行列式的性质ppt课件

1、一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的的转转置置行行列列式式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD故故.

2、TDD 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 nijnpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序数数为为

3、排排列列njippppt,11tppppnij的逆序数为设排列则有则有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数

4、，等于用数 乘此乘此行列式行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的

5、元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行行)对应的元对应的元素上去，行列式不变素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjn

6、jninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如 1201135001561234D 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD34120101512100330007rr 1 1111 234 1 36 1018. 4 10 20D 例433221433243rrrrrrrrrrrr1 1111 1 111 2340 1 23 1 36 100 1 361 4 10 200 1 4 101 1 1 11 1 1 10 1 2 30 1 2 3

7、 10 0 1 30 0 1 30 0 1 40 0 0 1 D解 ：例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122

8、rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一

9、列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna1111000000332211aaaaaaD432100000000013210000000112100000003213322133221342312aaaaaaaaaaaaaDCCCCCC3214aaa例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkppp

10、ppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设设为为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作运运，再再对对后后行行作作运运算算的的前前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的对列也同样

11、成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa1111

12、11111111122223 . 0 2222222222222222(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)aaaabbbbDccccdddd1223342222272523(1)272523(1)272523(1)272523(1)ccccccaaaabbbbDccccdddd122322222223(1)2223(1)02223(1)2223(1)ccccaabbccdd例例 计算计算n阶行列式阶行列式解解naaa 11111111121), 2 , 1,0(niai nnnnaaaaaaaaaaa11111111111121212

13、11 原原式式ninininaaaaaaaaaaa111111111111112221 每每列列加加到到第第一一列列nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式式100010111)11(21ninaaaaa 每每行行减减去去第第一一行行.)11(1 inaaa nnninaaaaaaaaa11111111111)11(2221 用递推法计算用递推法计算例例计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和列把列把依第依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxan

14、n .1121DxaxxxDnnnn 从而从而得得列展开列展开第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时，还还可可改改写写成成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 1201135001561234D 112131122321233123nnnnnxaaaxxaaDxxxaxxxx 1201135001561234D 32214112011201120101510151015101560156