时空分数阶导数算子

1、时空分数阶导数算子BORIS BAEUMERMARK M. MEERSCHAERTJEFF MORTENSEN摘要不规则扩散的演化方程在空间和时间中使用分数阶导数。在时空间的变量的连接产生了新型的分数阶导数算子。本文讨论一些算子的数学基础。简介在经典扩散中，微粒以通常的钟型的模式传播，其宽度与时间的平方根相关。当生长率或粒子分布的形状经典模型预测不同时发生异常扩散。异常扩散在可以许多物理现象中观察到，并激励新的数学模型和物理模型的发展5，6，7，13，16，20。一些最成功的模型采用分数阶导数21，27，其实就是异常扩散中常见整数情况的衍生物。建立异常扩散的物理模型一种方法是源于全体粒子在随机

2、过程中的极限分布。连续时间下的随机漫步 22，29 一直是最有用的18，20，30，其中每个随机粒子跳跃后会有随机的等待时间。非常大的颗粒的跳跃与空间分数阶导数14有关，而很长的等待时间会产生时间的分数阶导数18，26。同样的模型方程也被应用到混沌动力学31和经济学28。  在连续时间的随机漫步中，颗粒跳跃的大小可以取决于在跳跃之间的等待时间。对于这些模型，颗粒的极限分布受控于涉及时空分数阶导数算子的分数阶微分方程3,19。本文建立了这些算子的数学基础。尤其是，它们被证明是某些连续卷积半群的生成元，并且它们的域表现为一个合适的函数空间，其中的乘法的运算在傅立叶拉普拉斯空间的

3、产物。普通空时算子的一般形式被给出。在这方面的发展中所使用的技术手段是算子半群1，11，23，和算子稳定的概率分布的理论12，15。分数阶导数和异常扩散让表示粒子在位置x处和时间t时的相对浓度。经典扩散方程可以使用傅立叶变换求解，这把扩散方程转化为一个常微分方程的。初始条件相当于，所以所有的颗粒都从开始。其解反转得到均值为0标准差为的概率密度。使用中心极限定理，也就得到粒子随机漫步的极限密度在跳跃代表0和方差之一时会跳跃。如果颗粒跳跃的概率分布有随指数定期对变更的尾部（粗略地讲，这意味着该跳跃的距离大于r的概率下降到），则方差无定义，所以经典的中心极限定理不适用。一个推广的中心极限定理8，9，

4、15表明随机漫步收敛到一个稳定的Levy运动其概率密度经过傅里叶变换，显然是，解。反转表明粒子浓度解决了分数阶偏微分方程其中对称分数微分算子对应傅立叶空间 以为符号乘法。这是一般的二阶导数算子的分数幂。非对称粒子跳跃形成一个更一般形式的以为符号的分数阶导数算子7,4，当为跳跃幅度趋向于无穷的正跳跃的渐近分数。对于对称向量转移的一个类似的讨论我们可以对使用以为符号的拉普拉斯算子，可在中见到更普遍的形式14，16。这些拟微分算子也是某些连续卷积半群的生成元2,11。如果粒子跳跃间的等待时间以指数0<<1定期复合，则随机漫步粒子的跳跃（称为连续时间随机漫步）收敛到一个服从于逆-稳定从属的

5、Levy运动17，18。假定等待时间和随后的粒子跳跃是独立的，其从属是独立的Levy过程，并控制方程成为，它是由Zaslavsky31作为一种哈密顿混乱模型首次提出的。非对称跳跃，或矢量转移，其改变空间导数方式如前2。重尾粒子跳跃产生空间的分数阶导数，重尾等候时间产生时间的分数阶导数。当等待时间和粒子跳跃依赖随机变量，控制方程的另一种形式便出现了。该极限过程是仍然一个从属于平稳的从属的Levy运动，但现在这两个过程相互依赖。时空向量组成的等待时间和跳转必须使用算子稳定极限理论来处理，因为每个坐标不同的尾部行为3。这导致了控制方程采用一种新的耦合时空分数阶导数。假设等待时间满足并且对称粒子的跳跃

6、幅度在等待时间时是均值为方差为的正常分布。那么，控制方程采用了时空分数阶导数与傅立叶拉普拉斯符号。本文的目的是探讨这些算子的性质，以建立分析这些方程的数学基础。让这个问题有趣的是，由于空间和时间有密不可分的关系，不能用通常的方式，即泛函空间中的常微分方程来看待这些发展方程。时空分数阶导数设，并假设是一个概率分布，并在傅立叶变换拉普拉斯变换为。令表示对自身n次的卷积。如果对于每个存在概率分布且满足我们就说是无穷可分的。其Levy表示（例如，见引理3的2.1 ）说明是无穷可分的当且仅当对于一些独特连续函数我们可以得到。例如：。且有 对于一些特殊的定点，一些的非负定矩阵，和 上的正测度，在远离原点的

7、有界域上有界并满足 该测度称为的Levy测度，并且被称为的levy表示。在这种情况下，我们定义（可能是小数）卷积幂在 Levy表示为三元组下的无穷可分律，因此对于任意，具有特征函数 。且对任意有。无穷可分分布可以用来定义半群卷积。令表示可测函数集，其积分和范数存在。我们称此范数为范数，且是巴拿赫空间。除非明确说明，将被看作是一个正实数。显然，是真包含，除非时，两个函数空间是相同的。此外，若，则有。在巴拿赫空间上的一族有界线性算子如果有 是单位算子且对所有有，则被称为的有界线性算子半群。如果对所有的成立，则称半群是一致有界的;如果在这种情况下，我们就称之为收缩半群。如果当时，在上对于所有成立，这

8、个半群就是强连续的。我们可以轻易检验如果当 时， 对所有 成立那么是强连续的。如果可以推出对所有 有，则称这个半群在巴拿赫格是正的。一个强连续的收缩正半群被称作半群。下面的结果说明在上的任一无穷可分律定义了一个上的半群。命题3.1 令是上一个无穷可分律并定义 对所有的都成立。那么对于所有的，这族线性算子有如下性质。（a）,（b）（c）可推出对所有有（d），（e）证明。性质（a）（b）（c）可由无穷可分的定义直接得到。性质（d）可由费比尼定理得到： 性质（e）相较来说会更巧妙一些。我们首先证明（e）在矩形中建立了一个指示函数。;即，令，矩形为。那么就有 ，由于是无穷可分的，当时我们有 (例，见1

9、5的推论3.1.4），这意味着使得所有波尔子集 有。由于点质量为零，这种情况发生当且仅当。那么对于所有的， ，且，我们得到 因此，通过控制收敛原理，因此，由（3.4）式，可得，由此可知，于是对于这样的用范数取代了范数（e）成立。又因为对任意指示函数都有，这便轻易得到了当任意在范数下（e）成立。现在对于任意建立。显然并且因此我们可以对积分进行黎曼近似得到且。然后令，它可以得到。利用三角不等式，得到应用命题的性质（d）因此得到 建立性质（e）唯一决定于证明 ，。如果我们取，就有所有的范数在不等式和中与范数相等且时指示函数。现在令，在这种情况下是一个函数而且由于我们刚刚证实了性质（e）对于函数是成立

10、的，于是式成立因此我们证实了对于函数性质（e）也成立。对于任一强连续半群在巴拿赫空间上我们定义生成元 意味着在巴拿赫空间范数下。线性算子的域是所有满足中限制的。而且在中是稠密的，并且是闭的，这就说明如果并在上有，则（例见23 I.2.5）。在下面的定理中，我们把如方程（3.3）所定义的半群的算子特征化。对于任何，其傅立叶拉普拉斯变换    对于所有的以及均有定义。 定理3.2. 假设按照情况3.1.中方程（3.3）定义并且令。设是强连续半群的生成元。那么对所有的都有，其中由（3.1）式给出并且进一步，如果表示的子集，且它的一二阶空间弱导数和一阶时间弱导也

11、在上，那么且对任意有 式是阶梯函数。证明。 如果，那么存在其傅里叶拉普拉斯变换。由于卷积的傅里叶拉普拉斯变换是一个乘积。那么由于对任意都有，其本性上确界由决定，再由（3.7）得到 对所有成立。反之，取满足对一些有。那么对所有都有。此外，它是半群理论的基本事实（参见，例如23 定理I.5.2），该预解算子对于所有都是有界线性算子，并且把映到。设。则有及。因此有因此，。最终，我们得到了算子在方程（3.8）中的形式。令我们假设时定义为0并抑制(3.8)式中的函数。首先假定对存在二阶偏导对存在一阶偏导。使用泰勒级数对展开，其中是在的矩阵，容易得到存在常数使得同样的，对使用泰勒级数展开，存在常数使得使用

12、费比尼定理按惯例通过加减从而利用先前的估计我们得到 其中为（3.2）的常数。因此对所有满足连续条件的（3.8）式可以很好地被定义。由于是的傅里叶拉普拉斯变换，是的傅里叶拉普拉斯变换而且的傅里叶拉普拉斯变换为，由此推出（3.8）式右边的傅里叶拉普拉斯变换为。接下来我们证明.首先如果有就能得到其中为与无关的常数。进一步，如果则并且对有 如果，就有数列使得在范数下并且在范数有同样结论。不等式（3.11）说明在范数下收敛到。由于是闭的，于是有。注3.3. 另一个影响成为强连续半群的因素是解决抽象柯西问题 其中。更进一步，积分方程对所有（例子见23定理）。这个发展方程小心去解，因为现在对 同时是空间和时

13、间函数。注3.4.尽管从定理3.2的一些结论可以从强连续半群的一般理论1，11，23中得到,我们还没有看到有任何结果能说明时间是空间的一部分变量。另一个难点就是，注3.3.中的函数对任意的在上没有紧支持。此外，注意到如果是对的概率密度，那么不论是还是在上都没有收敛的傅里叶积分。时空耦合扩散方程在本节中，我们结合3中的随机过程极限理论应用第3部分的结果来研究耦合连续时间随机行漫步。在模型中，每个随机等待时间都会伴随一个随机粒子的跳跃。我们假设时空矢量是独立的，。但是我们允许和之间存在依赖。如果有限，8中的一个更新定理表明这些伴随时间的跳跃数量是渐近恒定的，从而说明这个极限过程和非随机等待时间的简

14、单随机漫步是一样的。另一方面，若对一些有，则在温和条件下随机漫步的时空矢量收敛到维Levy运动算子，其中是从属于稳定的拉普拉斯变换。在注3.3.中的函数是这个极限过程的概率密度时，是相关半群的生成元。由于可以计算跳跃次数，其逆过程表明跳跃的次数，并且极限代表耦合异常扩散模型的极限随机过程。在3的计算表明这一过程的概率密度是 并且其傅里叶拉普拉斯变换是 由于。所以，其中是生成元的傅里叶拉普拉斯标志。现在假设在时间的颗粒位置是随机变量在的概率密度。在模型里，在时间的随机颗粒位置是，假设是独立的，则的概率密度为则有，其中是傅里叶变换。现在就有式子右边可以转化为，并且是的元素。由于满足定理3.2.的条

15、件所以在域中且可以转化为上面的方程从而给出结论是时空耦合方程 的特殊的傅里叶拉普拉斯变换解。注4.1.（4.3）中使用拉普拉斯傅里叶标志的伪微分算子可以通过（3.1）的levy表示及3中定理2.2来计算，可以明确levy测度的形式。3中有一些具体的例子。在非耦合情况下的对称梯度跳跃，其标志与非耦合算子相关并且由此（4.3）变弱为的分数运动方程31。如果均值为0方差为那么当就有并且（4.3）式就变为 重尾对称跳跃就导致了在中与在中的相似形式。结论当粒子跳跃之间的等待时间影响跳跃大小的确定时，时空耦合分数阶扩散方程对在物理建立异常扩散模型是很有用的。时空耦合分数阶导数可以被定义为确定的卷积半群的生

16、成元。最近在10,28中的经济学研究对各种各样的经济学工具的收益使用了耦合模型。由24,25所得到的经验证据表明交易之间的等待时间影响价格变动的确定。由此，基于时空分数阶导数的时空耦合分数阶扩散方程，在这方面的领域内可能会有所应用。参考书目（省略）个人感想翻译论文这件事对我来说本是罕见，但在这门课上却是连着经历了两次。怎么说呢，翻译的过程基本都不会一帆风顺，但也算不上困难重重。其实相比上次的小组翻译这次的各人翻译相对来说能更顺利一些，毕竟一个人的译文比多人合作出来的东西看起来通顺了不少。再者，对于译者来说，从始而终的过程也比从中间某一段莫名其妙的开始翻译要简单不少。那么本次我所翻译的论文是针对时空分数阶倒数算子的。它主要应用于时空异常扩散。看到扩散一词大多都会想到物理或者化学中的粒子扩散。然而它并非我们平常所见的那种扩散过程，由扩散中心向周围慢慢的运动开去，而是或静止或突变，仿佛一个情绪极其不稳定的孩子。而该论文的作者将这种模型的应用方向基本定在了经济学的方面，将这种静止和突变的过程类比为交易间隔的时间以及价格的变动，这无疑是非常贴切的。当然本文的重点是在与这种模型的数学基础，而非在现实生活上的应用，读来多多少少是有些枯燥。论文的主题部分分为三个部分：分数阶导数和异常扩散，时空分数阶导数，以及时空耦合方程。当然第一部分其实是相当于一个引子，通过介绍控制方程的演化，告诉我们不