破解直线与圆中的定的问题

1、破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一， 考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程 思想等。在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如y kx是过定点0 0,0的直线系，y kx b（b是常数）是过定点0,b的直线系，y k x ab（a,b是常数）是过定点a,b的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢?例1 平面直角坐标系 xOy中，直线 1 4k x 2 3k y 3

2、12k0恒过一定点P，而直线mx y 60也过点P，则m 。解法 1:直线 1 4k x 2 3k y 3 4k 0，整理得 k 4x 3y 12 x 2y 30，4x 3y 12 0x 3令，解得，所以P 3,0，x 2y 3 0y 0代入直线mx y 60 ,得m 2，答案：2.12解法2 :令k,则y 0 ；令k ，则x 3 ；43所以直线1 4k x 2 3k y 3 12k0必过直线y 0与直线x 3的交点3,0，显然P 3,0，代入直线mx y 60，得m2。点评：含有参数的直线 Ax By C 0过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可

3、解方程得直线所过的定点。变式1:（ 2014四川）设m R，过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线mx y m 30交于点P x,y，则PA PB的取值范围是a. .5,2.、5 b. L. 10,2.5c. 、,10,4、,5 d. 2、,5,4、5答案 Bo占八、例2 已知圆C ：x2 y2 2kx4k 10 y 10k 20 0 k1 ，则圆C过定解法1 ：圆C的方程可变形为x2 y2 10y 20k 2x 4y 100，所以圆C必过两曲线x2y210y 200与 2x 4y 100的交点,联立方程2 x2y10y200解得2x4y100答案为1, 3o解法2:令k0,则x22y

4、10y20圆C所过的定点必是:曲线2 x2y10y2 x，所以圆C过定点1, 3。 y 35220,令 k ，则 x y 5x 50，22 2200与x y 5x 50的交点；而联立方程y 10y200，解得x 1,所以圆C过定点1, 3。y2 5x 5 0y 3点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘曲线方程与哪些参数 无关。常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊 入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关。变式2:右圆x2y2x8y 130的圆心到直线ax y 10的距离最大时，则a ()A. 1 B.3C.1D. 333答案：Ao二、

5、定直线冋题定直线问题往往是动点所在的疋直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立.，应用待定系数法来处理。例3平面直角坐标系xOy中，已知半径为r的e M的圆心M在直线y 2x 3上,且在y轴右侧，e M被y轴轴截得的弦长为.3r .(1)求e M的方程;(2)当r变化时，是否存在定直线I与e M均相切？如果存在，求出定直线 I的方程;如果不存在，说明理由。解析：(1)设 M a,2a 3 a2 20，则e M的方程为 x a y 2a 3设M到y轴的距离为d，即da，由eM被y轴轴截得的弦长为、3r ,所以r2 d2 迈r22，得d

6、故e M的方程为 xr2。(2)假设存在定直线l与e M均相切，定直线I的斜率不存在时，显然不合题意;设直线I的方程为kx b，则r对于r 0恒成立,r.k21 ,得21 k2r2 k 2 b因为上式对任意实数r恒成立，所以所以存在两条定直线y 3和 4x 3y点评：本题动圆的圆心与半径都在变化,k2k，解得b0与动圆eM均相切。其几何特征不明显， 故采取直接论证dM恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时, 必须紧扣等式的成立与 r的取值无关这一特点。变式3 :已知圆g :2 23m 2 4m m 0 ，直线I的方程y x m 2，圆C1关于直线I对称的圆为C2。(1)证明：当m变化时，C

7、2的圆心在一条定直线上;（2）求C2所表示的一系列圆的公切线方程。提示：（1） Ci2,3m 2关于直线I对称的点C2x 2y 10上.（2）设公切线方程为 y于m恒成立，整理得4k 3 m2 2 2k4k 30所以2 2k 1 k b 10，解之得2k b 10所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为三、定圆问题kxb，则-k 2m 1m 1 b121 kb 1m k b 10，k347b4y3 x，即 3x4y 70442m 1,m 1 ， C2在一条定直线2 m对动直线与定圆相切，是研究d弦心距r恒成立，或者联立方程0恒成立，再按参数整理，令参数的系数为 0,得到方程组，最后解方程组求出圆

8、心与半径。例4已知点P在y上，纵坐标为2t t 0，Q12,3t ，求证：直线PQ恒与t解析：1 由题意知P 0,2t，Q 2,3tt个圆心在x轴上的圆M相切，并求出圆 M的方程。所以直线PQ的方程为y 2tx，即t22ty 4t20，2 n设圆M的方程为x a y2r2 r 0，则t21 a4t2t21 2 4t2r恒成立,整理得 t21 a 4t2 r t21，或 4t2t2 1 a r t2 1所以 a r 4 t2 a r20，或 a r 4 t a r0恒成立,a r 40，或a r 0r 40，解得r 02o因此直线PQ恒与一个圆心在 x轴上的圆M相切，圆M的方程为 x 2 y2 4。点评：解答题解题步骤是：设圆的方程 -化简d弦心距r或0恒成立一变量分离一求圆心与半径一写出定圆方程，如果是客观题，用特例法比较