大学课件概率论9.2

1、9.2 9.2 单个正态总体的参数检验单个正态总体的参数检验 对于正态总体（包括单个正态总体和两个正态总体）本教材讨论的假设检验问题都是双边假设检验问题，即备择假设是双边的，所用的检验统计量与参数的区间估计量是一致的，原假设的接受域实际上就是置信区间（当置信度(1-)中的与检验显著性水平 相等时）。拒绝域的推导拒绝域的推导设 x x n ( 2)，2 已知，需检验：h0 : 0 ； h1 : 0构造统计量 0(0,1)xunn给定显著性水平与样本值(x x1, x x2, x xn )（1 1）关于）关于 的检验的检验p(拒绝h0 |h0 为真 )0h0h00()pxk00()hpxk00()

2、hxkpnn020()hxpun2kun取所以本检验的拒绝域为0：2uuu 检验法 0 02uuu u 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其h0为真时的分布拒绝域0(0,1)xunn 0 02tt 0 (1)xtsnt nt t 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其h0为真时的分布拒绝域例例1 1 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流

3、服从正态分布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为 h0 : = 0.8 ； h1 : 0.8 未知, 故选检验统计量:(15)/16xtts查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为753. 1/8 . 0nsx94. 0432. 0753. 18 . 0 x现94. 092. 0 x故接受原假设, 即不能否定厂方断言. 由于假设检验是控制犯第一类错由于假设检验是控制犯第一类错误的概率误的概率, 使得拒绝原假设使得拒绝原假设 h0 的决策的决策变得比较慎重变得比较慎重, 也就是也就是 h0 得到特别的得到特别的保护

4、保护. 因而因而, 通常把有把握的通常把有把握的, 经验的经验的结论作为原假设结论作为原假设, 或者尽量使后果严或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误重的错误成为第一类错误. 2= 02 2 02原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的分布拒绝域 检验法检验法2( 已知)221202()( )niixn)()(2221222nn或（2 2）关于）关于 2 2 的检验的检验 2= 02 2 02) 1() 1(2221222nn或原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的分布拒绝域) 1() 1(22022nsn( 未知) 例例2 2 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的2

5、5个活塞的直径进行测量,得样本方差s2=0.00066.已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040. 问改革后总体的方差比改革前是否显著变化？ 解解 一般进行工艺改革时, 若指标的方差显著增大, 则改革不成功；若方差变化（减小）不显著, 则需试行别的改革方案.设测量值 2 ( ,)xn 00040. 02需考察改革后活塞直径的方差是否等于改革前的方差？故待检验假设可设为：此时可采用效果相同的单边假设检验 h0 : 2 =0.00040 ；h1 : 2 0.00040. 取统计量) 1() 1(22022nsn拒绝域 0：220.05(24) 36.415415.366 .3900040.

6、000066. 02420落在0内, 故拒绝h0. 即改革后的方差显著大于改革前, 因此本次改革是不成功的.220.95(24) 13.8或设 x x n ( 1 1 2 ), y n ( 2 2 2 ) 两样本 x x , y 相互独立, 样本 (x x 1, x x 2 , x x n ), (y 1, y 2 , y m ) 样本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )显著性水平 9.3 9.3 两个正态总体参数的假设检验两个正态总体参数的假设检验1 2 = ( 12，22 已知)2212(0,1)xyunmn2uu(1) (1) 关于均值差关于均值差 1 1

7、 2 2 的检验的检验1 2 原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的分布拒绝域1 2 = 2tt 1 2 11(2)wxytsnmt nm2) 1() 1(2221mnsmsnsw其中12, 22未知12 = 22原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的分布拒绝域 12 = 22 12 22(2) (2) 关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验的检验2( , )f f nm或或21( , )ffn m1, 221211222121()1()( , )niiniixnfymfnm 均已知原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的

8、分布拒绝域 12 = 22 12 22) 1, 1(2mnff或) 1, 1(21mnff1, 2) 1, 1(2221mnfssf 均未知原假设 h0备择假设 h1检验统计量及其在h0为真时的分布拒绝域例例3 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:m = 155689. 012.2122sy19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3n = 94225. 020.2221sx21.2 2

9、1.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.2 试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关 ( ).05. 0解解 h0 : 1 = 2 ； h1 : 1 2 取统计量 (2)11wtt n msnm 718. 02) 1() 1(2221mnsmsnsw拒绝域 0：074. 2)22(025. 0tt074. 2568. 30t统计量值 . 落在0内,拒绝h0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.例例4 4 假设机器 a 和 b 都生产钢管, 要检验 a 和 b 生产的钢管内径的稳定程度. 设它们生产的钢管内径分别为 x 和 y , 且都服从正态分

10、布 x n (1, 12) , y n (2, 22) 现从机器 a和 b生产的钢管中各抽出18 根和13 根, 测得 s12 = 0.34, s22 = 0.29, 设两样本相互独立. 问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )解解设 h0 : 12 = 22 ；h1 : 12 22 查表得 f0.05( 17, 12 ) = 2.59,42. 038. 21)17,12(105. 0f2212/ ( 17, 12 )ssff0.95( 17, 12 ) = 拒绝域为:59. 22221ss或42. 02221ss由给定值算得:17. 129. 034. 02

11、221ss落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.接受域置信区间1假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照),(22nzxnzx20 xzn接受域置信区间检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（ 2 已知)0(0,1)xunn（ 2 已知)0(0,1)xunn原假设 h0备择假设 h1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 h0备择假设 h1待估参数 0 0（ 2未知）0 (1)xtt nsn（ 2未知）0 (1)xtt nsn

12、)2nstx20 xtsn,(2nstx接受域置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2122222nsnnsn22221022(1)ns检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 h0备择假设 h1待估参数 2 02 2= 02 2(未知) 1() 1(22022nsn(未知) 1() 1(22022nsn例例5 5袋装味精由自动生产线包装，每袋标准重量 500g,标准差为25g.质检员在同一天生产的味精中任抽 100袋检验，平均袋重495g. 在的检验中犯取伪错误的概 在显著性水平 下，该05.0天的产品能否投放市场？率 是多少？解解 设每袋重量)25,500(2nx96. 1

13、2100/255004950u h0 : 500 ； h1 : 500故该天的产品不能投放市场.落在 内0200.0251.96/xuuun0：2200(|)()()1phhuu 接受不正确52/25/ 100n令令00495 5005x1)96.3()04.0(21.96u484.0)04.0(1此概率表明：有48.4%的可能性将包装不合格的认为是合格的.9.4 总体分布的假设检验 前面讨论的关于参数的假设检验，都是事先前面讨论的关于参数的假设检验，都是事先假定总体的分布类型为已知的，而且所讨论假定总体的分布类型为已知的，而且所讨论的总体都认为是正态总体。但有时候，事先的总体都认为是正态总体

14、。但有时候，事先并不知道总体的分布，因此就需要根据样本并不知道总体的分布，因此就需要根据样本对总体分布函数对总体分布函数f f( (x x) )进行检验，这种检验称进行检验，这种检验称为分布的拟合（优度）检验，它是非参数假为分布的拟合（优度）检验，它是非参数假设检验中较为重要的一种。设检验中较为重要的一种。2本本 节节 介介 绍绍拟拟 合合 检检 验验 法法 ， 其其 步步 骤骤 与与 参参 数数假假 设设 检检 验验 的的 步步 骤骤 基基 本本 相相 同同 。0222121221001:( )( ),( )2(-)()(4),;.kiiiihf xf xf xm nppnphh2 22 2（）