三角形难题初中数学组卷

1、三角形难题初中数学组卷一填空题（共2小题）1（2013南京）计算（1）（）（1）（）的结果是2（2015春织金县期末）若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于二解答题（共28小题）3（2012重庆模拟）已知：如图，在ABC中，ADBC，1=B求证：ABC是直角三角形4（2015营口）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45°，求BD的长（3

2、）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长5（2015菏泽）如图，已知ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由6（2015于洪区一模）如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，当点D在线段BC上时（与点B不

3、重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由7（2015秋南京校级月考）如图，ABC中，ABC=ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，DCA=30°，EBA=20°，求BED的度数8（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续

4、对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90°，根据，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，A

5、C=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若，则ABCDEF9（2014绍兴）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2）如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长10

6、（2014雁塔区校级模拟）阅读下题及证明过程：已知：如图，D是ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE证明：在AEB和AEC中，EB=EC，ABE=ACE，AE=AE，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程11（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，

7、D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状12（2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DEAC于点E，求证：BPOPDE（1）理清

8、思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若PB平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）13（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为S1，AEC的

9、面积为S2，则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长14（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE

10、与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明15（2013昭通）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60°，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系

11、，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系16（2013涪陵区校级模拟）如图，ADE的顶点D在ABC的BC边上，且ABD=ADB，BAD=CAE，AC=AE求证：BC=DE17（2013南岸区校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AEBD求证：EFCD18（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1）ABD不动，（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，C

12、AE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由19（2013成都校级模拟）如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察MNC的形状，猜想MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明20（2013秋广州校级期中）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N

13、，D为ABC外一点，且MDN=60°，BDC=120°，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，ABC是周长为9的等边三角形，则AMN的周长Q=；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时=；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明21（2012广元）如图，在AEC和DFB中，E=F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，AB=CD，CE=BF

14、（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果、，那么”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由22（2012河源）如图，已知AB=CD，B=C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE（1）求证：AOBDOC；（2）求AEO的度数23（2012山西）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90°，CA=CB，FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展

15、示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程24（2012长春）感知：如图，点E在正方形ABCD

16、的边BC上，BFAE于点F，DGAE于点G，可知ADGBAF（不要求证明）拓展：如图，点B、C分别在MAN的边AM、AN上，点E、F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知AB=AC，1=2=BAC，求证：ABECAF应用：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，ABBC点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，1=2=BAC若ABC的面积为9，则ABE与CDF的面积之和为25（2012烟台）（1）问题探究如图1，分别以ABC的边AC与边BC为边，向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使AHK=ACD1作D1MKH

17、，D2NKH，垂足分别为点M，N试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）26（2012沈阳）已知，如图，MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不

18、与点O重合），且AB=4，在MON的内部，AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120°（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上（3）如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围27（2012邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD求证：ADBC28（2012开县校级模拟）已知，如图ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF29（2012昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）