(word完整版)空间向量与立体几何知识点归纳总结,推荐文档

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。uuuruuuruuurrv uuuruuuruuurrr uuurrOBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)运算律：加法交换律：abba加法结合律： (ab )ca(bc )数乘分配律：(ab )ab运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间

2、向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作 a / b 。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b（b0）， a / b 存在实数 ，使 a 。b（3）三点共线： A 、B、C 三点共线 <=> ABAC<=> OCxOAyOB(其中xy 1)（4）与 a 共线的单位向量为aa4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（ 2）共面向量定理：如果两个向量r rrr rx, y 使a, b 不共线，p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数1rrrp

3、xayb 。（3）四点共面：若 A、 B、 C、P 四点共面 <=> AP x ABy AC<=> OPxOAyOBzOC (其中 xy z1)5.rr rr空间向量基本定理：如果三个向量a,b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有rrrr序实数组 x, y, z ，使 pxaybzc 。r rr r rrrrr若三向量 ab,c不共面，我们把 a, b , c 叫做空间的一个基底，a, b, c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 O , A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实

4、数x, y, z ，uuuruuuruuuruuur使 OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空 间直 角坐 标系 Oxyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有 序实 数组 ( x, y, z) 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的 坐标 ，记作A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其

5、余的分坐标均相反。 在 y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z)r r r（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直， 且长为 1，这个基底叫单位正交基底， 用 i , j , k 表示。空间中任一向量 axiy jzk =（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：rr(b ,b ,b )rr若 a (a1 , a2 , a3 ) ， b，则 ab (a b ,a b , a b ) ，r r123112233b2 , a3ra b (a1 b1 ,a2b3 ) ， a( a1, a2 , a3 )(R) ，2rra b a1b1 a2b2 a3b3 ，

6、rra / b a1b1 ,a2b2 ,a3b3(R) ，rra b a1b1a2b2a3b3 0 。uuur若 A( x1, y1, z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) 。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定 比 分 点 公 式 ： 若 A( x1, y1, z1)， B(x2 , y2 , z2 )， APPB，则点 P坐 标 为( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推导：设（）则(xx1, yy1,zz1) (x2 x,y2y,z2 z) ,111Px,y,z显

7、然，当 P 为 AB 中点时， P( x12x2 , y1y2, z1 z2 )22ABC中， A（x, y , z）,B(x, y, z ),C( x, y, z )， 三角形重心 P坐 标 为111222333P( x1x2x3 , y1y2y3 , z1z2z3 )322 ABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP( ABAC ) （单位向量）ABAC外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC垂心 P：高的交点： PA PBPA PCPB PC （移项，内积为0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP1(AB AC)3中心：正三角形的所有心的合一

8、。rr（4）模长公式：若 a(a1, a2 , a3) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，rr rarr rb12b2 2b32则 | a |a aa222a 2 ， | b |b b13r rr rra ba1b1a2b2a3b3。（5）夹角公式： cos a bra12a2 2a32b12 b22b32| a | |b |ABC 中 AB ? AC0<=>A 为锐角 AB ? AC 0<=>A 为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若A(x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，3uuuruuur 2x1 )2y1 )2( z2 z1 )

9、2 ，则|AB|AB(x2( y2或 dA ,B( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )27. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量r ruuurr uuurra, b，在空间任取一点 O ，作 OAa, OBb ，则rrrrr r，显然有AOB 叫 做 向 量 a 与 b的 夹 角 ， 记 作 a, b； 且 规 定 0 a, brrr rrrrrrra,bb , a；若 a,b，则称 a 与 b 互相垂直，记作： ab 。uuur2uuurrrr（2）向量的模：设 OAa ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：| a |。（3）向

10、量的数量积：已知向量r rrrr ra,b ，则 | a | | b | cosa, brrrrr r即 a b|a | |b | cosa,b 。（4）空间向量数量积的性质：r rrr叫做 a,b 的数量积，记作a b ，r rrr rrrr rr 2r r ae| a | cosa, e。 aba b0 。 | a |a a 。（5）空间向量数量积运算律：rr (rrrrrrrra)b(ab )a( b ) 。 a bb a （交换律）。rrrrrrr a(bc)abac （分配律）。不满足乘法结合率： (ab)c a(b c)二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平

11、行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角（共面与异面）0O,90O两 线 的 方 向 向 量 n1 , n2的夹角或夹角的补角，coscosn1,n23-1 线面夹角0O ,90 O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角，若为锐4角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sincos AP,n3-2 面面夹角（二面角）0O ,180O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n , n 2 的1夹

12、角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. coscos n1, n24点面距离 h ：求点 P x0 , y0到平面 的距离： 在平面uuur； 计算上去一点 Q x, y ，得向量 PQ;平面 的法向量 n ;. hPQ? nn4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识（）例 1. 已知平行六面体ABCD A B C D ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。uuuruuuruuuruuuruuur ABBC ； ABADAA ；uuuruuur1uuuur； 1uuuruuuruuur ABAD2

13、CC3( ABADAA)。MG例 2.对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ，问满足向量式：uuuruuuruuuruuurz 1）的四点 P, A, B,C 是否共面？OPxOAyOBzOC （其中 x y例 3 已知空间三点 A （0，2，3），B（ 2，1，6），C（1， 1，5）。uuur uuur求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S；5ruuur uuurr，求向量r的坐标。若向量 a 分别与向量AB, AC垂直，且 |a |3a2基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4几何法例 4. 如图，在空间四边形 OABC中，

14、OA8， AB6 ， AC4 ，BC5 ，OAC45o ，OAB60o ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。OACB说明：由图形知向量的夹角易出错，如uuuruuur135o 易错写成uuur uuur45o，切记！OA, ACOA, AC例 5. 长方体ABCD A1B1C1D1中，ABBC 4，E为1 1 与B1 D1的交点，F为BC1与B1C的交点，又ACAFBE ，求长方体的高 BB1 。【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD ，连结 AC, BD ，设 M , G 分别是 BC ,CD 的中点，化简下列各表达式，并标uuuruuuruuur出化简结果向量：（ 1） ABBCCD

15、 ；6uuur1uuuruuuruuur1uuuruuur（2） AB2(BDBC) ；（3） AG2(ABAC) 。2. 已知平行四边形 ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuurOEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（1）求证：四点 E, F ,G, H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG 。3. 如图正方体 ABCDA1B1C1D1 中， B1 E1D1F11 A1B1 ，求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。45. 已知平行六面体 ABCD A B C D 中，AB4, AD3, AA5,BAD9

16、0 o ，BAADAA60 o ，求 AC 的长。7参考答案 1. 解：如图，uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） ABBCCDACCDAD ；uuur1uuuruuuruuur1 uuur1 uuur（2） AB2(BDBC )ABBCBD 。uuuruuuuruuuuruuur22ABBMMGAG ；uuur1uuuruuuruuuruuuuruuuur（3） AG2(ABAC )AGAMMG 。uuuruuuruuur2. 解：（ 1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AC AB AD ，uuuruuuruuur EG OG OE，uuuruuuruuuruuur

17、uuuruuuruuurk OCk OAk(OCOA)k ACk( ABAD )uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurk(OBOAODOA)OFOEOHOEuuuruuurEFEH E,F ,G, H 共面；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）解： EFOFOEk (OBOA)kAB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC 。所以，平面 AC / 平面 EG 。3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，3,1)， D (0,0,0)， F1 (0,1，则 B(1,1,0) ， E1 (1,1)44uuuuruuuur(0, 1 ,1) ， BE1 (0,1 ,1) ， DF144uuuuruuuur17 ， BE1DF14uuuur uuuur00(11)1115 。BE1 DF14416uuuuruuuur151516cos BE1 , DF1。17171744uuuruuuruuuruuur(2,(1, 3,2),cosABAC4. 分析： Q AB1,3), ACBAC uuuruuur| AB|AC|128 BAC 60°，Suuuruuur73| AB | AC | sin 60o