概率论数字特征

1、第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第一节：数学期望第二节：方差第二节：方差第三节：协方差及相关系数第三节：协方差及相关系数 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只

2、要知道它的某些数字特征数字特征就够了就够了.例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是是平均产量平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长纤维长度与平均长度的偏离程度；度的偏离程度； 考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究贫富之间的差贫富之间的差异程度；异程度； 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的

3、字特征是重要的 .而而所谓的数字特征就是用数字表所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质小结小结引例引例：某：某7人的数学成绩为人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为9085 280 27560

4、71221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称数学期望简称期望期望，又称为，又称为均值均值。1kkkEXx p若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpxEX即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望 ,记为记

5、为 ,例例1、（0-10-1）分布的数学期望）分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为XP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布， 则则EX= p0 (1)1EXppp ( , ),.XB n pEX设求例例2 2(1),0,1,2,kkn knXP XkC ppkn解的分布率为11111111!(1)(1)!()!(1)!()!(1)!(1)(1)(1)!()!nnkn kkn kkknnkn kllnlnklXnnEXkppppk n kkn knnpppnpCppkn knp 的数学期望为0(1)(1)nnkkn knkppC p

6、p( ),.XPEX设求例例3 30, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的的分分布布率率为为解解101!(1)!kkkkXeEXkee ekkEX的数学期望为即例例4 4,21XX所得分数分别记为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的的数数学学期期望望，和和解解：我我们们先先来来算算21XX120 0 1 0.22 0.81.8(0 0.6 1 0.32 0.10.5(EXEX 分）分）试比较甲、乙两人的技术那个好试比较甲、乙两人的技术那个好例例5 (P

7、92) 5 (P92) 一批零件中9件合格品和3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件。如果取出的废品不再放回去，求取出合格品以前已取出的废品数的数学期望。解解设X表示取出合格品以前取出的废品数，则X所有可能取值为0,1,2,3。于是93990,1,1212114432992,1211 102203219131211 109220P XP XP XP X则X的期望为399130123.44422022010EX 定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 p(x),如果积分如果积分( )xp x dx绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期

8、望的数学期望, 即即( )EXxp x dx请注意请注意 : : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分. .二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望( , ),.XU a bEX设求例例7 71( )0Xaxbp xba解的概率密度为其它( )2baXxabEXxp x dxdxba的数学期望为.),(的的中中点点即即数数学学期期望望位位于于区区间间ba( ),.XEEX设求例例8 8-0-000-0( ).-+1-xxxxxXEXxp x dxxedxxdexeedxe解的数学期望为1.即指数分布的数学期望为参数 分之 例例

9、9 9,100010001200 .XX设某型号电子管的寿命 服从指数分布 其平均寿命为小时，计算P100010,( )100000,xexp xx解解 由题意知由题意知 ，则，则 ，于是，于是120011.2100010001200( )0.0667.PXp x dxee于是11000EX11000 例例1010其其概概率率密密度度为为服服从从同同一一指指数数分分布布它它们们的的寿寿命命装装置置个个相相互互独独立立工工作作的的电电子子有有,)2 , 1(,2 kXk10,( )000,xexp xx若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以

10、小时计以小时计) N 的数学期望的数学期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函数为的分布函数为解解12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 2min20( )00 xNexpxx于是 的概率密度为2min02( )2xxENxpx dxedx的分布函数为的分布函数为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计

11、算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g g( (X X) )也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X X的分布求出来的分布求出来. . 一旦一旦我们知道了我们知道了g g( (X X) )的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把E E g g( (X X) )计算出来计算出来. . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用

12、这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 .(1) 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为PX= xk=pk ;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1 ()()kkkEYE g Xg xp(2) 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为p(x).若若( ) ( )g x p x dx绝对收敛，则有 ()( ) ( )EYE g Xg x p x dx定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g (X) (g是连续函数是连续函数)1(), ()( ) ( ),kkkg x

13、pXEYE g Xg x p x dxX离散型连续型 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.)(,(,是连续函数是连续函数的函数的函数是随机变量是随机变量设设gYXgZYXZ 则则是一维随机变量是一维随机变量,Z(1)(, ),( , ),X Yx y若是二维连续型 概率密度为p则有 (, )( , ) ( , )EZE g X Yg x y p x y dxdy 则则有有概概率率分分布布为为

14、是是二二维维离离散散型型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji11 (, )( ,)ijijjiEZE g X Yg x yp.积分或级数都绝对收敛积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的这里假定上两式右边的密密度度即即具具有有概概率率上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设风风速速,), 0(aV10( )0vap va其它.), 0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 222011( )3aEWkv p v dvkvdvkaa解：由上面的公式解：由上面的公式3()3()aXaYg XXaX

15、Xa400020002611( )( )(4)320002000170004 10,1000aXaEYg x px dxxadxadxaa 设国际市场上某种出口商品的需求量是随机变量X（吨）它在2000,4000上服从均匀分布，每售出这种商品1吨，可为企业挣得3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需保养费1万元，问：需要组织多少货源，才能使企业效益最大？解设需要组织的货源为 吨，则 ，Y表示2000,4000aa企业的收益（万元），则由题得因此，对EY求导，得12700001000EXa 于是 ，EY达到最大值8250，因此组织3500吨3500a 此种商品是最佳的决策。例例1313E(-

16、3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdx2,( , )( , )0,x yAp x y其它；解：0 xy01 yx 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中A为为x轴，轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);11:nniiiiEXEX

17、推广11:nniiiiEXEX推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立。和和来证性质来证性质请同学自己证明，我们请同学自己证明，我们，性质性质4321,( , ).( ),( ),XYX Yp x ypxpy证：设二维随机变量（）的概率密度其边缘概率密度为于是有()() ( , )( , )( , )3E XYxy p x y dxdyxp x y dxdyyp x y dxdyEXEY 性质 得证。, 相互独立相互独立又若又若YX()( , )( )( )4.XyE XYxyp x y dxdyxypx p

18、y dxdy EX EY 性质 得证五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望 . 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= np10iiXi如第 次试验成功如第 次试验失败i=1,2，n因为因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p1niiEX所以所以 E(X

19、)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(Xi)= )1 (01pp= p例、例、 解解 引入随机变量引入随机变量则则 X= X1+X2+XM10iiXi若第 个盒子中有球若第 个盒子中无球，i=1,2,，M所以所以 EX=将将n个球放入个球放入M个盒子中，设每个球落入各个个盒子中，设每个球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望。的数学期望。EXi = -11-nMM=1-1=1-.nMiiMEXMM六、小结六、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的

20、平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差第二节第二节 方差方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质小结小结 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的它体现了随机变量取值的平均水平平均水平，是随机变，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是

21、不够的.：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；YX 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 平较高？试问哪一个人的射击水比较两个人的平均环数91 . 0108 . 091 . 08EX94 . 0102 . 094 . 08EY。，而乙射手则较为分散环分集中在均值甲射手射击大部是有差异的的，但两个人射击技术是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看9 由此可见由此可见,研究研究随机变量与其均值的偏离程度随机变量与其均值的偏离程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去

22、度量这个偏离程度呢?容易容易看到看到这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差方差E XEX 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值EX的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量2 EXEX来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值EX的偏离程度的偏离程度.一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-EX2存在存在 , 称称EX-EX2为为 X 的方差的方差. 记为记为DX或或Var(X)，即，即()DXXXX方差的算术平方根称为 的标准差或均方差记为，它与

23、具有相同的量纲。DX=Var(X)=EX-EX2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差DX较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度 .若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差DX较小；较小；因此，因此，DX是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡取值分散程度的一个量，它是衡量量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-EX2 的的数学期望数学期望 .212,( )

24、,kkkxEXpDXxEXp x dx二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度p(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 DX=EX2-EX2 展开展开证：证：DX=EX-EX2=EX2-2XEX+EX2=EX2-2EX2+EX2=EX2-EX2利用期望利用期望性质性质例例1设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解0 (1)1EXppp 2220(1) 1EXppp由公式由公式222(1)DXEXEXpppp因此因此,0-1分布分布,(1)EXp DXpp例例2( ).XPDX设，

25、求解解X的分布率为的分布率为0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上节已算得上节已算得,EX而2(1)EXE X XX(1)E X XEX 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被确定了泊松分布就被确定了只要知道只要知道分布率中只含一个参数分布率中只含一个参数。泊松分布的。泊松分布的等于等于数学期望与方差相等，数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22DXEXEX因此因此,泊松分布泊松分布,EXDX例例3( , )XU a bDX设，求。解解 的概率密度为的概率密度为X1( )0axbp xba其它2abEX上节已求得。方差为222

26、221212baDXEXEXbaabxdxba因此因此,均匀分布均匀分布2,212baabEXDX例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为0( )00 xexp xx0EXDX其中，求，解解01( )xEXxp x dxx edx222202( )xEXx p x dxxedx21DX因此由此可知由此可知,指数分布指数分布211EXDX，三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C 是常数是常数, 则则 DC=0 ; 2. 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 DX ; 3. 设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)

27、= D(X)+D(Y)+2EX-EXY-EY 4. DX=0 PX= C=1 ,这里这里C=EX下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明2222()()() ()() 2 2 D XYEXYE XYEXEXYEYEXEXE YEYEXEX YEYDXDYEXEX YEY若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望的性质由数学期望的性质4得得()D XYDXDY此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.例例5 设设XB(n,p)，求，求EX和和DX.若设若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n 则则 是是n次试验

28、中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次数次数 . 则则X表示表示n重努里试验中的重努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立1niiDXDX= np(1- p)EXi= p,DXi= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iX1niiEXEXnp则则若若),(pnBX,(1)EXnp DXnpp例例6(0,1),.XNEXDX设求和解解的概率密度为的概率密度为X xexx2221)( 于是于是221( )02xEXxx dxxed

29、x22221()( )12xDXxEXx dxx edx则则若若),1 , 0( NX0,1EXDX），（，则则若若10),(2NXZNX 0,1EZDZ质质得得由由数数学学期期望望和和方方差差的的性性而而, ZX()EXEZEZE22()DXDZDZD，则则若若),(2 NX2,EXDX差所确定。差所确定。可由它的数学期望和方可由它的数学期望和方布完全布完全望和方差，因而正态分望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期分别是该分布的数学期和和概率密度中的两个参数概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的这就是说，正态分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互独立相互独立和和且且若若

30、YXNYNX234,48,4 48ZXYEZDZZN 则也服从正态分布，而故有（， ）且它们相互独立，则且它们相互独立，则若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且例例7气缸的计以设活塞的直径),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互独立和直径YXNY.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解解.0,YXPYXP即求按题意需求由于由于)00

31、25. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP例例8、 解解 引入随机变量引入随机变量则则 X= X1+X2+Xki=1,2,，k袋中有袋中有n张卡片，号为张卡片，号为1,2,n,从中有放回地抽取从中有放回地抽取k张，令张，令X表示所抽的表示所抽的k张卡片的号码和，求张卡片的号码和，求EX和和DX。EXi 表示第表示第i次抽到的卡片的号码，次抽到的卡片的号码，Xi111121(1)122nnnnn nnn =1=(n+1).2kiikEXEX所以所以2222111121(1)

32、(21)(1)(21)66iEXnnnnn nnnnn2222()(1)(21)(1)1(1)6412iiiDXEXEXnnnn2=1=(n -1).12kiikDXDXX若0,1EYDY2( ,)XN 特别地，若，则(0,1)XYN10这就是说，不光正态随机变量可以标准化，任意随机变量都可以，而且期望为 ，方差为 .XEXYDX任意随机变量的标准化：任意随机变量的标准化：的期望和方差均存在，则它的标准化随机变量为六、小结六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差这一讲，我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征度的一

33、个数字特征 .下一讲，我们将介绍刻划两下一讲，我们将介绍刻划两r.v间间线性相关程度线性相关程度的一的一个重要的数字特征：个重要的数字特征：协方差、相关系数协方差、相关系数表1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbp x其它a+b22(b-a)12( )E

34、,0( )0,xexp x其它1212( ,)N 22()21( )2xp xex 2第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数协方差协方差相关系数相关系数小结小结 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数 量量E X-EXY-EY 称为随机变量称为随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记

35、为Cov(X,Y) ，即即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差一、协方差2.简单性质简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数是常数Cov(X,Y)=E X-EXY-EY 1.定义定义 Cov(X,Y)=E(XY) -EXEY 可见，若可见，若X 与与 Y 独立独立， Cov(X,Y)= 0 . 3、计算协方差的一个简单公式、计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-EXY-EY =E(XY)-EXEY-EY

36、EX+EXEY =E(XY)-EXEY即即特别地特别地22(,)()Cov X XE XEXDXD(X+Y)= DX+DY+ 2Cov(X,Y)4. 随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系二、相关系数二、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设DX0, DY0,(,)XYCov X YDXDY称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .XY 相关系数的性质：相关系数的性质：11 | . 证证: 由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b, 有有0D(Y-bX)= b2DX+DY-2b Cov(X,Y )(, )Cov X YbDX令令，则上式为，则上式为 D(Y- bX)= 2(, )Cov X YDYDX22(, )1=(1-)Cov X YDYDYDXDY由于方差由于方差DY是正的是正的,故必有故必有1- ,所以所以 | 。21-012. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov