相交线与平行线知识点与练习

1、知识点一：邻补角 定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样的关系的两个角互为邻补角。注意：（1）邻补角形成的前提是两直线相交;（2） 互为邻补角要同时满足三个条件：1、有公共顶点；2、其中一边是公 共边；3、另一边互为反向延长线；（3） 邻补角包含了两个角的位置关系，又包括两个角的数量关系。“邻” 指位置相邻的，“补”指两个角的和为 180°。例1 . 若两个角互为邻补角且度数之比为3： 2,求这两个角的度数。知识点二：对顶角（1） 定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为对顶角。例1:如图

2、所示：直线 AB CD相交于点角的是（）A. / AOF和/ DOE B. / EOF和/ BOE（2） 对顶角的性质：对顶角相等。例2:如图，直线EF交直线AB CD于 G练：如图，直线 AB CD EF相交于点 O, 求/ DOF的度数。知识点三：垂线定义：两条直线相交成 90°角，则这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如果 a是b的垂线，那么b也是a的垂线，写成：a丄b或b丄a。例：如图所示，已知直线 AB CD EF相交于点 O,且CDL AB/ AOE:/ AOD=2 5, 求/ BOF / DOF的度数。知识点四：垂线的画法1、三角

3、板画法：一落：让直角三角形的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合；二移：沿已知直 线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线 就是已知直线的垂线。2、 量角器画法：一落：将量角器的0°刻度线与已知直线重合；二移：沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过已知点，作出 90°刻度线上的另一点；“三画”用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线。例：如图所示：直线 AB CD相交于点O, Q是CD上一点。（1）过点Q画AB的垂线，E为垂足；（2）过点O画CD的垂线。知识点5:垂线的性质：性质1 :在

4、同一平面内，过一点有且只有一条直线于已知直线垂直。“有”表示存在，“只有”表示唯一性质2 :连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。例：如图，在铁路旁边有一个村庄 A,现要建一个火车站，为了使此村 庄的人乘火车最方便（即距离最近），应怎样选择火车站的位置呢？请 你画图说明，并解释其中所蕴含的数学道理。垂直、垂线、垂线段的概念辨析：垂直：直线 AB, CD相交，所交的角是 90°，AB与CD互相垂直。垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，单独一条直线不能叫做垂线。垂线段：连接直线I外一点A与直线I上各点的线段中，与直线 I垂直的线段

5、叫做点 A到直线I的垂线段。例：下列说法不正确的是（）A.经过一点能画一条直线和已知直线垂直；B. 一条直线可以有无数条垂线C. 在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条D. 过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直这样的一对角叫做同旁内角。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例：如图所示，找出图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段。知识点6:同位角、内错角、同旁内角直线AB, CD被直线EF所截，形成了 8个角。同位角：两个角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样一对角叫做同位线。 内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线

6、的两侧，这样一对角叫做内错角。 同旁内角：两个角都在两条被截线之间， 并且在截线的同侧，19 / 17例：如图，指出图中的同位角、内错角、同旁内角。DACE练1:如图所示，在/1,/ 2,/ 3，/ 4，/ 5和/ B中,同位角是,内错角是,同旁内角是 练2 :如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截取而得到的，并说明它们的名称：/ 1 和/ 9;/ 1 和/ 2;/ 3 和/ 5;/ 2 和/ 7;/ 5 和/ 8;/ 6 和/7;/ 6 和/ 8;/ 8 和/ 9;/ 4 和/ 7。.DC练习：1、如图所示， M N是直线 AB上两点，/ 仁/2,/ 3=/4，/ 1与/ 2,/

7、3和/4是对顶角吗?2、“如果/ 1 + / 2+/ 3=180°,那么/ 1 , / 2, / 3互补”这种说法正确吗?3 、下列判断中错误的是（）A. 一条线段有无数条垂线B. 若两条直线相交，则它们互相垂直C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直。D. 在同一平面内，过线段AB的中点有且只有一条直线与线段AB垂直4、下列选项中，/ 1 与/ 2 是同位角的是（）5、如图1,直线a和直线b相交于点0,/仁50°，则/ 2=.6、如图2,直线 AB CD相交于点 0,若/ BOD=40 , 0A平分/ C0E则/ A0E=7、如图

8、3,点A, 0 B在同一条直线上，已知/ B0C=50，则/ A0C=&如图 4,已知/ B0C=30 , 0D平分/ B0C 则/ A0D=.9、 如图5, AB丄CD垂足为点 B, EF平分/ ABD则/ CBF的度数为.10、 如图6 , 0AL 0B若/仁40°,则/ 2的度数是（）A.20 °B.40°C.50°D.60°11、如图 7 与/ 1是内错角的是（ ）A. / 2 B. / 3 C. / 4 D. / 5知识点一：平行线的定义及表示方法定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。b 如图，直线a与直线b互相平行，

9、记作a/b。注意：两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行。例：下列说法：在同一平面内，不相交的两条线段平行；在同一平面内，射线a与射线b没有交点，则allb ;若两直线1,1平行，则I上的线段AB与I上的射线0P定平行；若直线m与直线n没有交点，则m/n。其中，正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1知识点二：平行线的画法利用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线口诀：一落，二靠，三推，四画。一落：将三角尺的一边落在已知直线上二靠：将直尺紧靠三角尺的另两边的任意一边；三推：沿直尺移动三角尺，使三角尺一边正好经过已知点；四画：沿过已知点的三角尺的一边画直线。例：读下面的语句

10、，并作图：（1）如图1,过点A作AF/CE，交BC于点F.（2） 如图2,过点C作CE/AD，交BA的延长线于点 E。知识点三：平行公理及推论1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2、 平行公理的推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行, 即如果a/b ， c/b，那么a/c 。例：同一平面内，已知直线 AB与EF相交于点 M AB/CD，那么EF与CD具有怎样的位置关系？为什么?例：如图，直线 a/b ， b/c ， c/d，那么a/d吗？为什么?例：下列说法中正确的是（）1. 一条直线的平行线只有一条；过一点与已知直线平行的直

11、线只有一条；因为a/b，c/d，所以a/d ；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个知识点四：平行线的判定判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行， 即同位角相等，两直线平行。符号语言：T/仁/ 2,. I /I 。判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 即内错角相等，两直线平行。符号语言：T/2=Z 3,. I / I 。判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行,即同旁内角互补，两直线平行。符号语言：T/2+Z 4=180° ， I

12、 / I 。例：如图所示：根据下列条件，可推出哪两条直线平行，并说明根据。(1)/ ABD玄 CDB ; ( 2)Z CBA+Z BAD=180; (3 )Z ABC=Z DCE知识点五：平行线判定方法的推论推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直与同一条直线，那么这两条直线平行。 符号语言：T a丄c, b丄c,. a/b 。知识点六：判断两条直线平行的方法1、定义；2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；3、同位角相等，两直线平行；4、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；5、内错角相等，两直线平行；6、同旁内角互补，两直线平行。例：如图，/ 仁/ A,Z 2与/

13、 B互余，DEI BC于点F,试确定图中哪些直线平行，并说明理由。练习：1、 下列结论正确的个数是（）（1）两条不相交的直线叫做平行线；（2 ）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一个平面内，不相交的两条射线是平行线；（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。A.1B.2C.3D.42、如图1,由下列条件可判定哪两条直线平行？（1）/ 仁/ 3;（2）/ 2=7 43、 对于图2中的标记的各角，下列条件能够推理得到a/b的是（）A. 7 仁/2 B.7 2=7 4 C. 7 3=7 4 D. 7 1 + 7 4=180°4、如图3所示，已知7 1 =

14、 72,则图中互相平行的线段是 .5、如图4所示，能判定 EB/AC的条件是（）A. 7 C=7 ABE B. 7 A=7 EBD C. 7 C=7 ABC D. 7 A=7 ABE6、如图5所示，下列条件中能判断直线 I 1 的是（）A. 7 仁7 2 B. 7 仁7 5 C. 7 1+7 3=180 ° D. 7 3=7 57、如图 6,已知7 ACD=70 , 7 ACB=60 , 7 ABC=50 , 求证：AB/CD&如图7所示，若7 B=102°,7 1=78°,则AB与CD平行吗？请说明理由。两角间的数量关系两直线间的位置关系知识点1:平行线

15、的性质性质1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相 等。 几何语言： I 1,/ 仁/2。性质2 :两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相 等。 几何语言：I I /I，/ 3=/2。性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内 角相等互补。几何语言：I I /I , / 4+/ 2=180°。例：如图所示，如果 AB/EF , DE/BC，且/ 4=115°，那么你能说出/1、/ 2、 / 3的度数吗？为什么?知识点2 :命题1、定义：判断一件事情的语句，叫做命题。2、组成：命题由题设和结论两部分

16、组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。3、 表达形式：通常写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接 的部分是结论。4、分类：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题，反之，命题中题设成立时，不能保证 结论一定成立的命题叫做假命题。注意：(1)命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断。(2)命题一般为陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题。例：指出下列命题的题设和结论，并将其改写为“如果那么”的形式。(1) 同位角相等；(2) 等角的余角相等；(3) 直角相等；(4) 两点确定一条直线知识点3 :定理与证明定理

17、：经过推理证实得到的真命题叫做定理。证明：一个命题的正确性，需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。注意：(1 )定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。(2)证明中的每一步都要根据，这些根据可以已知条件，也可以是学过的定义，定理等。例：填写下列证明过程中的推理根据。如图：已知 AC BD相交于点 0, DF平分/ CDO与 AC相交于点F, BE平分/ ABO与 AC相交于点E,/ A= / C.求证：/ 1 = / 2。证明：./ A=/ C (已知) AB/CD()/ ABO/ CDO()又 DF平分/ CDO BE平分/ ABO (已知) / 1= / CDO / 2= /

18、 ABO() /仁/ 2(等量代换)。能力点1两条平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。例：如图所示，直线 I 1，点A, B在直线I上，点C, D在直线I上，若 ABC的面积为S , ABD的面积为S，则（）A. S > S B.S =S C.Sv S D. 不确定例：下列命题中：邻补角是互补的角；相等的角是对顶角；同位角相等；两锐角的和不一定是钝 角。其中正确的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2D.3练习：1、如图，已知直线 a, b被直线c所截，以下结论正确的有（）。 / 仁/ 2 ;/ 1 = / 3 ;/ 2=/ 3

19、 ;/ 3+/ 4=180°A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、 如图所示，直线 a/b , /仁70°,求/ 2的度数。°3、判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论，并判断真假。（1） 内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角4、如图，AB/CD, MN和PQ分别平分/ EMB和/ EPD求证：MN/PQ.5、如图1所示，直线AB/CD ,直线EF分别交直线AB, CD于点 若/ 1=42°,则/ 2的大小是（A.56 °B.48)C.46D.40E, F,过点F作FGL FE,交直线AB于点G

20、,6、如图2所示，已知直线A.30 °B.60a、b被直线C.120°c 所截，a/b，/ 仁60D.150°，则/ 2的度数为（7、如图3所示，直线A.70 °B.90a丄直线c,直线°C.110b丄直线c,若/ 1=70°D.80°如图3所示,A.20 °如图4所示,A.4010、如图5,A.409、已知 AB/CD, AD和BC相交于点 O,B.25°C.35直线a、b被直线c所截，B.50°C.70AB/CD, AD平分/ BACB.35D.45a/b，/D.80C.50若/OBAD=7

21、0 ,D.45°/ A=50°,C等于（/ AOB=105，则/仁/2，若/ 3=40°,则/ 4等于（那么/ ACD的度数为（）知识点1平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移。C'如图，三角形 ABC沿直线MN方向平移到三角形 A B C,点A与点A叫做 对应点，点B,C与点B ,C也分别是对应点；线段 AB与线段A B是对应线段， 线段BC, CA与线段B C , C A也分别是对应线段；/ A与/ A是对应角，/ B,Z C与/ B，/ C也分别是对应角。三角形ABC平淡方向也可以看成有点

22、A (或B, C到点A (或B , C ) 的方向，平移的距离就是线段 AA (或BB , CC )的长度 注意：(1)平移是一种运动形式，是图形变换的一种情况；(2) 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平 移的依据。(3) 图形的平移是指图形的整体平移(4) 图形的平移实质是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离。例：下列运动不是平移的是() 传送带上物品的运动；电梯的升降；火车在平直的铁轨上运行；门绕着门框旋转；奥运五环旗 图案的形成过程；电风扇的转动A. B. C. D.知识点2平移的性质(1) 平移中的对应点：新图形中的每一点都是由原图形中的

23、某一点移动后得到的，这两个点是对应点。(2) 平移的性质： 因为平移前后两个图形的大小、形状完全相同，所以平移前后的对应线段平行(或在同一直线上)且相 等，对应角相等。 图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离； 图形平移前后对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。例：如图所示，图中有两个梯形 ABCD和EFGH其中梯形EFGH是由梯形ABCD向右平移2.1cm后得到的，问:(1) 线段AE、BF、CG DH有什么数量关系？(2) AB与EF、BC与FG CD与 GH AD与EH之间有什么位置关系？(3) / BAD与/ FEH / ABC与/ EFG / BCD

24、与Z FGH / ADC与/ EHG之间有 什么数量关系？知识点3平移作图平移作图步骤：一找：找出平移的方向和距离；二定：对照具体图形，确定关键点；三移：按照既定 方向和距离平移图形中的关键点；四连：顺次连接关键点的对应点，得到平移后的图形。例：如图所示，平移三角形 ABC使点A移动到A，画出平移后的三角形 A B C。练习：1、下列现象不属于平移的是（A. 小华乘电梯从一楼到三楼C. 一个铁球从高处自由下落）B. 足球在操场上沿直线滚动D.小朋友坐滑梯下滑2、如图，三角形 ABE沿着BC方向平移到三角形 FCD的位置，若 AB=4cm AE=3cm BE=2cm BC=5cm贝U CF、CD

25、 DF、EF的长分别是多少?3、下列运动：海浪的运动；屏幕上一串移动的字幕；被投掷出去的铅球运动；沿圆形跑道跑步的运动员，其中属于平移的有 4、 如图所示，三角形 FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC?（）A.沿EC的方向移动DB长B.沿BD的方向移动BD长C. 沿EC的方向移动CD长D.沿BD的方向移动DC长5、下列说法中，不正确的是（）A.图形平移前后，对应线段、对应角相等B. 图形平移后，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等C. 图形平移过程中，对应线段一定平移D. 图形不论平移到何处，它与原图形的面积总是相等的6、如图所示，将周长为8的厶ABC沿BC方向平移1个单位得到

26、DEF,则四边形ABFD 的周长为（）A.6B.8C.10D.12 7、如图所示，将 ABC沿直线AB向右平移后到达厶 BDE的位置，若/ CAB=50 ,ABC=100，则/ CBE的度数为 复习专题一：相交线两直线相交成四个角：位置上来看，其中两对角的两边互为反向延长线，这样两对角叫对顶角；还有四 对角，每对角都有一条公共边，另一对边互为反向延长线，这样四对角称为邻补角。从大小来看对顶角相 等，邻补角互补。垂直是相交的特殊情况，当两直线相交成90°角时，这两条直线就互相垂直了。可以写成/AOB=90 AO丄 OB 或T A0丄 OB / AOB=90。例：如图，已知直线 AB与C

27、D相交于点 O, EOLCD于O, OF平分/ AODMZ BOE=50，求/ COF的度数。复习专题二：平行线的判定判断两直线平行目前有 6种方法：1、 是利用平行的定义（在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线），但是利用平行的定义只能定性地 判断，不能定量的判断；2、 是利用“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，是讨论三条直线互相平行时常用的方法；3、利用同位角相等来证明两直线平行；4、 利用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，使用时必然出现两个垂直；5、利用内错角相等来证明两直线平行；6、利用同旁内角互补来证明两直线平行。1、2、4的方法使用有局限性，一般都是根据角度关

28、系来证明两直线平行。例：如图，/ B=Z C, / DAC=/ B+Z C, AE平分/ DAC 试说明 AE/BC。复习专题三：平行线的性质两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，因此平行线性质最直接的运用是：已知两直 线平行，可以推断出角相等或互补。平行线的性质是证明不同顶点的两个角相等的常用工具。ABO例：已知，如图 AB/CD, OE平分Z AOC OEL OF,点 O为垂足，Z C=50°,求Z AOF 的度数。复习专题四：平移学习了平移的概念，平移的基本特征以及运用平移作图。决定平移的因素是平移的方向和平移的距离, 平移不改变图形的形状和大小，平移前后的对应点的

29、连线段以及对应线段平行（或在同条直线上）且相等。例：如图，将字母 k按箭头所指方向平移 1.8cm，作出平移后的图形。复习专题五：方程思想方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元 建立方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。例：如图，FC/AB/DE , Za：z D Z B=2: 3: 4，求 /a、/ D/ B 的度数。复习专题六：分类讨论思想当被研究的对象包含多种可能情况，导致我们不能对它们一概而论，必须按照出现的所有情况进行分 类讨论，得出各种情况下相应的结论。这就是分类讨论思想。分类讨论思想能使复杂、繁琐的问题条理化、 简单化。例：在Z ABC和/ DEF中，DE/AB, EF/BC，请你尝试探索/ ABC和Z DEF的关系。复习专题七：转化思想在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转换，转化是常用的推理形式，必要时还需要添 加辅助线进行转化。例：如图， AB/CD，/ 仁/B,/ 2=Z D,试说明 BE± DE复习专题八：数形结合思想平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是“形”到“数”的说理，研究两直 线的垂直或平行