种群的相互竞争模型

1、种群的相互竞争模型种群的相互竞争模型1.模型建立模型建立(1) )1()(nxrxtx 当某个自然的环境中只有一种生物的群体当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群种群)生生存时存时,我们常用我们常用logistic模型来描述它的数量的演变模型来描述它的数量的演变过程过程,即即易知易知,x=n是自治系统是自治系统(1)的稳定的平衡点的稳定的平衡点.它表示当时它表示当时间间t趋于无穷时趋于无穷时,x(t)n.如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它它们之间的关系大致可分为以下几种们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争相互竞争,相互相互依存依存,

2、弱肉强食弱肉强食(食饵与捕食者食饵与捕食者),也可能毫无关系也可能毫无关系.前几前几种情形我们来一一研究它们种情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究最后一种情形不用研究.下面我们种群的相互竞争模型下面我们种群的相互竞争模型.先研究两个种群的相先研究两个种群的相互竞争模型互竞争模型.模型假设模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中环境中,其数量变化服从其数量变化服从logistic规律规律. 记记: x1(t), x2(t)分别是甲乙两个种群的数量分别是甲乙两个种群的数量 r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率分别是甲乙两个种群的固有增长率 n1,

3、n2分别是甲乙两个种群的最大容量分别是甲乙两个种群的最大容量于是对种群甲我们有于是对种群甲我们有 )1()(11111nxxrtx ).1(,/ ,/1111111设设食食物物总总量量为为时时供供养养甲甲的的食食物物量量数数量量为为而而言言可可理理解解为为相相对对于于作作用用的的对对其其本本身身增增长长的的阻阻滞滞的的消消耗耗导导致致反反映映由由于于甲甲对对有有限限资资源源这这里里因因子子xnnxnx 于是对种群甲有于是对种群甲有成正比成正比而言而言相对于相对于该项与种群乙的数量该项与种群乙的数量中再减去一项中再减去一项我们在因子我们在因子增长的影响增长的影响乙消耗同一资源对甲的乙消耗同一资源

4、对甲的考虑到考虑到环境中生存时环境中生存时当两个种群在同一自然当两个种群在同一自然,)(,/1 , ,2211nxnx (2) )1()(22111111nxnxxrtx 于是对种群甲我们有于是对种群甲我们有 )1()(11111nxxrtx ).1(,/ ,/1111111设设食食物物总总量量为为时时供供养养甲甲的的食食物物量量数数量量为为而而言言可可理理解解为为相相对对于于作作用用的的对对其其本本身身增增长长的的阻阻滞滞的的消消耗耗导导致致反反映映由由于于甲甲对对有有限限资资源源这这里里因因子子xnnxnx 这里这里1的意义是的意义是:单位数量的乙单位数量的乙(相对于相对于n2而言而言)消

5、耗消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于相对于n1)消耗消耗的供养甲的食物量的的供养甲的食物量的1倍倍.类似类似,我们有我们有(3) )1()(22112222nxnxxrtx 于是我们得于是我们得到模型到模型(4) )1()( )1()(2211222222111111 nxnxxrtxnxnxxrtx 这里这里1,2一般是相互独立的一般是相互独立的.在某些特殊的情形下在某些特殊的情形下,我们有我们有12 =1.(2) )1()(22111111nxnxxrtx (5) 0 )1(),( 0)1(),(,122112222122111112121 nxnxx

6、rxxgnxnxxrxxf 我们令我们令时时当当).0 , 0(),1)1(,1)1(), 0(),0 ,(:442122211132211pnnpnpnp 个平衡点个平衡点得得其中的第三个平衡点是在其中的第三个平衡点是在1,2 1的情形的情形下才会得到下才会得到.).0 , 0(),1)1(,1)1(), 0(),0 ,(42122211132211pnnpnpnp 按照判断平衡点的稳定性的方法按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵我们先看矩阵. 4 , 3 , 2 , 1,|adet,| )(,)21()21(a21212122112212222111221111 iqgfpnxnxr

7、nxrnxrnxnxrggffiippxxxxxx因此因此 )1(),1(),0 ,(22122111 rrqrrpnp对对稳定条件稳定条件. 12 其它平衡点类似处理其它平衡点类似处理. .).0 , 0(),1)1(,1)1(), 0(),0 ,(42122211132211pnnpnpnp . 4 , 3 , 2 , 1,|adet,| )(,)21()21(a2122112212222111221111 iqgfpnxnxrnxrnxrnxnxriippxx因此因此 212221122222121111211131)1()1()1()1()1(1)1(, rnnrnnrrap对对212

8、1211)1)(1( rrq我们由此得到结论我们由此得到结论:不稳定不稳定稳定条件稳定条件qp平衡点平衡点)0 ,(11np), 0(22np)1)1(,1)1(212221113 nnp)0 , 0(4p)1(221 rr)1(221 rr)1(121 rr211)1(rr 1, 121 11 2122111)1()1( rr2121211)1)(1( rr)(21rr 21rr12 注意到平衡点的定义我们可以看出注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的它是一个局部的性质性质.对于非线性方程对于非线性方程(4)所描述的种群竞争所描述的种群竞争,我们更我们更关心的是平衡点的全局稳定性关心

9、的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何即不论初值如何,平平衡点都是稳定的衡点都是稳定的.这需要在上面得到的局部稳定性的这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅之以相轨线分析基础上辅之以相轨线分析.221122122111211),(1),(nxnxxxnxnxxx ),()1()( ),()1()(:212222112222211122111111 xxxrnxnxxrtxxxxrnxnxxrtx 注意到注意到下面我们根据下面我们根据1,2 的不同取值范围的不同取值范围,直线直线=0, =0的相对位置的相对位置, ,讨论如下讨论如下: :在代数方程组在代数方程组（5 5）中，记）中，记我们看到我

10、们看到,两条直线将第一象限分两条直线将第一象限分成了三个部分成了三个部分,在每一区域内导数在每一区域内导数符号能够确定符号能够确定:0)(, 0)(:0)(, 0)(:0)(, 0)(:213212211 txtxstxtxstxtxs全全局局稳稳定定121 ,1,1)1(p o1n21/ n2n1p1s2s3s1x2x0 0 12 n221122122111211),(1),(nxnxxxnxnxxx 全全局局稳稳定定), 0(1, 1)2(2221np o1n21/n2n12/n2p1x2x0 0 全全局局稳稳定定3211, 1)3(p o1n21/n2n12/n3p1x2x0 0 不不稳

11、稳定定3211, 1)4(p o1n21/n2n12/n3p1x2x0 0 12/no1n21/n2n1p1s2s3s1x2x0 0 全局稳定全局稳定1211, 1) 1 (p o1n21/n2n12/n2p1x2x0 0 全全局局稳稳定定2211, 1)2(p o1n21/n2n12/n3p1x2x0 0 全全局局稳稳定定3211, 1)3(p o1n21/n2n12/n3p1x2x0 0 不不稳稳定定3211, 1)4(p 最终结论最终结论:不稳定不稳定全局稳定条全局稳定条件件qp平衡点平衡点)0 ,(11np), 0(22np)1)1 (,1)1 (212221113 nnp)0 , 0

12、(4p)1 (221 rr)1 (221 rr)1 (121 rr211)1 (rr 1, 121 1, 121 2122111)1 ()1 ( rr2121211)1)(1 ( rr)(21rr 21rr1, 121 结果解释结果解释:( 我们只解释第一个我们只解释第一个)1. 11. 11意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙于乙,于是乙终将灭绝于是乙终将灭绝,种群甲将趋于最大容量种群甲将趋于最大容量,于是将趋于是将趋于平衡点于平衡点p1.这里这里1的意义是的意义是:单位数量的乙单位数量的乙(相对于相对于n2而言而言)消耗消耗的供养甲的食物量为单位数量的甲

13、的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于相对于n1)消耗消耗的供养甲的食物量的的供养甲的食物量的1倍倍.种群的相互依存模型种群的相互依存模型自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存的现象是很多的象是很多的.如植物与昆虫之间如植物与昆虫之间,昆虫可以帮助植物充昆虫可以帮助植物充分授粉分授粉,而昆虫也在此过程中获得食物而昆虫也在此过程中获得食物(花粉花粉).人类与人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系人工饲养的牲畜之间也有类似的关系.假设种群甲可以独立存在假设种群甲可以独立存在,服从服从logistic规律增长规律增长,种群乙的存在有助于甲的增长种群乙的存

14、在有助于甲的增长,因此甲的数量因此甲的数量x1(t)满足满足 )1()(22111111nxnxxrtx 假设种群乙离开了甲便不能独立存在假设种群乙离开了甲便不能独立存在,设其死设其死亡率为亡率为r2,于是其独立存在时的数量于是其独立存在时的数量x2(t)满足满足222)(xrtx 现在甲为乙提供食物现在甲为乙提供食物,于是甲对乙的增长有促进作用于是甲对乙的增长有促进作用,故故 )1()(112222nxxrtx 于是于是项项必须考虑增加必须考虑增加比较大时比较大时当其数量当其数量乙的数量会增长乙的数量会增长的情况下的情况下在在,logistic ,1112 nx )1()(22112222n

15、xnxxrtx 这样模这样模型为型为 )1()( )1()( 2211222222111111nxnxxrtxnxnxxrtx 二维自治系统的稳定性理论二维自治系统的稳定性理论 ),()( ),()(212211组组的的平平衡衡点点就就是是代代数数方方程程 xxgtxxxftx . 0 ), 0), ) ,x(xpxxgxxf.(020102121比如比如的根的根 ., 0,)(,)0(,110是不稳定的是不稳定的否则就称否则就称是稳定的是稳定的就称平衡点就称平衡点就有就有只有初值只有初值的某个邻域的某个邻域存在存在的任一邻域的任一邻域如果对平衡解如果对平衡解jjjxxtutxuxuxp u.,)(lim00是渐近稳定的是渐近稳定的则称平衡点则称平衡点若还有若还有pptxt )- )-)- )- 02202010110201202202010110201