统计学第三章平均指标与变异指标及习题课堂课资

1、第三章 平均指标与变异指标第一节第一节 平均指标平均指标第二节第二节 变异指标变异指标第三节第三节 标准差、偏度和峰度标准差、偏度和峰度1章节内容第一节第一节 平均指标平均指标2章节内容第一节 平均指标一、平均指标的含义一、平均指标的含义 也称平均数，它表明同类现象在一定时间、地也称平均数，它表明同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体内各单点、条件下所达到的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值。位参差不齐的标志值的代表值。 二、平均指标的作用二、平均指标的作用v反映标志值的集中趋势。如农民家庭收入情况。反映标志值的集中趋势。如农民家庭收入情况。 v便于比较分析。如

2、用劳动生产率等平均数对比不同便于比较分析。如用劳动生产率等平均数对比不同企业的生产情况。企业的生产情况。 v分析现象之间的依存关系。分析现象之间的依存关系。 如商业企业规模的大小如商业企业规模的大小和商品流通费用率之间存在的依存关系。和商品流通费用率之间存在的依存关系。3章节内容第一节 平均指标三、平均指标的分类三、平均指标的分类 在社会经济统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何在社会经济统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数 等。等。（一）算术平均数（算术平均数（mean）1.简单算术平均数简单算术平均数 根据未分组的原始统

3、计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平均法。均法。=总体标志总量算术平均数总体单位总量4章节内容第一节 平均指标 计算公式为： 2. 加权算术平均数加权算术平均数 根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的方法，称为加权算术平均法。方法，称为加权算术平均法。121ninixxxxxnn5章节内容第一节 平均指标计算公式为：计算公式为：3. 算术平均数的性质算术平均数的性质（1）各

4、个变量值与平均数离差之和为）各个变量值与平均数离差之和为0；（；（2）各个变量）各个变量值与平均数的离差平方和为最小值。值与平均数的离差平方和为最小值。11221121niinninniix fx fx fx fxffff6章节内容v例例:某厂工人各级别工资额和相应工某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表人数资料如表: 试计算工人平均工资。试计算工人平均工资。 工资额（元）工资额（元）工人数（人）工人数（人）46052060070085051518102合合 计计507章节内容各组标志值各组标志值 各组单位数各组单位数 =各组标志总量各组标志总量工资额（元）工资额（元）x工人数（人）工人数（

5、人）f工资总额（元）工资总额（元）x f46052060070085051518102230078001080070001700合合 计计50296008章节内容）（）（）（各组工人数各组工资总额各组工资额xxfx（元/人）工资为：平均5922101815528501070018600155205460fxfx9章节内容v甲乙两企业生产同种产品，甲乙两企业生产同种产品，1月份各批产量和月份各批产量和单位产品成本资料如下，求平均成本。单位产品成本资料如下，求平均成本。 第一批第二批第三批单位产品成本（元）产量比重（%）甲企业乙企业单位产品成本（元）产量比重（%）1.0101.2301.1201.

6、1301.2701.040怎么做？10章节内容ffxx11章节内容第一节 平均指标（二）调和平均数（调和平均数（harmonic mean） 又称倒数平均数。又称倒数平均数。 1. 简单调和平均数简单调和平均数 2. 加权调和平均数加权调和平均数 1211111nnhxxxxn12章节内容第一节 平均指标 2. 加权调和平均数加权调和平均数 m为权数。为权数。1212121nnnmhmmmmxxxxmmm13章节内容行驶速度x行驶里程m行驶时间m/x752253801602合计385514章节内容v即行使速度为77公里/小时775385xmmxh15章节内容例：求商品的平均价格某商品的销售情况

7、销售价格（元）销售额（元）39048055016章节内容第一节 平均指标 （三）几何平均数（三）几何平均数（geometric mean） 1. 简单几何平均数简单几何平均数 121nnnniigx xxx17章节内容例1：2001-2005年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。18章节内容%1 .103031. 1022. 1027. 1006. 1025. 1076. 1.521nngxxxxxy19章节内容例2：某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%

8、、90%，求三道工序的平均合格率。 =90.8% nngxxxx.2139 . 0*85. 0*98. 020章节内容第一节 平均指标 2. 加权几何平均数加权几何平均数 几何平均数也可用对数的算术平均形式表示。因几何平均数也可用对数的算术平均形式表示。因此，也称对数平均数。此，也称对数平均数。可以证明：可以证明：121212111ninnnffffffffiinngxxxxf l nxf l nxl ngfxgh21章节内容例：某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。22章节内容x,4,),x,8,),x,10,),x,2,),x

9、y%6 .108086. 115. 121 . 11008. 1805. 1403. 1.221125fxfnnxfxfxg23章节内容练习：练习：求这几年间国内生产总值的平均发展速度。求这几年间国内生产总值的平均发展速度。年份年份1998199819991999200020002001200120022002国内生产总值国内生产总值78345.278345.282067.582067.589468.189468.197314.897314.8104790.6104790.624章节内容第一节 平均指标 （四）中位数（四）中位数（median） 将总体各单位标志值按大小顺序排列，居于将总体各单

10、位标志值按大小顺序排列，居于中点位置的那个标志值就是中位数。它是位中点位置的那个标志值就是中位数。它是位置平均数，不受极端值的影响。置平均数，不受极端值的影响。 1. 由未分组资料计算中位数由未分组资料计算中位数 先按大小顺序排列，其次利用公式（先按大小顺序排列，其次利用公式（n+1）/2确定中位数位次，最后确定中位数。确定中位数位次，最后确定中位数。25章节内容第一节 平均指标 2. 由单项式分组资料计算中位数由单项式分组资料计算中位数 经过分组的资料在确定中位数时，首先将变量数列经过分组的资料在确定中位数时，首先将变量数列的频数或频率进行累加，然后用公式的频数或频率进行累加，然后用公式 来

11、计算中来计算中位数位次，确定中位数组，最后确定中位数。位数位次，确定中位数组，最后确定中位数。 2f26章节内容家庭人口数（人）家庭户数（户）向上累计频数（户）118182901083180288472360合计36027章节内容3. 由组距式分组资料计算中位数由组距式分组资料计算中位数 确定中位数位次的方法同上，然后按下限公式或上限确定中位数位次的方法同上，然后按下限公式或上限公式计算中位数。公式计算中位数。按奖金分组（元）调查户数（户）向上累计向下累计500元以下4040500500800901304608001100110240370110014001053452601400170070

12、4151551700200050465852000以上3550035合计50028章节内容第一节 平均指标 下限公式：下限公式： 上限公式：上限公式：12memfsmlif12memfsmuif29章节内容第一节 平均指标 （五）众数（五）众数（mode） 指总体中出现次数最多的标志值，也是一种指总体中出现次数最多的标志值，也是一种位置平均数，不受极端值的影响。位置平均数，不受极端值的影响。 由单项数列计算众数时，把次数最多的组定由单项数列计算众数时，把次数最多的组定位众数组，该组的变量值即为众数。位众数组，该组的变量值即为众数。 由组距数列计算众数，也要确定众数组，然由组距数列计算众数，也要

13、确定众数组，然后利用上下限公式计算。后利用上下限公式计算。30章节内容第一节 平均指标 下限公式：下限公式： 上限公式：上限公式：2012dmuidd1012dmlidd31章节内容第一节 平均指标（六）位置平均数与算术平均数的关系（六）位置平均数与算术平均数的关系1.运用中位数、众数和算术平均数的数量关系判别运用中位数、众数和算术平均数的数量关系判别总体分布特征：对称、左偏和右偏。总体分布特征：对称、左偏和右偏。2.利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算。利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算。 根据皮尔逊的经验，在分布偏斜度不大的情况下，根据皮尔逊的经验，在分布偏斜度不大的情况下，众数

14、与中位数的距离约为中位数与算术平均数距离众数与中位数的距离约为中位数与算术平均数距离的的2倍。倍。 02 ()eemmxm32章节内容例：根据某城市住户家庭月工资的抽样调查资料计算得到众数为2300元，中位数为2100元，问算术平均数为多少？其分布呈何种形态？33章节内容第一节 平均指标 四、平均指标的应用四、平均指标的应用 （一）社会现象的同质性是计算和应用平均指（一）社会现象的同质性是计算和应用平均指标的前提。如不能将小麦、棉花、茶叶等混标的前提。如不能将小麦、棉花、茶叶等混合在一起计算平均单位产量。合在一起计算平均单位产量。 （二）总平均数与组平均数要结合运用。（二）总平均数与组平均数要

15、结合运用。 34章节内容某厂工人奖金水平资料表工人组别基期报告期工人数（人）奖金总额（元）奖金金额（元/人）工人数（人）奖金总额（元）奖金金额（元/人）技术工人1502700018024044640186熟练工人60720012016020160126普通工人40360090100930093合计25037800151.250074100148.235章节内容第一节 平均指标（三）要用分配数列补充说明平均数。某车间零件日产量资料表日产零件数（件）组中值（件）各组人数（人）第三季度第四季度394140155414342251043454430204547462025474948153049515

16、01020515352510合计12012036章节内容第二节 变异指标37章节内容第二节 变异指标一、变异指标的涵义一、变异指标的涵义 又称标志变动度或离散指标，它综合反映同质总又称标志变动度或离散指标，它综合反映同质总体各单位标志值的差异程度，是社会经济统计中体各单位标志值的差异程度，是社会经济统计中广泛应用的另一种综合指标。广泛应用的另一种综合指标。二、标志变异指标的作用二、标志变异指标的作用（一）衡量平均数代表性的尺度（一）衡量平均数代表性的尺度（二）反映现象的均衡性和稳定性（二）反映现象的均衡性和稳定性 在控制产品质量、进行投资分析和评价经济管理在控制产品质量、进行投资分析和评价经济

17、管理工作中有重要的意义。工作中有重要的意义。38章节内容第二节 变异指标 三、变异指标的分类三、变异指标的分类 变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和离散系数等。离散系数等。 （一）全距（一）全距（range） 又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最小值之差。小值之差。 （二）平均差与平均差系数（二）平均差与平均差系数maxminrxx39章节内容第二节 变异指标 1. 平均差平均差 它是总体中各单位标志值与算术平均数离差的绝它是总体中各单位标志值与算术平均数离差的绝对值的算术平均数，常用对值的

18、算术平均数，常用md表示。表示。 （1）简单平均法）简单平均法 （2）加权平均法）加权平均法 xxmdnxx fmdf40章节内容第二节 变异指标2. 平均差系数例：甲组：20 30 30 40 40 50乙组：30 45 50 53 57 65100%mdmdvx41章节内容第二节 变异指标 四、标准差和标准差系数四、标准差和标准差系数 （一）标准差（一）标准差 又称均方差。也是总体各单位标志值对算术平均又称均方差。也是总体各单位标志值对算术平均数的平均离差，在处理方法上比平均差更优越。数的平均离差，在处理方法上比平均差更优越。因此，平均离差通常以标准差为标准。因此，平均离差通常以标准差为标

19、准。 1. 简单平均法简单平均法 2. 加权平均法加权平均法 3. 简捷法简捷法42章节内容第二节 变异指标 3. 简捷法资料未分组：资料分组且为单项数列或异距数列时：22()()xaxann22()()xafxa fff43章节内容第二节 变异指标资料分组且为等距数列时：22()()xaxaffdddff44章节内容)(94.8)(2分ffxx成绩(分)组中值(x)学生数(f)总成绩(xf)离差离差平方 离差平方和50-6055155-3090090060-70652130-2040080070-80758600-1010080080-908524204000090-100951514251010015005042504000)(xx)(2xxfxx)(245章节内容第二节 变异指标（二）标准差系数100%vx46章节内容例：有两组工人日产量 甲组：60、65、70、75、80 乙组：2、5、7、9、12不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度v 70x甲7x乙07. 7甲41. 3乙47章节内容v可以计算离散系数可以计算离散系数v本例中本例中%100x