线性代数与空间解析几何：3-2 矩阵的秩与等价标准形

1、3.2 3.2 矩阵的秩与等价标准形矩阵的秩与等价标准形,.ij m nAakkkkkkA 在在矩矩阵阵中中任任选选 行行 列列 其其相相交交处处的的个个元元素素按按原原来来的的相相对对位位置置所所构构成成的的阶阶行行列列式式称称为为矩矩阵阵的的【定定义义1 1】一一个个阶阶子子式式例如例如, 矩阵矩阵123405670080有如下有如下 4 个个 3 阶子式阶子式:123124134234056 , 057 , 067 , 567 .008000080080【评评注注】|0(.3)nAnA阶阶方方阵阵的的秩秩为为(1)0,10.rr 若若一一个个矩矩阵阵的的阶阶子子式式都都为为则则它它的的所

2、所有有阶阶子子式式( (若若有有) )也也都都为为r()min,.(2)m nAm n m【解解】(1)矩阵矩阵 A 有一个非零的有一个非零的 3 阶子式阶子式, 没有没有 4 阶子式阶子式, 从而从而 A 的秩为的秩为 3.(2)矩阵矩阵 B 有有( (3个个) )非零非零 3 阶子式阶子式, 所有的所有的 4 阶子阶子式都为式都为 0, 从而从而 B 的秩也为的秩也为 3.如如何何有有效效地地求求一一个个( (大大型型) )矩矩【问问题题】阵阵的的秩秩? ? . 初初等等变变换换不不改改变变【矩矩定定理理2. 12. 1阵阵的的秩秩】【证证明明】我们仅对矩阵的行初等变换进行证明我们仅对矩阵

3、的行初等变换进行证明, 对对(1)(1) 设对换矩阵设对换矩阵 A 的两行得到矩阵的两行得到矩阵 B. (2)(2) 设矩阵设矩阵 A 的某一行乘非零数的某一行乘非零数 k 得到矩阵得到矩阵 B. 列初等变换同理可证列初等变换同理可证.11121121122221222122aaakaakaABaaaa(,r( )=r( )BA此此刻刻 我我们们也也将将证证明明1212.iijjkikjakaakaMaa 此时此时, 由行列式的性质由行列式的性质 4 和性质和性质 2 知知 1122ijijkikjkikjaaaaMkaaaa000.k,r()r()BA 总总之之 此此时时仍仍然然成成立立.

4、.【推推论论】等价的矩阵有相同的秩等价的矩阵有相同的秩. 【解解】(i)10320230753258021837A 型型行行初初等等变变换换(iii)10320036350242001217 型型行行初初等等变变换换(i)10320012170242003635 型型行行初初等等变变换换(iii)1032001217:0000200000B 型型行行初初等等变变换换由此容易看到由此容易看到 r( )r()3.AB 1,11,11001( 1)00000000rnr rrnm nddddr 个个1212 24121 32541 03333 1 813927318161 000 10.0 00 10 00 00 行行初初等等变变换换例如例如( (第一节的例第一节的例11)11),【证证明明】AB.行行初初等等变变换换【证证明明】10000100( 1)00000000m nr 个个对命题对命题2 2中的矩阵再用列初等变换即可中的矩阵再用列初等变换即可. 例如例如,11,E 210,01E 3100010 .001E 【证证明明】()这就是定理这就是定理 1 1 的推