初二数学面积法解题

1、常熟市景航教育信息咨询有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd初二数学-面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等

2、的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长

3、线交于D、E、F，求证：DEF的面积2ABC的面积。 分析：从图形上观察，DEF可分为三部分，其中是ADE，它与ADB同底等 三是AEF，只要再证出它与ABC的面积相等即可 由SCFESCFB 故可得出SAEFSABC 证明：AD/BE/CF ADB和ADE同底等高 SADBSADE 同理可证：SADCSADF SABCSADE+SADF 又SCEFSCBF SABCSAEF SAEF+SADE+SADF2SABC SDEF2SABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC/AB，M为腰BC上的中点 分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平

4、行线间的距离相等，设梯形的高为h 证明：过M作MN/AB M为腰BC的中点 MN是梯形的中位线 设梯形的高为h （二）用面积法解几何问题 有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质： 性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等 性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等 例3. 设AD、BE和CF是ABC的三条高，求证：AD·BCBE·ACCF·AB 分析：从结论可看出，AD、BE、CF分别

5、是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。 证明：AD、BE、CF是ABC的三条高 2. 证等积问题 例4. 过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：SABFSADE 分析：因为AB/DF，所以ABF与ABC是同底AB和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。 证明：连结AC CF/AB 又CE/AD 3. 证线段之和 例5. 已知ABC中，ABAC，P为底边BC上任一点，PEAB，PFAC，BHAC，求证：PE+PFBH 分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP，则 故PE+PFBH 证明：连结AP，则 ABAC，PEAB，PFA

6、C 又BHAC PE+PFBH 4. 证角平分线 例6. 在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AECF，连AE、CF交于P，求证：BP平分APC。 分析：要证BP平分APC，我们可以考虑，只要能证出B点到PA、PC的距离相等即可，也就是ABE和BFC的高相等即可，又由已知AEFC可联想到三角形的面积，因此只要证出SABESBCF即可 由平行四边形ABCD可得SABESABC，SBFCSABC 所以SABESBFC，因此问题便得解。 证明：连结AC、BE、BF 四边形ABCD是平行四边形 SABESABC SBFCSABC SABESBFC 又AECF 而ABE和BFC的底分

7、别是AE、CF ABE和BFC的高也相等 即B到PA、PC的距离相等 B点在APC的平分线上 PB平分APC【模拟试题】（答题时间：25分钟） 1. 在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：SABESADF 2. 在梯形ABCD中，DC/AB，M为腰BC上的中点，求证： 3. RtABC中，ACB90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证： 4. 已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证： 5. 在ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求ABC和四边形ADGE的面积比。【试题答案】 1. 证明：连结AC，则 又E、F分别为BC、CD的中点 2. 证明：过M作MN/DC/AB M为腰BC上的中点 DCM和ABM的高相等，设为h1 又DMN与AMN的高也为h1 MN为梯形的中位线 3. 证明：在RtABC中，ACB90°，CDAB 两边同时除以得： 4. 证明：连结FD、FG