42根轨迹的基本规律及绘制

1、11/3/20211第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法第二节第二节 根轨迹的基本规律及绘制根轨迹的基本规律及绘制11/3/20212项 目内 容教 学 目 的掌握根轨迹的八个规律，并在此基础上绘制根轨迹（手工和matlab）教 学 重 点根轨迹八个规律的内容。教 学 难 点八个规律的证明，根轨迹的手工绘制。讲授技巧及注意事项运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析。4-2 根轨迹的基本规律及绘制根轨迹的基本规律及绘制11/3/20213一、根轨迹的基本规律一、根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律从以下根轨迹的基本规律从以下8 8个方面进行讨论：个方面进行讨论：1 1、根轨迹的起始点

2、与终止点；、根轨迹的起始点与终止点；4 4、根轨迹的渐近线；、根轨迹的渐近线；2 2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3 3、实轴上的根轨迹；、实轴上的根轨迹；5 5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；6 6、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角( (复数零极点复数零极点) )；7 7、根轨迹与虚轴的交点；、根轨迹与虚轴的交点；8 8、根之和。、根之和。11/3/20214特征方程可写为：特征方程可写为：nm*iji1j 1(1)(s)k(s)0pz*iik= 0s = p (i = 1,2,n)*jjk =s = z

3、 (j=1,2,m) 规律一一 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点nmij*i1j 11(2)(s)(s)0kpz根轨迹起始于开环极点。根轨迹起始于开环极点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。11/3/202151 1当当m=nm=n时时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。起点与终点均为有限的值。讨论：讨论：2 2当当mnmnmn时时，即开环零点数大于开环极点数时，除有，即开环零点数大于开环极点数时，除有n n条根轨迹起始于开环极点条根轨迹起始

4、于开环极点( (称为有限极点称为有限极点) )外，还有外，还有m-nm-n条根轨迹条根轨迹起始于无穷远点起始于无穷远点( (称为无限极点称为无限极点) )。参数根轨迹参数根轨迹11/3/20216 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点( (k*0)0)，终止，终止于开环零点于开环零点( (k*)；如果开环极点数；如果开环极点数n n大大于开环零点数于开环零点数m m，则有，则有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平面的无穷远处，如果开环零点数平面的无穷远处，如果开环零点数m m大于开大于开环极点数环极点数n n，则有，则有m-nm-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于s s平面平面的无

5、穷远处。的无穷远处。结论：结论：11/3/20217规律二规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数根轨迹的连续性、对称性和分支数 根轨迹的分支数根轨迹的分支数( (条数条数) )等于系统特征方程的次数等于系统特征方程的次数n n。( (根轨迹描述特征根的变化规律根轨迹描述特征根的变化规律) ) 根轨迹是连续的曲线。根轨迹是连续的曲线。( (k*是连续变化的是连续变化的) ) 根轨迹总是对称于实轴。根轨迹总是对称于实轴。( (实际的物理系统的参实际的物理系统的参数都是实数数都是实数数学模型的系数是实数数学模型的系数是实数特征根不是实特征根不是实数就是共轭复数数就是共轭复数) ) 结论：结论：根轨迹

6、是连续且对称于实轴的曲线，其分根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数等于系统特征方程的次数。支数等于系统特征方程的次数。11/3/20218规律三规律三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹*123412345k (s)()()()g(s)h(s)(s)(s)(s)()()zszszszpppspsp设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数其中其中p p1 1、p p2 2、p p3 3、z z1 1、z z2 2为实极点和实零点，为实极点和实零点，p p3 3、p p4 4、z z3 3、z z4 4为共轭复数零、极点。为共轭复数零、极点。若实轴上若实轴上某点某点右侧的开环零、极点的个数之和为右侧

7、的开环零、极点的个数之和为奇数，则奇数，则该点该点在实轴的根轨迹上。在实轴的根轨迹上。11/3/20219只有只有s s0 0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。和为奇数时，才满足相角条件。 0i0sipps0011()()(21), (0, 1, 2,)mnjijiszspkk p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0151424323s0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和两种情况。11/3/202110规律四规律四 渐近线渐近线11nmijij

8、apzn ma2k 1n mk0,1,2,n m 1 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条条根轨迹终止于根轨迹终止于s s平面的无穷远处，反应平面的无穷远处，反应n-mn-m条根轨迹条根轨迹变化趋向的变化趋向的直线直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点条，且它们交于实轴上的一点( (对称性对称性) )。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 11/3/202111证明： 1*1()()mjjniiszgs

9、 hsksp11mjjbz 11niiap *111111()mmmmnnnnksb sbsbsa sasa*111111nnnnmmmmksa sasasb sbsb思路：研究思路：研究s s值很大时值很大时根轨迹（近似直线）的表达方根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。式（通过列写直线的方程）。11/3/202112111111mmnnmmnnsbsbsbsa sasa11nnsbs.111()nab s111()n mab sn ms111()nab s111111nnnnmmmmsa sasasb sbsb多项式除法多项式除法11/3/202113证明： 1*1()()m

10、jjniiszgs hsksp11mjjbz 11niiap *111111()mmmmnnnnksb sbsbsa sasa*111111nnnnmmmmksa sasasb sbsb*111()nmnmksab s研究研究s s值很大时值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通根轨迹（近似直线）的表达方式（通过过列写直线的方程列写直线的方程）。）。11/3/202114当当s s值非常大值非常大时，开环传递函数可以近似为：时，开环传递函数可以近似为：由特征方程由特征方程g(s)h(s)=-1得渐进线方程为：得渐进线方程为： *11111()(1)n mn mn mkkg s h sabsab

11、 sss1211*111jkn mn mn mn mabskk es *11(1)n mabsks *111( )( )()nmnmkg s h ssab s11/3/202115由二项式定理由二项式定理当当s值非常大值非常大时，近似有时，近似有1211111111111112!n mabababsn msn m n ms 11111111n mababsn ms 00!()!nnniin iin iniinabc a ba bi ni1111111111n mabababssssn msn m 1111n mabss的化简11/3/202116*11(21)(21)cossinn mabkk

12、jkjn mn mn m111111n mababsssn m 121*111jkn mn mn mabsk es21*11jkn mn mabsk enmsj令11/3/202117*11*(21)cos(21)sinn mn mabkkn mn mkkn m令实部和虚部分别相等得：()tanaa*11(21)(21)cossinn mabkkjkjn mn mn m11nmijijapzn ma2k 1k0,1,2,n m 1n m点斜式点斜式方程方程11/3/202118j0sasaa11nmijijapzn ma2k 1n mk0,1,2,n m 1渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交

13、点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 11/3/202119 例例 已知系统的开环传递函数如下，试画出该已知系统的开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。系统根轨迹的渐近线。 解解 该系统该系统n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与实轴交点；三条渐近线与实轴交点 为为r2k (s 2)g(s)h(s)s (s 1)(s 4)13241a0)(k31)(k 2)(k3它们与实轴正方向的夹角分别是它们与实轴正方向的夹角分别是11nmijijapznma2k 1nmk0,1,2,nm 111/3/202120 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线j-4-3-

14、2-10bcaa60-60300a18011/3/202121四种情况下的渐近线四种情况下的渐近线60601800a3mnj1800a1mnj90900a2mnj45451800a4mnj13513511/3/202122规律五规律五 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s s平面上相遇又立平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。即分开的点，称为根轨迹的分离点。 常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点

15、之间，至少有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。复平面上。11/3/202123 实轴上的分离点 复平面上的分离点 j-4-3-2-10分离点j4p3p1p2pa ab b0sd1d2c cs分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。11/3/2021241111mnjijidzdp 分离点的坐标分离点的坐标d d是下列方程的解：是下列方程的解：证明：证明：闭环特征方程有重根的条件为：闭环特征方

16、程有重根的条件为：11( )()()0nmijijd sspksz11( )()()0nmijijdd sdspkszdsds11()()nmjjijspksz 11()()nmijijddspkszdsds 变换形式变换形式11/3/2021251111()()()()nmjijinmjijiddspszdsdsspsz11ln()ln()mnjjjidszdspdsds1lndxdxx dtdt11ln()ln()nmjijidspdszdsds11ln()ln()nmjiijspsz1111nmijijspsz11/3/2021261111nmijijspsz1、当开环系统无有限零点时，

17、应取、当开环系统无有限零点时，应取 分离分离点方程为点方程为 。 mj 1j10,dz110niidp2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。分离点的确定需代入特征方程中验算。分离点的确定需代入特征方程中验算。3、只有、只有当开环零、极点分布非常对称时当开环零、极点分布非常对称时，才会出现，才会出现复平面上的分离点。复平面上的分离点。说明说明11/3/202127例例 已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分离点。离点。 解解 本系统无有限开环零点，所以本系统无有限开环零点，所以 *kg(s) h

18、(s)(s1)(s2)(s3)0312111ddd2123121101.42,2.58dddd d2=-2.58 d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。不在根轨迹上上，舍去。 d1=-1.42d1=-1.42是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。在实轴上的分离点。对比较复杂的方程对比较复杂的方程(次数大于次数大于2)，也可用试探法求解。，也可用试探法求解。11/3/202128分离角：根轨迹进入分离点的切线方向切线方向和离开分离点的切线方向切线方向之间的夹角。(21)(0,1,1)kkll设设l为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角为进入分离点的根轨迹

19、的条数，则分离角当当l=2=2时，分离角为时，分离角为090。11/3/202129起始角起始角pipi 根轨迹离开根轨迹离开开环复数极点处的切线方向开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。与实轴正方向的夹角。 11(21)()ijijimnpz pp pjjj ik规律六规律六 起始角与终止角起始角与终止角 j3p2p1p0s1p2p终止角终止角zizi 根轨迹进入开根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。实轴正方向的夹角。11(21)()jj ij imnzz zp zjjj ik1z2z1z2z11/3/20213011(21)jjimnz ap

20、 ap ajjj ik所以证明：证明： 设a为根轨迹上离极点pi很近的一点。a离pi很近a点满足相角条件jjijjiiiz az pp ap pp ap11(21)()ijijimnpz pp pjjj ik11(21)jijiimnz pp ppjjj ik11(21)()jj ij imnzz zp zjjj ik同理得：代入代入：11/3/202131*112k (s z )g(s)h(s)s(s p )(s p )进一步具体分析起始角与终止角的表示进一步具体分析起始角与终止角的表示。例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 其中其中p p1 1和和p p2 2为一对共轭复

21、数极点，各零级点在为一对共轭复数极点，各零级点在s s平平面上的分布如图所示。试依据相角条件求出根轨面上的分布如图所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点迹离开开环复数极点p p1 1的起始角的起始角p1p1。 sj1z1p2p01p11/3/202132解解 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p p1 1的点的点a a，由相角条件可得，由相角条件可得 1231(a z )(a p )(a p )(a p )(21)k1p111213(21)(pz )(pp )(pp )k由于由于a a点无限靠近点无限靠近p p1 1点点 sj1z1p2p3p)(31pp )(21pp )(11z

22、p 01pa1p11111(a)(a)()(a)()(a)()12233pzpzpppppp角度替换后得：角度替换后得：11/3/202133规律七规律七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点1+g jh j=0由此可得虚部方程和实部方程由此可得虚部方程和实部方程为为 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用纯虚根（实部为零）。用s=js=j代入特征方程可得代入特征方程可得1() ()10emrg jh jig jh j10mig jh j10erg jh j11/3/202134 解虚部方程可得角频率解虚部方程可得角频率c c，即

23、根轨迹与虚，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用轴的交点的坐标值；用c c代入实部方程，可求代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值出系统开环根轨迹增益的临界值 。 对如何选对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。有重要意义。*ck*ck10mig jh j10erg jh j11/3/202135例例 已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值及相应的开环根轨迹增益的临界值 。c*ck令令s=js=j并代入特征方程得并代入特征方程得*g(s)h(

24、s)(s 1)(s2)(s3)k32*s6s11s60k32*j6j1160k其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为3*2110660k解解 系统特征方程是系统特征方程是c*1160ck 解方程组得：解方程组得：11/3/202136 当系统的阶次较高时，解特征方程将会当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。11/3/202137规律八规律八 根之和根之和 当当n-m2n-m2时，闭环传函特征根之和等于开环传时，闭环传函特征根之和等于开环传

25、函所有极点之和函所有极点之和( (常数常数) )。11nniiiisp111()()nnnniiiis sss snm*1ij1i 1j 1(s) k(s)()nnniipzsp s证明：证明：n-m2n-m2时，将开环传函表示的特征式展开后得：时，将开环传函表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：两式相等两式相等11/3/202138v当一些根随k*的增加而增加时，必有另一些根随k*的增加而减小。v当k*变化时，随k*变化的n个闭环特征根的和具有常数性。v在根轨迹图上表现为一些根轨迹分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根轨迹的自平衡性)结论结

26、论11/3/202139二、手工绘制根轨迹图示例二、手工绘制根轨迹图示例根轨迹的七条规律： 1 1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开起点与终点：起始于开环极点，终止于开环零点；环零点； 2 2 连续性、对称性和分支数：根轨迹连续且连续性、对称性和分支数：根轨迹连续且对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数。对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数。 3 3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：实轴上某点右侧的开环实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上；轨迹上；11/3/2021404 4 渐近线渐近线11nmijijapz

27、nm1mn,0,1,2,kmn1k2an1iim1jjp1z1dd5 5 分离点分离点11/3/2021416 6 起始角和终止角起始角和终止角7 7 与虚轴的交点与虚轴的交点 将将 代入闭环特征方程，令方程两边代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出实部和虚部分别相等，求出 。11(21)jijiimnz pp ppjjj ik11(21)j ijj imnz zzp zjjj iksj11/3/202142根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值k* *的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运

28、动的方向。要标出一些特殊点的要标出一些特殊点的k* *值，如起点值，如起点( (k* *0)0)，终点，终点( (k*) )；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点d(d(k* *= =kd d* *) )；与虚；与虚轴的交点轴的交点( (k* *= =kr r* *) )。还有一些要求标出的闭环极点。还有一些要求标出的闭环极点s s及其对应的开环根轨迹增益及其对应的开环根轨迹增益k* *，也应在根轨迹图上标，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。出，以便于进行系统的分析与综合。根轨迹的起点（开环极点根轨迹的起点（开环极点p pi i) )用符号用符号“”标示；标示；根轨迹

29、的终点根轨迹的终点( (开环零点开环零点z zj j) )用符号用符号“o”o”标示。标示。手工绘图时还需注意：手工绘图时还需注意：11/3/202143解解:(1)(1)根轨迹起始于根轨迹起始于p1=0,p2=-1,p3=-2p1=0,p2=-1,p3=-2三个极点三个极点, ,终止于无穷远处。终止于无穷远处。例例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。整的根轨迹图。 *( )( )(1)(2)kg s h ss ss11/3/202144系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-20s*k*k11/3/202145解解:(1)(1

30、)根轨迹起始于根轨迹起始于p1=0,p2=-1,p3=-2p1=0,p2=-1,p3=-2三个极点三个极点, ,终止于无穷远处。终止于无穷远处。例例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。系统完整的根轨迹图。 *( )( )(1)(2)kg s h ss ss (2) (2)该系统有三条根轨迹在该系统有三条根轨迹在s s平面上。平面上。三条根轨三条根轨迹连续且对称于实轴。迹连续且对称于实轴。 (3) (3)实轴上的根轨迹为实轴上实轴上的根轨迹为实轴上0 0到到-1-1的线段和由的线段和由-2-2至实轴上负无穷远线段。至实轴上负无穷远线段。1

31、1/3/202146系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-20s*k*k11/3/202147当当k=0k=0时时10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a渐近线：求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们渐近线：求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。与实轴正方向的交角。当当k=1k=1时时当当k=2k=2时时11/3/202148系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-20s6060*k*k11/3/202149d d2 2=-1.58=-1.58不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为点应为d d1 1=-0.42

32、=-0.42。111012ddd120.421.58dd (5)(5)分离点：分离点：解方程：解方程：(6)(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。11/3/202150系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-201ds6060*k*k11/3/202151其中其中 是开环极点是开环极点 对应的坐标值，它是根轨对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为迹的起点之一。合理的交点应为 。解虚部方程得解虚部方程得*233(2)0kj0123 , 2011p23 , 2c (7)根轨迹与虚轴的交点：用根轨迹与虚轴的交点：用s=js=j代入

33、特征方程代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：并令方程两边实部和虚部分别相等：32*320jjk11/3/202152系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-201ds6060)6(2ckj)6(2ckj*k*k*k*k*k*11/3/202153系统根轨迹图j01*kp03p02p-1-201ds6060)6(2ckj)6(2ckj*k*k*k*k*k*11/3/202154例例 已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。轨迹图。 *2( )( )(4)(420)kg s h ss sss解解 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点

34、p p1 1=0=0、p p2 2=-4=-4、p p3 3=-2+4j=-2+4j、p p4 4=-2-4j=-2-4j；终止于；终止于4 4个无限零点（没有有限零点个无限零点（没有有限零点) )。 11/3/2021550-4j*0k *0k *0k *0k 11/3/202156例例 已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。轨迹图。 *2( )( )(4)(420)kg s h ss sss 共有共有4 4个根轨迹分支，连续且对称于实轴。个根轨迹分支，连续且对称于实轴。 实轴上的根轨迹是实轴上由实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-4-4

35、的线段。的线段。解解 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点p p1 1=0=0、p p2 2=-4=-4、p p3 3=-2+4j=-2+4j、p p4 4=-2-4j=-2-4j；终止于；终止于4 4个无限零点（没有有限零点个无限零点（没有有限零点) )。 11/3/2021570-4j*0k *0k *0k *0k 11/3/202158渐近线在横轴上的公共交点为渐近线在横轴上的公共交点为渐近线与横轴的夹角为渐近线与横轴的夹角为k k取取0 0、l l、2 2、3 3时，分别为时，分别为45450 0、1351350 0、2252250 0、3153150 0。(4)(4)渐近线渐近线

36、: :114 2 42 424nmijijapzjjn m a210,1,2,34kk11/3/2021590-2-4j*0k *0k *0k *0k 11/3/202160(5)(5)分离点和分离角分离点和分离角1111042424dddjdj经整理可得经整理可得2(2)(410)0ddd求解上式可得三个分离点为求解上式可得三个分离点为 123222.4522.45ddjdj 分离角分离角(21)0,1dkkll=2时，09011/3/2021610-2-4j*0k *0k *0k *0k 1d3d2d09009011/3/202162(6)(6)起始角起始角311(21)jijimnpz

37、pp pjjj ik复数极点复数极点p3和和p4的起始角的起始角0-4j3p1p2p4p060090012011(21)()ijijimnpz pp pjjj ik4090p000(21)(6090120 )k090 11/3/2021630-2-4j*0k *0k *0k *0k 1d3d2d09009009009011/3/202164(7)(7)与虚轴的交点与虚轴的交点用用s=js=j代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：相等：2*(4)(420)0s sssk42*336(808)0kj42*33608080k*103.25k 11/3/20

38、21650-2-4j*0k *0k *0k *0k *k *k *k *k *10 (3.25)k *10 (3.25)k1d3d2d09009009009011/3/2021660-2-4j*0k *0k *0k *0k *k *k *k *k *10 (3.25)k *10 (3.25)k1d3d2d09009009009011/3/2021671、函数命令调用格式： rlocus(num,den)三、三、matlab绘制根轨迹绘制根轨迹*(1.5)(2)(2)( )( )(2.5)(0.5 1.5 )(0.5 1.5 )kssj sjg s h ss ssj sj例 绘制如下开环传函的闭

39、环系统的根轨迹11/3/202168解：matlab命令如下： num=conv(1 1.5,conv(1,2+j,1 2-j) den=conv(1 0,conv(1 2.5,conv(1 0.5+1.5*j,1 0.5-1.5*j) rlocus(num,den)-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-3-2-10123 system: sys gain: 8.45 pole: -2.65 + 1.65i damping: 0.849 overshoot (%): 0.642 frequency (rad/sec): 3.12 root locusreal axisimaginary axis*(1.5)(2)(2)( )( )(2.5)(0.5 1.5 )(0.5 1.5 )kssj sjg s h ss ssj sj11/3/20216921dnnn1s2s021,21nnsn是闭环极点到坐标原点之间的距离；是闭环极点到坐标原点之间的距离；n与负实与负实轴夹角的余弦等于阻尼比轴夹角的余弦等于阻尼比。等等n线是以原点为圆心的一系列圆；等线是以原点为圆心的一