[高考]高考数学试题分类汇编

1、2009年高考数学试题分类汇编立体几何一、选择题1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 a和 b和 c和 d和 【答案】d【解析】错, 正确, 错, 正确.故选d2.（2009广东卷理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的

2、垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 a. 和 b. 和 c. 和 d. 和【解析】选d.3.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )a b c d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：c 【解析】取bc的中点e，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有4.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则 4c 【命题意图】此题主要考查

3、立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于a、b、d均可能出现，而对于c是正确的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面边长为1，与底面abcd成60°角，则到底面abcd的距离为 ( )ab1cd【答案】d.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选d.6.（2009北京卷理）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为 （ ） a b1 c d【答案】d【解析

4、】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选d.7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).a. b. c. d. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:c【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地俯视图 计算出.几何体的体积.8. (2009山东卷理

5、)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. 答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.9. (2009山东卷文)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一

6、定.所以“”是“”的必要不充分条件 .答案:b.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.10.（2009全国卷文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（a） (b) (c) (d) 答案：c解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，cdba',因此求eba'中a'be即可，易知eb=,a'e=1,a'b=,故由余弦定理求cosa'be=，或由向量法可求。11.（2009全国卷文）设oa是球o的半径，m是oa的中点，过m且与oa成45°角的平面截球o的表面得到圆c。若圆c的

7、面积等于，则球o的表面积等于 × 答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由12.（2009全国卷理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ d ）（a） （b） （c） (d) 解：设的中点为d，连结d，ad，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选d 13.（2009全国卷理）已知二面角-l-为 ，动点p、q分别在面、内，p到的距离为，q到的距离为，则p、q两点之间距离的最小值为（ c ）(a) (b)2 (c) (d)4 解:如图分别作 ，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选c

8、。 14.（2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为答案：c【解析】由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.15.（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为 a是正三棱锥b直线平面c直线与所成的角是d二面角为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：b【解析】将原图补为正方体不难得出b为错误，故选b16.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 a. b. c. 直线

9、 d. 直线所成的角为45°【答案】d【解析】ad与pb在平面的射影ab不垂直，所以a不成立，又，平面pab平面pae，所以也不成立；bcad平面pad, 直线也不成立。在中，paad2ab，pda45°. d正确17.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，, 球心o到平面的距离是，则两点的球面距离是 a. b. c. d.2【答案】b【解析】ac是小圆的直径。所以过球心o作小圆的垂线，垂足o是ac的中点。 oc，ac3，bc3，即bcoboc。 ，则两点的球面距离18.（2009全国卷理）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦

10、值为a. b. c. d. 解：令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选c19.（2009辽宁卷理）正六棱锥pabcdef中，g为pb的中点，则三棱锥dgac与三棱锥pgac体积之比为（a）1：1 (b) 1：2 (c) 2：1 (d) 3：2【解析】由于g是pb的中点,故pgac的体积等于bgac的体积 在底面正六边形abcder中abcdefh bhabtan30°ab 而bdab 故dh2bh 于是vdgac2vbgac2vpgac【答案】c20.（2009宁夏海南卷理） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a

11、）（b）（c）三棱锥的体积为定值（d）异面直线所成的角为定值解析：a正确，易证b显然正确，；c正确，可用等积法求得；d错误。选d.21.（2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（a）48+12 （b）48+24 （c）36+12 （d）36+24解析：选a.22.（2009湖北卷文）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，acb=900,acc1=600,bcc1=450,侧棱cc1的长为1，则该三棱柱的高等于a. b. c. d. 【答案】a【解析】过顶点a作底面abc的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.23.（2009湖南卷文）平面六面体中，

12、既与共面也与共面的棱的条数为【 c 】a3 b4 c5 d6 解:如图，用列举法知合要求的棱为：、，故选c.24.（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25【解析】设地球半径为r,则北纬纬线圆的半径为rcos60°r 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】c25.（2009全国卷文）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(a) (b) (c) (d) 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（

13、同理7）解：设的中点为d，连结d，ad，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选d 26.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 a. b. c. 直线 d. 直线所成的角为45°【答案】d【解析】ad与pb在平面的射影ab不垂直，所以a不成立，又，平面pab平面pae，所以也不成立；bcad平面pad, 直线也不成立。在中，paad2ab，pda45°. d正确27.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，, 球心o到平面的距离是，则两点的球面距离是 a. b. c. d.2【答案】b【解析】

14、ac是小圆的直径。所以过球心o作小圆的垂线，垂足o是ac的中点。 oc，ac3，bc3，即bcoboc。，则两点的球面距离28.（2009陕西卷文）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (a) (b) (c) (d) 答案:b. 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为, 故选b.29.（2009宁夏海南卷文） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 （a） （b） （c）三棱锥的体积为定值 （d）【答案】d【解

15、析】可证故a正确，由平面abcd，可知，b也正确；连结bd交ac于o，则ao为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，c正确；d错误。选d.30.（2009宁夏海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 （a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】棱锥的直观图如右，则有po4，od3，由勾股定理，得pd5，ab6，全面积为：×6×62××6×5×6×44812，故选.a。31.(2009湖南卷理)正方体abcd的棱上到异面直线ab，c的距离相等的点的个数为（c）a2 b3 c. 4 d. 5 【答案】：c【解

16、析】解析如图示，则bc中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选c项。32.（2009四川卷理）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 c. 直线平面.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因ad与ab不相互垂直，排除a；作于，因面面abcdef，而ag在面abcdef上的射影在ab上，而ab与bc不相互垂直，故排除b；由，而ef是平面pae的斜线，故排除c，故选择d。解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选d。33.（2009四川卷理）如图，在半径为

17、3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是a. b. c. d. 【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径，故，所以两点的球面距离为，故选择b。解析2：过球心作平面的垂线交平面与，则在直线上，由于，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。34.（2009重庆卷理）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ） a2b3c4d5 【答案】b【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过p的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与ad平行，也是满足条件直线，与a

18、d直线类似，过点的直线与 be平行也是满足条件得共有3条。35.（2009重庆卷文）在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）a若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为b若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为c若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为d若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为【答案】c解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以二、填空题1.（2009浙江卷理）若某几何

19、体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案：18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为182.（2009浙江卷理）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于f位于dc的中点时，随着f点到c点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 【命题意图】此题主要是考查了几何体的

20、三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为184.（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8 5.（2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂

21、直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)6.（2009全国卷理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 7.（2009安徽卷理）对于四面体abcd，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。 相对棱ab与cd所在的直线异面；由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd的三条高线的交点；若分别作abc和abd的边

22、ab上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解析8.（2009安徽卷文）在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，2），b(1，-3，1)，点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是_。【解析】设由可得故【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.（2009安徽卷文）对于四面体abcd，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。11相对棱ab与cd所在的直线是异面直线；22由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd的三条高线的交点；33若分别作abc和abd的

23、边ab上的高，则这两条高的垂足重合；44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断正确,可举例说明错误.【答案】10.（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案：【解析】由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体积等于11.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【答案】90°【解析】作bc的中点n，连接an，则an平面bcc1b1， 连接b

24、1n，则b1n是ab1在平面bcc1b1的射影，b1nbm，ab1bm.即异面直线所成的角的大小是90°12.（2009全国卷理）设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .解：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于.13.（2009辽宁卷理）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×34【答案】414.（2009全国卷文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面

25、截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为，圆m的半径为，则，即由题得，所以。15.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【答案】90°【解析】作bc的中点n，连接an，则an平面bcc1b1，连接b1n，则b1n是ab1在平面bcc1b1的射影，b1nbm，ab1bm.即异面直线所成的角的大小是90°16.（2009陕西卷文）如图球o的半径为2，圆是一小圆，a、b是圆上两点，若=，则a,b两点间的球面距离为 .答案: abo1o 解析:

26、由,=2由勾股定理在中则有, 又= 则 所以在，则，那么 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由弧长公式得.17.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有a , b, c 三点，ab=6，bc=8，ca=10，则 （1）球心到平面abc的距离为 12 ；（2）过，b两点的大圆面为平面abc所成二面角为（锐角）的正切值为 3 【答案】：（1）12；（2）3【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，所以，即正切

27、值是3。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.（2009天津卷理）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。19.（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取bc中点n，连结，则面，是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。20.（2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧

28、视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是解析 解法1 由题意可知当俯视图是a时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选c. 解法2 当俯视图是a时，正方体的体积是1；当俯视图是b时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是c时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是d时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选c.20.（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面直线与ad所成角的大小是_（结果用反三角函数表示）.【答案】 【解析】因为ada1d1，异面直线bd1与a

29、d所成角就是bd1与a1d1所在角，即a1d1b，由勾股定理，得a1b2，tana1d1b，所以，a1d1b。21.（2009年上海卷理）已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 【答案】【解析】，同理：，即r1，r2，r3，由得二、填空题1.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥pefgh,下半部分是长方体abcdefgh.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线bd平面peg【解析】(1)侧视图同正视图,如下图

30、所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结eg,hf及 bd，eg与hf相交于o,连结po. 由正四棱锥的性质可知,平面efgh , 又 平面peg 又 平面peg；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.（2009广东卷理）（本小题满分14分）zyxe1g1如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（

31、2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.3.（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （i）设是的中点，证明：平面； （ii）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（i）如图，连结op，以o为坐标原点，分别以ob、oc、op所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系o，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则，由题意得，因，因此平面boe的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（ii）设点m的坐标为，则，因为平面boe，所以有，因此有，即点m的坐标为，

32、在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点m的坐标得点到，的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，平面，分别为的中点（i）证明：平面；（ii）求与平面所成角的正弦值（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四边形dcqp是平行四边形，所以 所以平面abe， 所以直线ad在平面abe内的射影是ap，

33、 所以直线ad与平面abe所成角是 在中， ，所以5.（2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上.（）求证：平面； （）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， o，e分别为db、pb的中点， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中，

34、 ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.【解法2】如图，以d为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）当且e为pb的中点时， 设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.6.（2009北京卷理）（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理

35、论证能力（）pa底面abc，pabc.又，acbc.bc平面pac.（）d为pb的中点，de/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角，pa底面abc，paab，又pa=ab，abp为等腰直角三角形，在rtabc中，.在rtade中，与平面所成的角的大小.（）ae/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe，aep为二面角的平面角，pa底面abc，paac，.在棱pc上存在一点e，使得aepc，这时，故存在点e使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以a为原煤点建立空间直角坐标系，

36、设，由已知可得 . （），bcap.又，bcac，bc平面pac.（）d为pb的中点，de/bc，e为pc的中点，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.7.(2009山东卷理)（本小题满分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分别是棱ad、aa、ab的中点。（1） 证明：直线ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱a

37、bcd-abcd中，取a1b1的中点f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1/a1d，又因为e、e分别是棱ad、aa的中点，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因为平面fcc，平面fcc，所以直线ee/平面fcc.（2）因为ab=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形,取cf的中点o,则obcf,又因为直四棱柱abcd-abcd中,cc1平面abcd,所以cc1bo,所以ob平面cc1f,

38、过o在平面cc1f内作opc1f,垂足为p,连接bp,则opb为二面角b-fc-c的一个平面角, 在bcf为正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f, 在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值为.e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 解法二:（1）因为ab=4, bc=cd=2, f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,bcf为正三角形, 因为abcd为等腰梯形,所以bac=abc=60°,取af的中点m,连接dm,则dmab,所以dmcd,以dm为x轴,dc为y轴,dd1为z轴建立空间直角坐标系,则d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（

39、,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,设平面cc1f的法向量为则所以取,则,所以,所以直线ee/平面fcc. （2）,设平面bfc1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角b-fc-c为锐角,所以二面角b-fc-c的余弦值为. 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.8.（2009全国卷文）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分别为aa1、b1c的中点，de平面

40、bcc1（）证明：ab=ac （）设二面角a-bd-c为60°,求b1c与平面bcd所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取bc中点f，通过证明af平面bcc1,再证af为bc的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形afed是正方形可证平面def平面bdc，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取bc中点f，连接ef，则ef，从而efda。acba1b1c1de连接af，则adef为平行四边形，从而af/de。又de平面，故af平面，从而afbc，即af为bc的垂直平分线，所以ab=ac。（）作agbd，垂足为

41、g，连接cg。由三垂线定理知cgbd，故agc为二面角a-bd-c的平面角。由题设知，agc=600. 设ac=2，则ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四边形adef为正方形。因为bcaf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。连接ae、df，设aedf=h，则ehdf，eh平面bcd。连接ch，则ech为与平面bcd所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因adef为正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即与平面bcd所成的角为300.解法二：（）以a为坐标原点，射线ab

42、为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系axyz。设b（1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），则（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）设平面bcd的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故 °，求得 于是 ， ， °所以与平面所成的角为30°9.（2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中

43、点，点在上，。 求证：（1）ef平面abc； （2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。10.（2009全国卷理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点m在侧棱上，=60°（i）证明：m在侧棱的中点（ii）求二面角的大小。（i）解法一：作交于n，作交于e，连me、nb，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 m为侧棱的中点m. 解法二:过作的平行线.解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. （ii）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂

44、线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为am的中点，取sa的中点g，连gf，易证，则即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线am垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。11.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）如图，四棱锥fabcd的底面a

45、bcd是菱形，其对角线ac=2，bd=，ae、cf都与平面abcd垂直，ae=1，cf=2.（i）求二面角bafd的大小；（ii）求四棱锥eabcd与四棱锥fabcd公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（i）（综合法）连接ac、bd交于菱形的中心o，过o作ogaf，g为垂足。连接bg、dg。由bdac，bdcf得bd平面acf，故bdaf。 于是af平面bgd，所以bgaf，dgaf，bgd为二面角bafd 的

46、平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以a为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面abf的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面adf的法向量。 由知，平面abf与平面adf垂直，二面角b-af-d的大小等于。（ii）连eb、ec、ed，设直线af与直线ce相交于点h，则四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd的公共部分为四棱锥h-abcd。过h作hp平面abcd，p为垂足。因为ea平面abcd，fc平面abcd，所以平面acfe平面abcd，从而由得。又因为 故四棱锥h-abcd的体积13.（2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，abcd的边长为2的正方形，直线l与平面abcd平行，g和f式l上的两个不同点，且ea=ed，fb=fc， 和是平面abcd内的两点，和都与平面abcd垂直，（）证明：直线垂直且平分线段ad：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若ead=eab=60°，ef=2，求多面体abcdef的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。【解析】(1)由于ea=ed且点e在线段ad的垂直平分线上,同理点f在线段bc的垂直平分线上.又abcd是四方形线段bc的垂直平分线也就是线段ad的垂直平分线即点ef都居线段ad的垂直平分线上. w