《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题

1、弹性力学复习资料一.简答题1.试写出弹性力学平而问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程 时，应注意些什么问题答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程 中包含着三个未知函数OX、oy、T xy=Tyx,因此，决定应力分就的问题是超静定的，还必须考虑 形变和位移，才能解决问题。平面问题的几何方程：揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确 定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平

2、面应 变问题物理方程的转换关系。沪耳竹-心+不）2.按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。duC7K答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位務的边界值是边界上坐标的已知 函数。应力边界问题中，物体在全部边界上所受的而力是已知的，即而力分量在边界上所有各点都是坐标 的已知函数。I混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应 力边界条件。3.弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号答：弹性体任

3、意一点的应力状态由 6 个应力分量决泄，它们是：x、 y. z、 xy、%、zx正面上 的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负而上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴 正方向为负。4.在推导弹性力学基本方程时，釆用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。（2）假左物体是完全弹性的。（3）假立物体是均匀的。（4）假立物体是各向同性的。（5）假定位務和变形是微小的。符合（1） （4）条假泄的物体称为“理想弹性体”。一般混凝上构件、一般上质地基可近似视为“理想 弹性体”。5.什么叫平面应力问题什么叫平面应

4、变问题各举一个工程中的实例。答：平而应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板而并且不沿厚度变化的 而力，同时体力也平行于板而并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截而在柱面上受有平行于横截而而且不沿长度变化的而力，同时体力也平行于横截而而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。6.在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系答：在弹性力学利分析问题，要从 3 方而来考虑：静力学方面、几何学方而、物理学方面。平而问题的静力学方而主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平而问 题

5、的平衡微分方程。 平而问题的几何学方而主要考虑的是形变分量与位移分量之间的关系，也就是平面问题中的几何方程。平而问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平而问题中的物理方程。7.按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平而问题可分为两类：（1）平而应力问题：很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板而并且不沿厚度变化的而力。这一类 问题可以简化为平而应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 CT”、by、三个应力分量。（2）平而应变问题：很长的柱形体，在柱而上受有平行于横截而并且不沿长度变化的面

6、力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平而应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。 该种问题=乙=0;ryz= ro. = 0而一般 b：并不等于零。8.什么是圣维南原理其在弹性力学的问題求解中有什么实际意义圣维南原理可表述为：如果把物体的一小部分边界上的而力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主 矩也相同），那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计.弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将而力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的 情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。9.什么是平面应力问题其受力特点如何

7、，试举例予以说明。答：平而应力问题是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板而并且不沿厚度变化的面力，这 一类问题可以简化为平而应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在b、by、Txy= Tyx三个应力分量。10.什么是“差分法”试写出基本差分公式。答：所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示, 把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。基本差分公式如下：“业）_九+人一2几二、计算题1.已知过P点的应力分量（rx= 15Mpa, ay= 25Mpa, = 2QMpao求过P点，I= cos30(nt= cos 6

8、0斜面上的X”.Y* b,TN解：XN=lax+niTxy= cos30 X15 +cos60 x20 = 2299“yv=rnav+lTxy= cos60 x25+cos30 x20 = 29.82Mpa（rN=l2（rx+m2（rv+ 2lmTXS=cos230 x 15 +cos260 x25 + 2xcos30 xcos60 x20=34 82呦?“TN= lm（ay一 ） + （厂 一/w $ ）rxv=cos 30 Xcos 60 X （25 -15） + （cos230 - cos260） x 20=14.33Mpa2.在物体内的任一点取一六面体，x. y. z方向的尺寸分别为d

9、& dy.dz.试依据下图证明:davr+ +K = 0。dy衣dx证明：ZF,=0:（o心）xiZxxrZz （牛）x心X JzQy6 + （空 +dz）xdxxdy （r.v）x JxxJyoz.QT.,+ （rxy+ xydx）xdy xdz （Txy）xdy xdz+ Ydxdydz= 03.图示三角形截面水坝，材料的比重为 ,承受比重为液体的压力,ax=ax + by6 =+心-恁y，试写出直边及斜边上的边界条件。心=-dx-ay解：由边界条件卩乂入+m（Tyx）s=X卜“+血/=Y左边界：I= cospyin=-sin0cos仅“x + b以sin仅dx ay)s= 0 s

10、nfl(cx + dy pgy)s4- cospdx ay= 0右边界：I = lni= 0f_(ax + by)s=沁(dx +“以=04.已知一点处的应力分量= 30Mpa, ay= -25Mpa, j = SQMpa,试求主应力 与x轴的夹角。解:化简并整理上式，得:dy dz dx+ 丫=0已求得应力解为b2以及 630-25 f 30+25+(50)2=59 56M“5.在物体内的任一点取一六面体，x. * z方向的尺寸分别为dx. dy、dzM+jo。dz dx务=o：=tg 6 +乙 丹=-xy59.56-(30)50+ z二=55.06A/?6z=30.59试依据下图证明:(c

11、r. + 一 x dxx dy (cr,) x dx x dy dzQ2*+(rxz +dx) xdyxdz-(rV2) xdyxdzox+ (ryzHdy) x d乙x dx (ryz)x dzx dx+ Zdxdydz= 0化简并整理上式:比+ +Z = 0dx dy6.图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，设应力函数 = Ax3+BX2y+CXy2+Dy3恒能满足 双调和方程。试求应力分量并写出边界条件。解：所设应力函数。相应的应力分量为:by = |r -py =6A- +pyJ 产-鑒=-2Bx-2Cy边界条件为：上表而（y=0）,要求X沪=0 ,A = 0dr=b=0：(2)CT

12、I =0,T A=0fr=afbfb(3)J(J0dr = -PCQSOjrrddr = PsinOfb 尹dr = -PcosO苇匕25.试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思 想，并指岀各自的适用性Love. Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数u（x.yv（x,yw（x,y）或知（人&）,知（几 8）为求一些特殊函数，如调和函 数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题：Galerkin 位移函数法适用于

13、求解非轴对称的空间问题。三.计算题1.图示半无限平而体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P,设间距 d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范用。（提示：取应力函数为解:-d很小,.M = Pd,可近似视为半平而体边界受一集中力偶 M 的情形。将应力函数俠人 0）代入，可求得应力分量：=-L(2ACOS2 +B)厂边界条件:代入应力分量式，有（2）取一半径为厂的半圆为脱离体，边界上受有：心和/VPd由该脱藹体的平衡，得0 = Asin20 + B& )(1) bg ”()= 0,Trdp-0 = 0 :rxOrx+y - ndx将 6s 代入

14、并积分，有联立式（1）. （2）求得:代入应力分量式，得B险一巴，A= M71712冗2Pdsin2&兀r22PJsin26兀r2(12%其中，X=O,Y=O。将式（1）代入式（2）,有积分上式，得厂糾（八护）将式（4）代入式（3）,有等心一押）+罟“等一帶心-押）积分得6=-等双罟9）+厶（对利用边界条件:得:_決兀（_绻+/）+ /,%） =th3248J2V 7一吗x（r -岂沪）+/，W = olh324872V 7由第二式，得将其代入第一式,自然成立。利用边界条件：rAV/, =0,有（4）将厶（力代入 b j 勺表达式，有所求应力分量的结果:校核梁端部的边界条件：（1）梁左

15、端的边界（x = 0）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程:常体力下的应力相容方程为B(6 + 6)=(号 + 辛)(6 + 6.) = 0将应力分量 0切 0式（6）代入应力相容方程，有d2z、12%看(6+6)=-刁严6 + 6)=-帶小式0代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x = /）：rX/显然，应力分量 bx，rn.,b、.不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3.一端固泄，另一端弹性支承的梁，英跨度为/,抗弯刚度 F/为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为 梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：（1） 构造两种形式（多项式、三角函数）

16、的梁挠度试函数 w（x）；（2） 用最小势能原理或 Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取 1 项待立系数）。（13 分）解：两种形式的梁挠度试函数可取为w（x） = x2（A, + A2x + A.x2+） 多项式函数形式w（x）=工Ain（1-cos 三角函数形式W-/此时有：vv(x) =(A】+A2X+ Ax2+.)vvr(x) = 2x(+ A2X+ A3X2+.) +X2(A2+A3x +.)|g)出九(1cos手7W=1*=0.v=0即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为取：vv(x)= Ax29有=2人，w(/) = A,/2dxA=()n = -EI202clx -1qwx)dx + kvv(/)2o2门=反（2 內）2 厶_处 24 心+灯人/2）2=2E甘一竿尸+*加年广由5TI= 0,有4EIlAl+kAil4-l3= 0A一 加3(4EI