第八章非线性预测

1、第八章 非线性预测8.1 季节性波动曲线预测 在实际中，许多商品，尤其是消费品，都是随着“季节”的变化而改变其市场的需求情况，如服装、食品等。这就称为季节性波动。同样的产品，在一个时期（往往是以年为时期）内的销售曲线是呈周期性变化的。这类曲线可以利用线性回归来进行建立预测模型。一、收集原始数据一、收集原始数据（取样本点）1、取2n个样本点 为了表现出周期性变化规律，一般要取两个以上的周期样本点 2(,)jjnxy 例1：某企业将2003年、2004年各月份的产品销售量统计如下表，试建立季节性预测模型，且预测2005年1、6、8月份的销售量。 2003年：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2、 10 11 12销量 59.1 55 50.2 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.22004年：月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24销量 65.6 63.2 59.2 55.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9解：一、作图 在直角平面系中作出抽样点的离散图，并且光滑地连成曲线。 销售量 B A 时间 0 n/2 n 3n/2 取点后在直角平面上描点,并光滑地连接成曲线(见上图)二、确定长期趋势波动二、确定长期趋势波动 长期趋势波动的确定一般有两种方法：1、两点

3、法 取两点坐标：A（第一个周期的中点，前n个抽样点的平均值） B（第二个周期的中点，后n个抽样点的平均值） 根据A、B两点的坐标，建立直线方程式： (1) 例1中，计算2003年的平均销售量为： 2004年的平均销售量为： 于是得到两点：A（6，52.95） B(18，60.03) 利用两点式求得直线方程为: *yaxb121635.452.951212jjy2413720.3660.031212jjy0.5949.41yx2、线性回归法 利用已得到的个抽样点进行线性回归，将得到回归直线方程： (2)例1中，样本点的个数是24个，于是计算得到 ； ； ； 根据一元线性回归公式计算得到 以及直线

4、方程#yaxb241300jjx2411355.8jjy24214900jjx24117650.2jjjx y48.850.611ab0.61148.85yx 得到长期趋势的直线方程之后（上述两种方法中，无论用哪一种方法得到的均可以。这里我们不妨取 ），将 各代入模型计算值 ： 2003年：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12销量 49.1 50.1 50.6 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.22004年：月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24销量 65.6 63.2 59.2 5

5、5.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9 由上面计算出来的 是表明按照回归方程 各点值，它隐去了曲线各周期内的季节性变化情况。0.61148.85yxjxyy0.61148.85yx四、确定季节性系数 计算公式： (3) （其中为抽样点的值，为回归趋势值） 在例题中，我们取的样本点是两个完全循环周期，因而应该将各周期中的相同月份的季节性系数进行平均，取平均值作为预测模型的季节性系数：月份xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1203年aj 1.19 1.10 0.99 0.91 0.89 0.88 0.88 0.88 0.91 1.06

6、 1.16 1.1804年aj 1.16 1.10 1.02 0.95 0.92 0.90 0.90 0.90 0.92 1.01 1.18 1.14均值* 1.18 1.10 1.01 0.93 0.91 0.89 0.89 0.89 0.915 1.035 1.17 1.16jjyy根据两个周期的季节性系数相加后取平均值得到： *90.91511.1821.1031.0140.9350.9160.8970.8980.89111.17121.16*101.035jjyyjjy0.61148.85jx 五、建立季节性波动预测模五、建立季节性波动预测模型型 (4) 在例题中，我们得出六、预测六、

7、预测 在例题中，我们要预测2005年1月、6月、8月份的销售量，故有：2005年1月： 2005年6月： 2005年8月： 125(0.611 2548.85)1.18 (0.611 2548.85)75.67y630(0.611 3048.85)0.89 (0.611 3048.85)59.79y832(0.611 3248.85)0.89 (0.611 3248.85)60.88y8.2 修正指数曲线预测一、修正指数曲线一、修正指数曲线 对于取得的一组样本点序列 ,如果分布成下面形状，就可以用修正指数曲线模型拟合 1、修正指数曲线模型修正指数曲线的表达式为： (5) 式中K,a,b，是三个

8、参数，且a0， 0b1 2、修正指数曲线图像 在 中,x代表时间（一般为年次）,(以原始资料中最初年份为0,依次递增,y表示趋势值, K,a,b为待定参数,其图形如下:(,)jjnxyxYKa bYKa b3、函数取值表 为了求出参数K,a,b,我们将时间序列xj(j=1,2,m)按年次分为相等的三个部分（即：将抽样点分为三个相等的部分）。 如果m不是3的倍数，则可以在各段接头（首尾）处重复一年或两年（一次或两次）。 y k K+a 0 (修正指数函数) x 设抽样点分段后每段有n个点（年），于是从第0年开始，根据 的表达式，列出表如下： 年份 xj 的值 yj-yj-1的值 0 K+a 1

9、K+ab a(b-1) 2 K+ab2 ab(b-1) 第一部分 3 K+ab3 ab2(b-1) . n-1 K+abn-1 abn-2(b-1)xYKa bjxYKa b 年份 xj的值 Y=+abxj的值 yj-yj-1的值 n K+abn abn-1(b-1) n+1 K+abn +1 abn(b-1) 第二部分 n+2 K+abn +2 abn+1(b-1) . 2n-1 K+ab2n -1 ab2n-2(b-1) 2n K+ab2n ab2n-1(b-1) 第三部分 2n+1 K+ab2n+1 ab2n(b-1) 2n+2 K+ab2n+2 ab2n+1(b-1) . 3n-1 K

10、+ab3n-1 ab3n-2(b-1)二、修正指数曲线预测模型二、修正指数曲线预测模型1、我们记 表示第一个年观测值之和； 表示第二个年观测值之和； 表示第三个年观测值之和110njjSy212njj nSy3132njjnSy2、把上表中取值结果代入公式于是得到： = = = = = = 12110()()()()nnjjSyKaKabKabKab21(1)nnKabbb11nbnKab2112212()()()()nnnnnjj nSyKabKabKabKab21(1)nnnKabbbb 11nnbnKabb31221223132()()()()nnnnnjjnSyKabKabKabKab

11、221(1)nnnKabbbb211nnbnKabb3 3、推导、推导 = =12111 (1)111nnnnnbbbSSnKanKababbbb2(1)1nbab223111 (1)111nnnnnnnbbbSSnKabnKababbbbb2(1)1nnbabb将上面两式相除，有得到： (6) 将(6)代入 = 得到: (7)再将(6)和(7)代入公式 S1= 便有: (8)2312nSSbSS2312nSSbSS12SS2(1)1nbab11nbnKab111()1nbKSanb1221()(1)nbaSSb三、修正指数曲线预测计算程序三、修正指数曲线预测计算程序1 1、取时间序列的样本点

12、 ，并将样本点按时间序列（按年或其它时间段）编号：0，1，2，,分为三个相等的部分，每个部分包含个样本点。若 ，则可在每部分的相接处重复1-2次。2 2、计算参数K,a,b3 3、写出修正指数曲线回归方程： 4 4、预测。(,)jjmxy3mnxYKa b例2；某新产品的销售资料如下表所示，试建立预测模型，并预测2006年的销售量。年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998销售量 150 250 380 540 790 900 1100年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004销售量 1350 1600 1650 1700 1710 172

13、0 解：因为样本点的数目是13个，不是3的倍数，所以在分段时要重复用到有些样本点，分段及编号如下表： 年份 1992 1993 1994 1995 19961992 1993 1994 1995 1996销售量 150 250 380 540 790 xj 0 1 2 3 4 年份 1996 1997 1998 1999 20001996 1997 1998 1999 2000销售量 790 900 1100 1350 1600 xj 5 6 7 8 9年份 2000 2001 2002 2003 20042000 2001 2002 2003 2004销售量 1600 1650 1700 1

14、710 1720 xj 10 11 12 13 14计算数据（注意这里=5） =2110 =5740 =8380 回归模型为预测 因为2006年对应于时间序列中的x=16，代入回归方程得出： =1756.2410jjSy925jjSy14310jjSy5231226400.72733630SSbSS50.72730.9383b 12521()3010(1)baSSb 5111()3082.751bKSab3082.73010 0.9383xY 163082.73010 0.9383Y 四、可化为修正指数曲线模型的其它曲线四、可化为修正指数曲线模型的其它曲线1、逻辑曲线方程 (9)作变换： ；

15、得出：再作变换： ； ； ； 便得到逻辑曲线预测模型： (10)011aa xLye0ae1a 1xLye*1yy1KLaLbe*xyKab2、戈铂兹曲线方程 (11)两边取对数:作变换: ； ； 便得出戈铂兹曲线预测模型： (12) 戈铂兹曲线又称生长曲线，反映了事物的生长过程,如科学发展的过程正如此。 第二个生长过程 第一个生长过程xbyKalglglgxyKbalgyylgKKlgaaxyKa b8.3一般可化为直线模型的曲线预测一、曲线预测一般程序和步骤一、曲线预测一般程序和步骤 在实际中，有时两个变量之间的关系，并不是线形关系，而是非线性关系，这时，就要根据经验点（原始资料统计的数据

16、），选配适当的曲线来进行回归。在一些曲线的回归过程中，是通过将曲线化为直线进行回归的。曲线模型的线性演化过程的程序如下：第一步：收集原始资料，得出一组经验点 ；第二步：在直角平面oxy坐标系中作出经验点的离散图；第三步：分析离散图，选择适当的曲线模型与之拟合；(,)jjnxy第四步：将曲线模型进行适当的变换，使之成为线性模型；第五步：求出线形回归方程；（得出参数值）第六步：还原成曲线模型；第七步：回归（预测）。例3：下表是某产品连续十年来的销售情况，试建立回归模型，并预测2006年的销售量。 年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 20

17、04 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96解：先将观察点绘成离散图 这个图形呈幂函数的形状，因而选取 作为拟合曲线进行回归。对于 两边取对数： 作变换： ； ； ； 便有直线模型 计算 = ， 列表如下：byaxbyaxlgyylgxxlgaabbyabx10(,)jjxy10(lg,lg)jjxy 样本值xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.780.84 0.9 0.95 1 样本值 yj 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96 0.7 1.08

18、 1.3 1.46 1.6 1.7 1.8 1.87 1.931.98 ； ； ； 依线性回归公式有： lgjjxxlgjjyy1016.5595jjx10115.428jjy10111.3049jjjx y1021()43.027jjx10215.2152jjx22221.2985()0.691()jjjjjjjjjjjjjnx yxybnxxxyxx yanxx 得到线性回归方程式： 查反对数表还原a,b： 故有： 于是，得到原问题的曲线回归模型为： 预测，因为2006年对应于序列数12，所以有： 0.6910 1.2985yxlg0.6910aa4.9090a 1.2985bb1.298520064.9090 12123.68y1.29854.9090yx二、常见几类基本初等函数的表达式及图像二、常见几类基本初等函数的表达式及图像1、幂函数 表达式： 步骤： （1）两边取对数 （2）作变换 得出线性回归模型： 由样本点 计算出 ，求出a*及b*，并查反对数表还原a及b，就可以得到幂函数回归