第三章 第8讲 函数模型及其应用[配套课件]

1、第8讲函数模型及其应用考纲要求考情风向标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2. 了解函数模型( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力从近几年的高考试题来看，函数模型及其应用是高考的一个重点函数除了涉及方程、不等式、数列等知识，还可渗透到三角、立体几何、解析几何，甚至还呈现于概率知识中，它具有题源丰富、跨学科综合的特征解题时应注意把握问题主线，明确问题实质，运用有关知识

2、进行转换预计 2015 年高考仍将以函数建模为主要考点，重点考查利用二次函数、基本不等式、导数、线性规划求最值.1学习过的基本初等函数指数函数对数函数幂函数一次函数、二次函数、正( 反 ) 比例函数、三角函数、_、_、_等要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题2用基本初等函数解决非基本函数问题的途径(1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数问题3在解决某些应用问题时，通常要用到的一些函数模型_、_、_

3、、_、_、分式函数模型、分段函数模型等二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型一次函数模型4三种函数增长的条件(1)当 a1 时，指数函数 yax 是增函数，并且当 a 越大时，其函数的增长就越快(2)当 a1 时，对数函数 ylogax 是增函数，并且当 a 越小时，其函数的增长就越快(3)当 x0，n0 时，幂函数 yxn 是增函数，并且当 n 越大时，其函数的增长就越快5三种函数增长速度的比较直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义：当 a1，n0 时，那么当 x 足够大时，一定有指数函数值增长快于幂函数值增长，幂函数值增长快于对数函数值增长也就是说，指数函数值增长最

4、快，人们常称这种现象为“指数爆炸”D11 %1某一种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价()DA10%C11%B9%192在本埠投寄平信，每封信不超过 20 g 时付邮资 0.80 元，超过 20 g 而不超过 40 g 付邮资 1.60 元，依次类推，每增加 20 g需增加邮资 0.80 元(信重在 100 g 以内)如果某人所寄一封信的质量为 82.5 g，那么他应付邮资()DA2.4 元B2.8 元C3.2 元D4 元P3某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3000 元，每台计算机的售价为 5000 元则：(1)总成本 C(单位：万

5、元)关于总产量 x(单位：台)的函数关系式为_；C2000.3x(xN*)(2)单位成本 P(单位：万元)关于总产量 x(单位：台)的函数关系式为_；200 x0.3(xN*)(3)销售收入 R(单位：万元)关于总产量 x(单位：台)的函数关系式为_；R0.5x(xN*)(4)利润 L(单位：万元)关于总产量 x(单位：台)的函数关系式为_L0.2x200(xN*)4一等腰三角形的周长是 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数，y202x(5x10)它的解析式为_5已知函数 y12x 和 y2x2.当 x(2,4时，函数_的值增长快；当 x(4，)时，函数_的值增长快y12xy2x2考点 1

6、正比例、反比例和一次函数类的实际问题例 1：(2012 年上海)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长度差异)(1)当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/时，外环线列车平均速度为 30 千米/时现内、外环线共有 18 列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1)设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/时，由题意可知，309v6010v20.所以，要使内环线

7、乘客最长候车时间为 10 分钟，列车的最小平均速度是 20 千米/时(2)设内环线投入 x 列列车运行，则外环线投入(18x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为 t1，t2 分钟，则t13025x6072x，t23030(18x)606018x.又因为 xN*，所以 x10，即当内环线投入10 列，外环线投入 8 列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过 1 分钟【互动探究】1(2013 年山东临沂三模)某公司一年购买某种货物 400 t，每次都购买 x t，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与储存费用之和最小，则 x 等于()A10B20

8、C30D40答案：B考点 2 分段函数类的实际问题例 2：某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果 40 天内全部销售完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图 3-8-1 所示，其中图 3-8-1(一条折线)、图 3-8-1(一条抛物线)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 3-8-1是每件样品的销售利润与上市时间的关系图 3-8-1(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上市时间 t 的关系；(2) 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 于6300 万

9、元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由由 F(t)在(30,40)上是减函数，得 F(t)F(30)6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6300 万元，为上市后的第 30 天【方法与技巧】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起要注意各段自变量的范围，特别是端点值第(1)问就是根据图和图所给的数据，运用待定系数法求出各图象中的解析式；第(2)问先求得总利润的函数关系式，再将问题转化为方程是否有解【互动探究】2某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元；当用水超

10、过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为 5x,3x(单位：吨)(1)求 y 关于 x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x4，乙的用水量也不超过 4 吨，y1.8(5x3x)14.4x.当甲的用水量超过4 吨，乙的用水量不超过4 吨，即3x4，且 5x4 时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8；当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.(2)由于 yf(x)在各段区间上

11、均单调递增，所以甲户用水量为 5x51.57.5(吨)，水费 S141.83.5317.70(元)；乙户用水量为 3x4.5(吨)，水费 S241.80.538.70(元)考点 3 二次函数类的实际应用题例 3：市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 P 元和时间 t(tN)的关系如图 3-8-2.图 3-8-2(1)写出销售价格 P(单位：元)和时间 t(单位：天)的函数解析式；(2)若日销售量 Q(单位：件)与时间 t(单位：天)的函数关系是 Qt40(0t30，tN)，求该商品的日销售金额 y(单位：元)与时间 t(单位：天)的函数解析式；(3)问该产品投放市场第几天

12、时，日销售额最高，最高值为多少元？解：(1)当 0t25，tN 时，设 Patb，将(0,19)，(25,44)代入，得19b，4425ab，解得a1，b19.Pt19(0t25，tN)当 25t30，tN 时，设 Patb，将(25,75)，(30,70)代入，解得a1，b100.Pt100(25t30，tN)综上所述，Pt19t100(0t25，tN)，(25t30，tN).(2)依题意，有 yPQ，当 0t30，函数在25,30上是减函数，因此 t25 时，y 有最大值 1125 元因为 1125870，所以在第 25 天日销售额最大，最大值为1125 元【方法与技巧】二次函数是我们比较

13、熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得另外在实际问题中，还要考虑自变量为整数的问题【互动探究】3某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入 x 万元，可获得纯利润 P1160(x40)2100 万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，其中在前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，公路 5 年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获纯利润 Q159160(60 x)21192(60 x)万元，问仅从这 10年的累积利润看，该规划方案是否可行？解：在实施规划前，由题设 P1160(x40)2