数列的极限讲解

1、第二节 数列的极限一、一、 数列极限的定义数列极限的定义二、二、 收收敛数列的敛数列的性质性质三、三、 收敛准则收敛准则引例引例设有半径为设有半径为 r 的圆的圆 ,用其内接正用其内接正 n 边形的面边形的面积积an 逼近圆面积逼近圆面积 s . 刘徽割圆术刘徽割圆术(公元三世纪公元三世纪)概念的引入概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣于不可割，则与圆周合体而无所失矣”r正六边形的面积正六边形的面积1a正十二边形的面积正十二边形的面积2a正正 形的面积形的面积126 nna,321naaaas2 2、截丈问题：、截丈问

2、题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 x第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 x为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnxn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnx211 1一、数列极限的定义一、数列极限的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 ,

3、2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 随着随着n 趋于无穷趋于无穷, 数列的数列的通项有以下通项有以下两种两种变变化趋势化趋势:时的变化趋势：时的变化趋势：当当观察上述数列观察上述数列 n可以看到可以看到,通项无限趋近于通项无限趋近于 一个确定的常数一个确定的常数;

4、(2) 通项不趋近于任何确定的常数通项不趋近于任何确定的常数.问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有

5、,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只要只要 nn.1成成立立有有 nx定义定义 如果对于如果对于任意给定的正数任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数n, ,使得对于使得对于nn 时的时的一切一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接

6、接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 nx1x2x2 nx1 nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当naaxnnn :定义定义n 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axnnnaxnnn恒有恒有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任

7、给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 n取取,时时则则当当nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(cxccxnnn 证证明明为为常常数数设设证证cxn cc ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limcxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是关键是任意给任意给定定 寻找寻找n,但不必要求最小的但不必要求最小的n., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,

8、0 nnqx,lnln qn,lnlnqn 取取,时时则则当当nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axnnnn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 例例4-1证证. 1lim1 nnaa时时，证证明明当当注意到注意到. 1 na, 0 为了使为了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1

9、nan 因此因此,an , an取取则当则当n n 时时,有有nna 1nna 1. . 1lim nna即即只要使只要使, na 二、收敛数列的性质1、有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数m, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,mm 上上.有界有界无界无界收敛数列的有界性收敛数列的有界性 nx如果数列如果数列收敛收敛,那么数列那么数列 nx一定有界一

10、定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项，.),2, 1( nxn如何求如何求 m ？ m可可取取.1,.,max21 axxxn定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axnnnn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxmn记记,mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .关系关系： 收敛收敛 有界有界 nx nx注注极限的唯一性极限的唯

11、一性2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021nn ;1 axnnn时时恒恒有有当当;2 bxnnn时时恒恒有有当当 ,max21nnn 取取时时有有则则当当nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axnnnn),21,21

12、(, aaxnnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx 3、保号性、保号性 定理定理3 若若 =a,a0（或（或a0），则），则n0,当当nn时时, 0（或（或 0）.limnnxnxnx证证 由极限定义由极限定义 ，对，对 ， ，当，当时，时， ，即，即 ，故当，故当 时时 ， .类似可证类似可证 的情形的情形.02a 0n nn 2naxa 322naxa nn 02nax 0a3、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子

13、数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项项，显显然然，中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn

14、., 0, 0 axnnnn恒恒有有时时使使,nk 取取,时时则当则当kk .nnnnkkk . axkn.limaxknk 证证毕毕定义定义5 数列数列xn的项若满足的项若满足x1x2xnxn+1,则称则称数列数列xn为为单调增加数列单调增加数列; 若满足若满足x1x2xnxn+1,则称数列则称数列xn为为单调单调减少数列减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时当上述不等式中等号都不成立时,则分别称则分别称xn 是是严格单调增加和严格单调减少数列严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则收敛准则 单调增加且有上界的数列必有极限单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限单调减少

15、有下界的数列必有极限.三、收敛准则.)11(,)111()11(,111,11)1()(1()(,0.)11(.)11(5111111是是单单调调增增加加的的即即数数列列得得代代入入取取即即有有时时当当单单调调增增加加且且有有上上界界只只需需证证明明证证收收敛敛证证明明数数列列例例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann enennnnnnnnnnbnannnnnnnnnn)11 (lim,)11()11(,)11(, 2 , 1, 4)211 (4)211 ()1211 (, 2 , 1, 4)211 (, 2)211 (,1,2112122即的极限记为将收敛由收敛准则可知有界即数列成立对一切所以又由于从而得代入取五、