固体物理吴代鸣课后答案高教课堂

1、1-1试证理想六方密堆结构中试证理想六方密堆结构中c/a=1.633633. 16323632312of;332332af2of;oa1222acaaaacaaca令令；证：配位数证：配位数foa1教育教学的面间距。的面间距。互相垂直，试求晶面族互相垂直，试求晶面族若晶胞基矢若晶胞基矢hklcba,21kcvbabjbvacbiavcbbcbavkccj bbi aa22;22;22;321则：则：且且解：令解：令2教育教学kcljbkiahb lbkbhg2321那么，那么，22212clbkahgd3教育教学1 13 3若在体心立方晶胞的每个面中心处加上若在体心立方晶胞的每个面中心处加上一

2、个同类原子，试说明这种结构的基元应一个同类原子，试说明这种结构的基元应如何选取？其布拉菲晶格是什么格子？如何选取？其布拉菲晶格是什么格子？解：将整个晶体看成是解：将整个晶体看成是5 5个简单立方格子套构个简单立方格子套构而成。而成。布拉菲格子：简单立方；布拉菲格子：简单立方；基元：顶点原子、体心、三个相邻面心基元：顶点原子、体心、三个相邻面心4教育教学1 14 4试求面心立方结构的试求面心立方结构的(111)(111)和和(110)(110)面的原子面密度。面的原子面密度。解解：(111)(111)面：顶点面：顶点3 3个原子，每个个原子，每个1/61/6； 边上边上3 3个原子，每个个原子，

3、每个1/21/2； 211123223221aaas221113423213613aa面密度面密度5教育教学同理，同理，(110)面：顶点面：顶点4个原子，每个个原子，每个1/4; 边上边上2个原子，每个个原子，每个1/2;211022aaas2211022212414aa6教育教学头三个布里渊区。头三个布里渊区。试画出试画出为为设二维矩形格子的基矢设二维矩形格子的基矢,2,5121j aai aajabiab,221解：倒格子基矢：解：倒格子基矢：7教育教学8教育教学矢为矢为六方密堆结构的原胞基六方密堆结构的原胞基61;232;232321kcaj aiaaj aiaa第一布里渊区。第一布里

4、渊区。试求倒格子基矢并画出试求倒格子基矢并画出9教育教学;2)(2;322)(2;322)(2213132321kcaabjaiaaabjaiaaab;23)(2321caaaa解：解：第一布里渊区为六棱柱第一布里渊区为六棱柱10教育教学消失的条件。消失的条件。射线衍射射线衍射，并讨论，并讨论试求金刚石的结构因子试求金刚石的结构因子x71个原子的坐标为：个原子的坐标为：面心三个、体心四个；面心三个、体心四个；个：顶点一个、个：顶点一个、立的原子共有立的原子共有解：考虑一个晶胞，独解：考虑一个晶胞，独88;220;202;022;0004321aaraaraarr;3314;3134;1334;

5、11148765arararar11教育教学82132181i.)(2e)(fffknjninagfgsjrgjj简单立方的倒格矢；简单立方的倒格矢；其中，；其中，则则eeeeeee1 )()33(2i)33(2i)33(2i)(2i)( i)( i)( i321321321321323121nnnnnnnnnnnnnnnnnnfgs12教育教学e1 eee1 )(2i)( i)( i)( i321323121nnnnnnnnnf奇奇中有二奇一偶或二偶一中有二奇一偶或二偶一为整数；为整数；消光条件为：消光条件为：321321,),12(2nnnnnnnn13教育教学. 2ln212晶格的马德隆

6、常数证明一维nacl，则左右两侧对称分布证明：任选一参考离子i最近距离）为晶格常数（正负离子；这里令aaarjij.;.4131211121为其中，异号为；同号那么，有：jja14教育教学.432)1ln(432xxxxx利用展开式：.41312112ln1 ，得：令x2ln215教育教学应如何决定。和参数合能的表达式，并讨论用，试导出离子晶体结最近邻离子间的排斥作来表示，只考虑若离子间的排斥势用-r/e22离子为原点）（以，则离为解：设最近邻离子间距irarrjij，（最近邻以外），（最近邻，ijijijrijrerrreeruij0202/44)(16教育教学最近邻总相互作用能为：/)(0

7、2e142rnijjarenu为最近邻离子数其中；zzrenur) 1.(.e42/02)2.(.e40/200200rrrzreru；得：由平衡条件：17教育教学) 3.(.1420002rrenu得：)(0crue结合能)4.(.91nacl0220rrrunrk等离子晶体：对于)5.(.e142181/2300200rzrerk18教育教学)6.(.1442181)5()2(200230020rererk得：代入将)7.(.722400202krere)8.(.e4)2(/20020rzre得：由19教育教学多大变化？距离将产生合能以及离子间的平衡不变，试估计晶体的结一倍，假定排斥势晶体

8、中离子的电荷增加如果nacl32) 1.(4202nrbrenu解：总相互作用能)2.(.0421020020nrrrnbrenru)2.(.411200nenbr得：20教育教学)3.(.4)2(1002nrneb得：由)4.(118)() 1 ()3(0020nrenru得：代入111004)()2(4)()2()4()2(2nnneueuereree可知：和时，由变为当电荷由21教育教学散关系。散关系。简谐近似下求格波的色简谐近似下求格波的色所有原子都有作用，在所有原子都有作用，在若考虑每一原子与其余若考虑每一原子与其余在一维单原子晶格中，在一维单原子晶格中，13jiijijjiijij

9、uuuxu20041)(21解：在简谐近似下：解：在简谐近似下：)(41dd222jiijijnnnuuuutumn个原子的运动方程：个原子的运动方程：第第22教育教学)(41)(2)(2njnjnjniininnuuu右边右边)()(41)(2)(2njnjnjniininnuuuuu) )()(21)()(njnjnjniininuuuu)()(niniinuupnpnpnpuuu)2(23教育教学pnaqpntaqpntpnaqtnaqtnuaaamau)2ee(ee)( i)( i)( i2)( i代入上式得：代入上式得：设设pppaqm)cos1 (22整理，得：整理，得：24教育教

10、学。，试求格波的色散关系，试求格波的色散关系和和等于等于原子间的力常数交错地原子间的力常数交错地最近邻最近邻两种原子的质量相等，两种原子的质量相等，设有一维双原子晶格，设有一维双原子晶格，2123nnnnnnnnuuutum)()()(dd2121121122解：解：nnnnnnnnuuuutm)()()(dd211121122225教育教学)( i)( ie;etnaqntnaqnbau试探解：试探解：baabmabbamaqaq)(e)(e212i12212i12代入方程，得：代入方程，得：0)(e)e()(212i122i1221mmaqaqmaqcos2212221212经计算，得：经

11、计算，得：26教育教学格波色散关系为格波色散关系为已知一维单原子晶格的已知一维单原子晶格的33)cos1 (2)(2qamq的的比比例例关关系系。低低温温下下晶晶格格热热容容与与温温度度；格格波波的的模模密密度度试试求求：)2()() 1 (g)(d2)(qqlg解：一维时，模密度解：一维时，模密度qaqmamaqdsin2d2;21cos2由色散关系，得：由色散关系，得：27教育教学2/142224ddmmmaqmqmqmmaqqqlg02/14222)(4)()()(d)(22)(2/142224mmmal28教育教学mtkgttec0b1)/exp(d)(晶格热容：晶格热容：）项，（因为

12、低温，项，（因为低温，略去略去14mtkmmaltc01edb0d1ebtktmal)(似为无穷大似为无穷大主要，所以上限可以近主要，所以上限可以近因为低温，频率低的占因为低温，频率低的占29教育教学0222bd) 1e (exxtkmalxx32经计算，上面积分经计算，上面积分tmalkc32b30教育教学模型的合理性。模型的合理性。论德拜论德拜题的结果进行比较，讨题的结果进行比较，讨与温度的关系，并和上与温度的关系，并和上格，求低温下晶格热容格，求低温下晶格热容将德拜模型用于一维晶将德拜模型用于一维晶43cq色散关系：色散关系：解：对于德拜模型，有解：对于德拜模型，有qcdd)(d2)(q

13、qlg0)(d1qclcl31教育教学01e)(dbtkgtc0222bd) 1e (exxtkclxx32上面积分上面积分tcklc32b温温的的情情况况下下。有有其其合合理理性性，尤尤其其是是低低成成正正比比，说说明明德德拜拜模模型型与与上上题题结结果果比比较较，都都与与 t32教育教学。不因此而获得物理动量不因此而获得物理动量的声子，试证明晶体并的声子，试证明晶体并为为中，只激发出一个动量中，只激发出一个动量设想在一维单原子晶格设想在一维单原子晶格)0(53qq)(i, 0, 1e1llllnllnqqnall：证明：先证下面的式子证明：先证下面的式子nnnllnnllnanannlll

14、l2i)(2ie1e1时，左边时，左边时，显然成立。时，显然成立。33教育教学0e1)e1 (e12i2i2inllnnllnllnnnqatnnmumpiieei晶体物理动量晶体物理动量0结论成立。结论成立。34教育教学形成的新结构。形成的新结构。试说明所试说明所，晶体结构发生变化，晶体结构发生变化，原子的位移被“冻结”原子的位移被“冻结”，这时，这时振动模式的频率趋于零振动模式的频率趋于零）若在某一温度下这种）若在某一温度下这种（向；向；某一时刻原子的位移方某一时刻原子的位移方）画出这种振动模式在）画出这种振动模式在（振动模式：振动模式：落在布里渊区边界上的落在布里渊区边界上的虑波矢虑波矢

15、的一维单原子晶格，考的一维单原子晶格，考设有晶格常数为设有晶格常数为2163a)( ie) 1 (naqtnau一维晶格位移一维晶格位移解：解：,aq对于布里渊区边界，有对于布里渊区边界，有35教育教学tnntnaaui)( ie) 1(e11nnuu反，即：反，即：相邻原子的位移方向相相邻原子的位移方向相移在量值上相同，只是移在量值上相同，只是任何时刻原子运动的位任何时刻原子运动的位子互相靠近。子互相靠近。，形成的新晶格是两原，形成的新晶格是两原为为此时的位移此时的位移时，振动至不能恢复，时，振动至不能恢复，当当an) 1(0)2(36教育教学两者的数量级。两者的数量级。浓度，并比较浓度，并

16、比较）时空位和间隙原子的）时空位和间隙原子的试估计接近熔点（试估计接近熔点（，为为，间隙原子的形成能约，间隙原子的形成能约铜的空位形成能约为铜的空位形成能约为k1300ev4ev26. 114tkubnne空空肖脱基缺陷引起，肖脱基缺陷引起，解：对于空位，主要由解：对于空位，主要由513001038. 1106 . 126. 11032. 1ee2319btkunn空空空位浓度空位浓度tkutkunnnnbb2221ee)(间间克尔缺陷引起：克尔缺陷引起：对于间隙原子，由夫伦对于间隙原子，由夫伦37教育教学813001038. 12106 . 1421079. 1ee2319btkunn间间间

17、隙原子浓度间隙原子浓度个量级。个量级。二者差约二者差约338教育教学热容的贡献。热容的贡献。积的变化以及对晶体积的变化以及对晶体个肖脱基缺陷后晶体体个肖脱基缺陷后晶体体试求产生试求产生n24个，个，个增加到个增加到的格点就由原来的的格点就由原来的到表面上，这样，晶格到表面上，这样，晶格个原子从晶体内移动个原子从晶体内移动有有个肖脱基缺陷就意味着个肖脱基缺陷就意味着解：产生解：产生nnnnn，体积为体积为，那么每个原子所占的，那么每个原子所占的令原来的晶体体积为令原来的晶体体积为nvv00nnvnnvvv1000后来的体积后来的体积nnvvv00体积变化为体积变化为，能量变化为能量变化为个肖脱基

18、缺陷，晶体的个肖脱基缺陷，晶体的产生产生nun39教育教学vvtec而而tnutnutecvvvtkunnbe而而tkutkutknutkuntnbbe) 1(e2b2b2b22b2betknutknuctkuv40教育教学响。响。系维度对物理性质的影系维度对物理性质的影的变化曲线，并讨论体的变化曲线，并讨论体随随，画出，画出自由电子气的能态密度自由电子气的能态密度导出一维、二维和三维导出一维、二维和三维eegeg)()(15mke222解：解：emk2221222222emlklze以下的状态数以下的状态数一维：一维：2122eml212122)(enmnemleg41教育教学emlklkl

19、z22222222222二维：二维：222)(nnmmleg232223232323422mevmelz三维：三维：21232222)(emveg42教育教学化学势为：化学势为：证明二维自由电子气的证明二维自由电子气的25。为单位面积上的电子数为单位面积上的电子数ntkttmkn1eln)(b2/b0)(d)()(。可以求可以求证明：由证明：由teegefn22dd)(0nnmezegennmze间的状态数间的状态数二维自由电子气的二维自由电子气的43教育教学00/ )(2d1e/d)()(bennmeegefntketkxtkexntnmktkentnmkbb1ed1ed2b0/ )(b2b

20、tkxxtkxxntnmkxntnmkbb1e) 1e (d1ede2b2b1eln1elnbb2b2btktkxntnmkntnmk44教育教学1elnbb2tktmkn1elnb2btmkntk45教育教学的结果比较。的结果比较。表达式，并与经典理论表达式，并与经典理论的的数数理论的结果导出理论的结果导出试根据自由电子气量子试根据自由电子气量子llorentz35fbb2e2etknkc解：根据量子理论：解：根据量子理论：mne22ee3131clck热导率热导率mecfe231tmnkmeetknk2b2ffbb23223146教育教学mnetmnkk22b23tek2b232b23ek

21、l劳仑兹数劳仑兹数与书上经典结果对比。与书上经典结果对比。47教育教学电场中的电导率。电场中的电导率。动量，试求金属在交变动量，试求金属在交变是电子是电子来表示，来表示，撞阻力用撞阻力用若金属中传导电子的碰若金属中传导电子的碰pp45meepeetmxeedd方向）：方向）：沿沿（假定（假定作用下电子的运动方程作用下电子的运动方程解：在电场解：在电场eetmdd，则：，则：设：设：tttxxeei0i0i0e,e,e频频率率）（电电子子能能够够跟跟上上电电场场的的48教育教学eme1ieme1) 1i (22mneeneej2221i1)(49教育教学kaaekeexnanaxaxvxvaax

22、ncose2)(e)()()()(16002/1价电子的能量为价电子的能量为，试用紧束缚近似证明，试用紧束缚近似证明能量为能量为数为数为原子的归一化电子波函原子的归一化电子波函为整数，自由为整数，自由函数势的强度，函数势的强度，为常量，是为常量，是式中式中由原子势叠加而成，即由原子势叠加而成，即，晶体中的单电子势，晶体中的单电子势维晶格，晶格常数为维晶格，晶格常数为设有单价原子组成的一设有单价原子组成的一50教育教学),(i0)(e)(nnmrkrekem解：由紧束缚近似，解：由紧束缚近似，)()()(:) 1 (xanaxaxvn求xxxvxd)()()(*)()(ed2xanaxaxnxn

23、xnaxaxa)(ed2022eennananaaa51教育教学）；（；（求求1, 0d)()()(:)2(*nnxnaxxvxxxvnaxxd)(ee12/12/11时，时，当当xanxanaxxd )(ee001ennnaa（忽略高阶项）（忽略高阶项）aae为小量）为小量）子上几率小，子上几率小，（原子波函数在其它原（原子波函数在其它原aeaae1同理：同理：ee e2)(1i1i20kakaaaekekaaeacose2052教育教学).()(e)(26),(i0kesfccbccmrekesnnmrkm的能量的能量带带晶格晶格和和试求试求的求和只限于最近邻，的求和只限于最近邻，对对带能

24、量的一般公式带能量的一般公式利用紧束缚近似导出的利用紧束缚近似导出的:bcc1）对于）对于解：（解：（个；个；最近邻原子数最近邻原子数8）坐标（2,2,2aaa)222( i)222( i)222( ie.ee)(zyxzyxzyxkakakakakakaakakaksseke代入上式，得：代入上式，得：akakakezyxs21cos21cos21cos853教育教学:fcc)2(对于对于个。个。最近邻原子数最近邻原子数12)0 ,2,2(),2, 0 ,2(),2,2, 0(aaaaaa坐标坐标代入，得：代入，得：.ee)()22( i)22( iakakakaksszyzyekeakak

25、akakakakezyzxyxs21cos21cos21cos21cos21cos21cos454教育教学度。度。子的有效质量及能态密子的有效质量及能态密试求：能带极值附近电试求：能带极值附近电带的能量为带的能量为已知简单立方晶格已知简单立方晶格),coscos(cos2)(36akakakekeszyxs)0 , 0 , 0(),(带底：带底：解：带顶：解：带顶：aaaakakeakakeakakezzyyxxcos2cos2cos222222222255教育教学对于带顶：对于带顶：22222*2 akemxxx*xxzzyymmm附近，有：附近，有：aaa)(211)(211)(211(2

26、)(222222akaakaakaekexyxs22226akakakaezyxs56教育教学akkakkakkeezzyyxxs60；令：令：2 20)()(kaekeke则：则：)(d)(121d)(202202 keakeeakakeek；57教育教学33d)(4)(kkeeveg02 3d4)(4kkkeev 0)(d21)(4)(42203ekeaakeekeev0)(d)(214)(42023ekeakeeakeev20232144aeeav58教育教学2/102/32)()(12)(eeaveg2/12/32)6()(12eeavs59教育教学22*22222*22ammakem

27、zzyyxxx；对于带底：对于带底：附近，有：附近，有：000)211211211 (2)(222222zyxskakakaeke226akes220ake60教育教学202)(aekek)(d)(21d02keekeakkkeeveg33d)(4)(023d4)(4kkkeev002203)(2)(d)(4)(4eekeakeaekekeev2/102/32)()(12eeav61教育教学2/12/32)6()(12)(seeaveg62教育教学?21046周期的周期的空间中的运动是否也是空间中的运动是否也是）电子在）电子在（的，并求出周期；的，并求出周期；空间中的运动是周期性空间中的运动是

28、周期性）电子在）电子在（场，试说明：场，试说明：此时沿晶格方向加静电此时沿晶格方向加静电能量为零），能量为零），时电子处在能带底（设时电子处在能带底（设设有一维晶格，在设有一维晶格，在rktetkkdd) 1 (空间的运动方程为：空间的运动方程为：电子在电子在解：解：tetk)()0)0(tk周期的。周期的。为为空间的运动是以空间的运动是以么就可以说明在么就可以说明在就达到相同的状态，那就达到相同的状态，那，每经历时间每经历时间对应相同的状态，那么对应相同的状态，那么与与只要证明只要证明tktttktk)()(63教育教学gtkttktkgkk)()()(一定会达到一定会达到随时间增长，随时间

29、增长，对应相同的状态，那么对应相同的状态，那么与与在晶体中，在晶体中，即：即：tegiag2而而)(i令aet264教育教学在真实空间中，有：在真实空间中，有：)2()(1)(kekkttttr0d)()(ttttttttttttttrd)(d)(d)()(00)()(d)(ddd)(d)(ttktkttttttkkekkttktt而而65教育教学0)(变化一个周期积分变化一个周期积分的奇函数，所以的奇函数，所以是是由于由于kkk)()(trttr相同。相同。空间空间周期与在周期与在运动也是周期性的，其运动也是周期性的，其即：电子在真实空间的即：电子在真实空间的k66教育教学21220000)

30、(4)()(21)()(21)(56nnngvgkekegkekeke子子的的能能量量近近布布里里渊渊区区界界面面时时，电电按按近近自自由由电电子子近近似似，靠靠交。交。与布里渊区界面垂直相与布里渊区界面垂直相试证明：电子的等能面试证明：电子的等能面)(22212221)(22ngkmkmkke证：证：2/12200)(4)()(2121nngvgkeke 22)()( 2200nngkkmgkeke67教育教学上时：上时：端点落在布里渊区边界端点落在布里渊区边界当当k)()(02002nnngkekeggk)21()(2ngkmkke）的边界；）的边界；的方向沿着布里渊区（的方向沿着布里渊区（而而与等能面垂直；与等能面垂直；n