx m.过P作x轴的垂线交BC于点Q.T点P的横坐标为x , P(x , m(x 1)2 4m) , Q(x , mx m)./ P是直线BC上方抛物线上的一个动点，19 PQ= m(x 1)2 4m + mx + m= m(x2 x 2) = m(x )2

25、 4.13127PBC= 2X 2 - (- 1)PQ = 2m(x - 2) 2 1 由(1)知，抛物线的解析式为y = x2 x 3.- §m. 抛物线开口向下，.m<0.3.2m<0.当x =扌时， PBC的面积最大为27m.S取最大值才时,即一2727_8m= 4，解得m= 2.15. (2021河南)如图，在平面直角坐标系中，直线y = 0x+ 1与抛物线y= ax2 + bx 3交于A , B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A , B重合),过点P作x轴的垂线交直线 AB 于点C,作PD丄AB于点D.(1) 求 a,

26、 b 及 sin/ ACP 的值；(2) 设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m值，使这两个三角形的面积之比为9 : 10?假设存在，直接写出m值；假设不存在，说明理由.1解：(1)由*+ 1= 0,得 x = 2, A( 2, 0).由只+ 1 = 3,得x= 4, B(4 , 3)./ y= ax2 + bx 3 经过 A, B 两点，(2) 2 a 2b 3= 0,a= 2，42 a+ 4b 3= 3.,1b = 2设直线AB与y轴交于点E,令x = 0，得y = 1 , E(0,

27、 1). OE= 1.由题知 OA = 2, AE = 5./ PC/ y 轴，/ ACP = / AEO. sin / ACP = sin / AEO =器=莘=AE y55 . P(m, 2m2 2m 3), C(m , *m+ 1), PC= |m+ 1(如2 *m 3) = m2+ m + 4. 在 RtA PCD 中,PD = PC -sin/ ACP =(空口2+ m + 4) x 5-= t <0, 当m= 1时，PD有最大值5.又 BG = 4 m,存在满足条件的 m值.m = 5或晋.PCDSa PBC当S竺= 1°时，解得9SApbc532m= 一9'

28、;1- ( m2 2m 8).pcd = DF5m+ 2SA pbc BG4 m55解得m= 5；(3)在MB上是否存在点P,使厶PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点类型3探究特殊三角形有关的问题6. (2021周口二模)如图，抛物线y= x2+ bx + c与x轴相交于A, B两点，与y轴相交于点 C,且点B与点C的 坐标分别为B(3 , 0), C(0, 3)，点M是抛物线的顶点点P为线段MB上一个动点，过点P作PD丄x轴于点D.(1) 求抛物线的解析式；假设OD = m, PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值？并说明理由;P的坐标；如果不存在，请说明理由.9 + 3b + c

29、= 0,c = 3,解得b 7. (2021盘锦)如图，直线y= 2x + 4交y轴于点A ,交抛物线y =只2+ bx+ c于点B(3 , 2),抛物线经过点C(,c= 3.抛物线解析式为 y= x2 + 2x + 3.(2) S有最大值.理由如下：/ y= x2+ 2x+ 3= (x 1)2+ 4, M(1，4).设直线BM的解析式为y = kx + n,把 B(3 , 0), M(1 , 4)代入,得3k+ n = 0,k= 2,解得k + n= 4,n= 6.直线BM的解析式为y = 2x + 6./ OD = m, P(m, 2m+ 6)(1 < m<3). S= m(

30、2m + 6) = m2+ 3m = (m 2)(2) 当厶PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标； 在的条件下，连接PB，将 PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折后点 E的对称点坐标.+ 4. 1<0 , 1< m<3 ,当m= 2时，S有最大值，最大值为9.(3) 存在. / PDC不可能为90°33 当/ DPC= 90°时，那么PD = OC= 3,即一2m + 6 = 3,解得m = 1 , 0),交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE丄DB交DB所在直线于点 E. (1) 求抛物线的解析式；,此时P点坐标为(|, 3); 当/ PC

31、D= 90° 时，贝U PC2 + CD2= PD2,即 m2+ ( 2m+ 3)2 + 32 + m2= ( 2m+ 6)2 , 整理得 m2+ 6m 9 = 0,解得 m1= 3 3,2(舍去),m2= 3 + 3 .'2,当 m= 3+ 3 .'2 时，y = 2m + 6= 6 6 .' 2 + 6 = 12 6 2,此时 P 点坐标为(3+ 3.'2, 12 6； 2). 综上所述,当点P坐标为(|, 3)或(一3+ 3 '2, 12 6时， PCD为直角三角形.1解：把 B(3 , - 2), C( - 1, 0)代入 y = 2x

32、求二次函数的解析式； 直线l沿x轴向右平移，得直线1,'1'与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE丄x轴于点E ,把厶BCE沿直线I折叠，当点E恰好落在抛物线上的点E'时(如图2),求直线I的解析式；+ bx + c,得12= X 9 + 3b+ c,21 o=2 b+ c,c= 2.13抛物线的解析式为 y = 2x2 在的条件下，1'与y轴交于点N,把厶BON绕点O逆时针旋转135°得到 B' ONP为I上的动点，当 PB' N' 为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标.x 2.1 2 3设 P(m

33、 , m2 m 2),.1 2 3 亠 ,在 y= x2 x 2 中，当 x = 0 时，y = 2,- D(0 , 2) - B(3 , 2), BD / x 轴.I PE 丄 BD , E(m , 2).123 DE = m, PE = 2m2尹2 + 2,13或 PE= 2 尹2+ 尹+ 2. PDE为等腰直角三角形，且/ PED = 90° , DE = PE.1 2 3 亠 1 2 3m= m2 m, 或 m= m2 + m.解得m = 5, m= 1, m = 0(不合题意，舍去). PE= 5 或 1 , P点坐标为(1, 3)或(5, 3).918212(3) e的对

34、称点坐标为(5, y),(5, 5).& (2021南充)如图1,二次函数 y= ax2 + bx + c(a, b, c为常数，0)的图象经过点 0(0, 0)和点A(4 , 0),函8数图象最低点 M的纵坐标为§ ,直线|的解析式为y = x.解：(1) 抛物线过点0(0,0= c,2a= 3，0), A(4 ,0= 16a+ 4b+c，解得83= 4a+ 2b+ c.38c= 0.2 8二次函数解析式为y =討8x.直线l的解析式为y = x,直线l与x轴成45°角./ l / I' ,CBE = 45° .又 CE 丄 x 轴，CEB =

35、90° . BCE是等腰直角三角形. BCE '是由 BCE沿直线I折叠所得，四边形BECE是正方形.2 8 2 8t点C,点E在抛物线y= §x2的图象上，设C(m , 3m2 3m),点C与E'关于对称轴直线 x= 2对称， E'的横坐标为4 m.那么B(4 m, 0).设I的解析式为y = x + k.点 B 在 I 上， 0 = 4 m + k. k = m 4. I'的解析式为y = x+ m 4.2 8又点 C 在 I 上， 3m2 3m = m+ m 4.解得 m1= 1, m2= 6.又点C在x轴下方的抛物线上， m= 1,

36、I'的解析式为y= x 3./ BON是等腰直角三角形，由易得B(3 , 0), C(0 , 3), 旋转后 B' Of顶点的坐标分别为 0(0, 0), B' PB ' N '是等腰三角形有以下几种情况： 当PB = PN时，由对称性可知 Pi(0, - 3); 当B' P B' N寸，延长B'O交BN于点F, 易得B ' F丄 BN , B ' F= 3 + 3.2.又 B'岸 BN = 3 ：'2, B ' F>B ' N B ' P> B ' F，

37、这种情况不存在； 当PN = B ' N时，/点P在I上,设P(m , m - 3),那么PN+ (m- 3 3 2+ 3 3 .'323 ,2 3 3.323,2 + 3+ 3 .'3 )或 (-3 ,2 3+ 3 .'32综上所述，符合条件的点P的坐标为Pi(0, 3) ,P2(3 .2+ 3 3，3 3 2 3 3,32 ， 2),巳(3 _2+ 3 + 3.3 3,2 3 + 3 '32 ， 2- (m 2)2+ (m 3 ；,2)2= (3 ；2)2.,m2 =解得mi =类型4探究相似三角形有关的问题9. (2021河南重点中学模拟联考二 )

38、如图，抛物线经过原点 O,顶点为A(1 , 1),且与直线y= x 2交于B , C 两点.(1) 求抛物线的解析式及点 C的坐标；求证： ABC是直角三角形；(3) 假设点N为x轴上的一个动点，过点N作MN丄x轴与抛物线交于点 M ,那么是否存在以O, M , N为顶点的三角形 与厶ABC相似？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由.1；17X解：(1) 抛物线顶点坐标为(1 , 1), 设其解析式为=a(x 1)2+ 1.又抛物线过原点， 0= a(0 1)2+ 1, 解得a= 1.抛物线的解析式为y = (x 1)2+ 1,即 y= x2 + 2x.联立抛物线和直线解析式可得

39、y =- x2+ 2x,x = 2,x = - 1 ,解得或y = X 2,y= 0y = 3. B(2 , 0), C( 1, 3) 证明：分别过 A , C两点作x轴的垂线，交x轴于D, E两点，那么 AD = OD = BD = 1，BE = OB + OE = 2 + 1= 3, EC = 3,/ ABO =Z CBO = 45° , ABC = 90° . ABC是直角三角形.(3) 假设存在满足条件的点N ,设N(x , 0),那么 M(x , x2+ 2x), ON = |x| , MN = | x2 + 2x| ,由可求得AB = '2 , BC =

40、 3.；2 , MN丄x轴于点N,/ ABC = Z MNO = 90°假设厶ABC和厶MNO相似，贝U:当MNABON时，那么有I x2+ 2x| =且.2= 3,2当MN =BC =崇时，那么有x2+ 2x| = Jx£3 2= .'2 ,1即凶-x + 2| =訥,当x = 0时 M, O, N不能构成三角形 - xm 0. | X+ 2|= 2812丄 8,即一x+ 2= ±3.5 7解得x = 7 此时n点坐标为3 , 0或3 , 0；或x= 7即 |x| - x + 2|= 3|x| ,同理 x 工 0. | x+ 2|= 3,即一x+ 2=

41、±3 , 解得x = 5或x = 1.此时N点坐标为(一1 , 0)或(5 , 0).57综上可知存在满足条件的点N 其坐标为善,0或§ , 0或1 , 0或5 , 0.10. 2021 郴州如图，抛物线y= ax2 + |x + c与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C ,且A2 , 0 , C0 ,4,直线l: y = 4与x轴交于点D ,点P是抛物线y = ax2+ / + c上的一动点过点P作PE丄x轴，垂足为E ,交直线l于点F.(1) 试求该抛物线解析式；(2) 如图1,假设点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3) 如图2,过点P作PH丄

42、y轴，垂足为H ,连接AC. 求证： ACD是直角三角形； 试问当P点横坐标为何值时，使得以点P, C, H为顶点的三角形与 ACD相似?解: (1)由题意得84a+ * 2 + c= 0,a=15解得5，c= 4,c=4.抛物线的解析式为y =15x2+ |x 451 8 1(2) 设 P(m , 5m1 日 35n5n2.55n+ 5n 即 4、5 = = 或 4.5 =，+ 5m 4),那么 F(m , m 4).1 1 2 8 PF=(尹4) (5m2+ £m 4)1 2 21=-厶口 -価./ PE丄 x 轴， PF / OC.当PF= OC时，四边形PCOF是平行四边形.

43、/ C(0, 4), OC= 4.1 2 21 P5 亠c 5m2 10m = 4,解得 m= 2或 m= 8.1 2 , 85m + 5m -4 一27才；1 8当 m= 8 时，5m2 + 5m 4= 4.527点 P 的坐标为(2, )或 ( 8, 4).1(3) 证明：把y= 0代入y= ?x 4,得1e2x 4= 0,解得 x= 8. D( 8, 0). OD = 8.又 A(2 , 0), C(0, 4), AD = 10. AC2 = 22 + 42= 20, CD2= 82+ 42= 80 , AD2= 100. AC2 + CD2= AD2. ACD是直角三角形，且/ ACD

44、 = 90° .1 8由得/ ACD =/ CHP = 90° ,设 P(n, 5n2+；n 4), 由(2)可得,AC = 2 5, CD = 4 ,5.rAC CH(I )当厶 ACDCHP 时，CD = HP，11 21解得n= 0(舍去)或n= 刁或n = _；(n )当厶 ACD s PHC 时,AC = PHCd = Ch2 ,5-n.2,5n即4寸-R 4 5=肓.解得n= 0(舍去)或n= 2或n=- 18.综上所述，点P的横坐标为一牙或一21或 2或一18时，使得以点P, C, H为顶点的三角形与 ACD相似.类型5探究特殊四边形有关的问题11. (202

45、1泰安)如图是将抛物线y= x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线 0),另一交点为 B,与y轴交点为C.(1) 求抛物线的函数解析式；(2) 假设点N为抛物线上一点，且BC丄NC,求点N的坐标；x = 1,与x轴的一个交点为 A( - 1,33(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y= x +的图象上一点，假设四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P,Q是否存在？假设存在，分别求出点P, Q的坐标，假设不存在，说明理由.解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y = - (x -1)2+ k.抛物线与x轴交于A( - 1, 0), 0=- (- 1 -1)2+ k./ k= 4.抛物线的解析式为

46、 y = - (x- 1)2+ 4=-x2+ 2x + 3.(2) 当 x = 0 时，y= (0- 1)2+ 4= 3, C(0, 3). OC= 3又 B(3, 0),即 BO = 3, BOC为等腰直角三角形./ OCB = 45° .过点N作NH丄y轴，垂足为H./ NCB = 90° , NCH = 180°- 90°- 45°= 45° . NH = CH. HO = OC + CH = 3+ CH= 3 + NH.设点 N(a , a2 + 2a+ 3), a+ 3 = a2 + 2a+ 3.解得a= 0(舍去)或a=

47、1. N(1 , 4).四边形OAPQ是平行四边形， PQ= OA = 1,且 PQ/ OA.设 P(t, -12+ 2t+ 3),那么 Q(t + 1, -12+ 2t + 3).将点 Q(t + 1, - t2+ 2t+ 3)代入 y = ；x + ；，得33-12+ 2t+ 3 = 2(t + 1) + 2整理,得2t2-1= 0.1解得 tl = 0, t2= 2 t2+ 2t+ 3 的值为 3 或154存在，点P, Q的坐标为(0, 3), (1, 3)或(1,字),(3,乎).12. (2021许昌二模)如图，以直线x= 1为对称轴的抛物线 y= ax2 + bx + c的图象与x

48、轴交于点A，点B( -1, 0), 与y轴交于点C(0, 4),作直线AC.(1) 求抛物线解析式；点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m,求m的值；(3) 点M在y轴上且位于点 C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，假设以点C, M , N , Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标.解：(1) 点A与点B( - 1, 0)关于直线x = 1对称， A(3 , 0).设抛物线解析式为y= a(x+ 1) (x - 3),把 C(0 , 4)代入，得 a1 (- 3) = 4,解得 a=-;,34抛物线解析式为y=賢+ 1)(x -

49、3),即 y=2+*+4.uh设直线AC的解析式为y = kx + p, 把 A(3 , 0), C(0 , 4)代入，得3k + p = 0,解得p = 4,4k=- 3,p = 4.4直线AC的解析式为y =- §x+ 4.令对称轴与直线 AC交于点D,与x轴交于点E,作PH丄AD于H ,如图1 ,4 8 8当 x= 1 时,y= 4X + 4= 3，那么 D(1 , 3),8.DE = 3.由(1)知 A(3 , 0), . AO = 2. 在 RtA ADE 中,AD =22+( |) 2 =晋.设 P(1, m),贝U PD = 3 m , . PH= PE= |m|.3P

50、H= DP，即?=3 m10解得m= 1或m = 4.即m的值为1或一4.(3) Q(1 ,乎)或£ 15),提示：设 Q(t, t2 + § + 4)(0 V t V 4),33当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2,那么点N和Q关于y轴对称,428.N( t, 3t2 + 3t+ 4) 把 N( t, §2+ |t+ 4)代入 y= 3X + 4 得*+ 4 = £t2+ 3t+ 4 ,当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3,贝U NQ / y轴，NQ = NC ,vZ PDH = Z ADE , DPHDAE.4 2844 2 ,

51、丄.NQ = §t2+ 3t+ 4 ( 3 + 4)=尹 + 4t , 而 CN2 = t2 + ( * + 4 4)2=寮,即 CN = |t,4 57755 §t2+ 4t=§t,解得 ti= o舍去，t2=4,此时 Q 点坐标为 a，12-综上所述，点q的坐标为1,16或7,15-13. 2021天水如下图,在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= ax2 2ax 3aa<0与x轴交于A , B两点点A在 点B的左侧，经过点A的直线I: y= kx + b与y轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为D,且CD = 4AC.1求A , B两点的坐标及抛物线的对称轴；2求直线I的函数解析式其中k, b用含a的式子表示;5点E是直线I上方的抛物线上的动点，假设厶ACE的面积的最大值为4，求a的值;4设P是抛物线的对称轴上的一点 ，点Q在抛物线上，以点A , D , P, Q为顶点的四边形能否成为矩形？假设能 求出点P的坐标；假设不能，请说明理由.解：(1)当 y = 0 时，ax2 2ax 3a= 0.解得 X1= 1 , X2= 3. A( 1 , 0), B(3 , 0),对称轴为直线 x= 1.直线 I: y= kx + b 过点 A( 1, 0)