Chapter1 解析函数 (1)

1、武新慧武新慧20142014年年2 2月月2424日日数学物理方法 姓名：武新慧姓名：武新慧 联系方式：联系方式： 手机：手机：1819075205818190752058 QQQQ： 357369396357369396 电子邮箱：电子邮箱： 一、自我介绍：一、自我介绍： 二、课程简介：专业基础课二、课程简介：专业基础课 二、课程简介：专业基础课二、课程简介：专业基础课1 1、特点：、特点：（1 1）重要：）重要：承前承前启后启后高等数学线性代数普通物理理论物理凝聚态物理应用物理信号与系统电路原理电磁场与电磁波数学物理方法能灵活地应用数能灵活地应用数学理论和技巧求学理论和技巧求解方程解方程对

2、背景知识对背景知识要求极高要求极高能用物理基本概念和规能用物理基本概念和规律建立正确的物理模型律建立正确的物理模型和描述方程和描述方程数学数学物理物理（2 2）难学：）难学：2 2、正确的学习方法：、正确的学习方法：（1 1）认真听讲，记好笔记；）认真听讲，记好笔记；（4 4）多动手动脑，强化理解。）多动手动脑，强化理解。（3 3）勤学多问，独立完成作业；）勤学多问，独立完成作业；3 3、内容：、内容：7272学时学时（2 2）及时复习，多读参考书；）及时复习，多读参考书；4 4、考核方式：平时、考核方式：平时30%+30%+闭卷考试闭卷考试70%70% 二、课程简介：专业基础课二、课程简介：

3、专业基础课数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法复变函数复变函数积分变换积分变换数学物理方程数学物理方程与特殊函数与特殊函数解析函数解析函数复变函数积分复变函数积分复变函数级数复变函数级数留数定理留数定理拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换数学物理定解问题数学物理定解问题积分变换法积分变换法格林函数法格林函数法二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法理论物理、空气动力学、理论物理、空气动力学、流体力学、弹性理论、天流体力学、弹性理论、天体物理等。体物理等。信号与系统、电路原理、信号与系统、电路原理、数字信号处理、数字图像数字信号处理、数字图像处理的数学基础处理的数学基础理

4、论物理、凝聚理论物理、凝聚态物理、应用物态物理、应用物理、电磁场与电理、电磁场与电磁波的数学基础磁波的数学基础分离变数法分离变数法球函数球函数柱函数柱函数5 5、目标：、目标：（1 1）对）对常见问题常见问题建立起清晰的建立起清晰的数学数学物理物理图像：图像：方程及其求解方程及其求解方程建立方程建立赋予解物理意义赋予解物理意义波动问题波动问题热传导问题热传导问题静电场问题静电场问题如何建立方程？如何建立方程？如何求解方程？如何求解方程？如何赋予解物理意义？如何赋予解物理意义？（2 2）培养综合分析问题的能力：）培养综合分析问题的能力：经常分析各种方法的异同，融会贯通知识。经常分析各种方法的异同

5、，融会贯通知识。（3 3）加强计算能力的训练，强化对概念的理解。）加强计算能力的训练，强化对概念的理解。三、参考教材：三、参考教材：1 1 胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法（第二版），高等教育出版社，胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法（第二版），高等教育出版社，20022002年年2 2 郭敦仁，数学物理方法（第二版），人民教育出版社，郭敦仁，数学物理方法（第二版），人民教育出版社，19911991年年3 3 四川大学数学系，高等数学（第四册），人民教育出版社，四川大学数学系，高等数学（第四册），人民教育出版社，19791979年年4 4 吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社，吴崇试，数学物理方法，北京

6、大学出版社，19991999年年5 5 彭芳麟，数学物理方程的彭芳麟，数学物理方程的MATLABMATLAB解法与可视化，清华大学出版社，解法与可视化，清华大学出版社，20042004年年6 6 姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，20032003年年7 7 周绍森，数学物理方法解题指导，江西人民出版社，周绍森，数学物理方法解题指导，江西人民出版社，19841984年年第一篇：复变函数论第一篇：复变函数论 复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几乎像微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾被称为“19世纪的数学享

7、受世纪的数学享受”，也曾被称为抽象科学最和谐 的理论之一。 复数的发展复数的发展 早在早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程的求解时，世纪，对一元二次、一元三次代数方程的求解时，就引入了虚数的基本思想。就引入了虚数的基本思想。 但是对虚数的本质还缺乏认识。“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表的意思是“虚假的数虚假的数”，“实际不存在的数实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。由此给虚数披上了一层神秘的外衣. 复数概念的进化史是数学史中最奇特的一个篇章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。

8、 人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。 十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家威塞尔 (Wessel)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用. 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函

9、数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论.复变函数论解除了实数领域中的若干禁区，比如：复变函数论解除了实数领域中的若干禁区，比如：负数不能开偶数次方；负数不能开偶数次方；负数没有对数；负数没有对数；指数函数无周期性；指数函数无周期性；正弦、余弦函数的绝对值不能超过正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； 实数领域实数领域复数领域复数领域 第一篇第一篇 复变函数论复变函数论1.1 1.1 复数的基本概念复数的基本概念一、复数：一、复数：ixiyze代数式cos +i sin三角式指数式0 xy,P x ycossiniei欧拉公式：21ii 为虚数单位， Reco

10、sxz实部 Real Part ： Imsinyz虚部 Imaginary Part ： 第一章第一章 复变函数复变函数22zxy模 module ：Arg(z)arctanarg( )2(0, 1, 2)arg( )0yxzkkz 辐角 argument angle ：辐角主值：，2复共轭：复共轭：*cossincossinizxiyiie注意：复数的无序性注意：复数的无序性 实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的即复数是无序的. . 尽管复数的实部和虚部均为实数，但尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部

11、通过虚单位联系起来，从而是是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的不能比较大小的. .?：复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须小顺序关系必须遵循实数顺序关系遵循实数顺序关系的有关性质。的有关性质。,0,0ab cacbcab cacbc在实数中，若，；若，.i0ii0, ii ii 0,-10,.我们用复数 和 来说明.对于非零复数即0，若根据实数不等式的性质，两边同乘以“大于零”的 ，得即矛盾i0,也矛盾。 由此可见，在复数域中不能够定义大小关由此可见，在复

12、数域中不能够定义大小关系，即系，即两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小. 二、复数运算二、复数运算 1212112212121221121212iiixiyxiyx xy yi x yx yzzeee 乘：1122121212211111222222222222121122iiix xy yi x yx yxiyxiyxiyxiyxiyxiyxyzzeee除：121212zzxxi yy加减： cossinnninnzenin乘方：11122122cossin0,1,1kiiknnnnnzeekkiknnn开方：103,ixyixy例1：设3求实数 与 。解：101010312+22ii3

13、10102cossin66i101062ie51032ie10552cossin33i512512 3 i3xyi512,511 3xy ?iiii思考：如何求 和2222=,=kkiiiei e答案： 例2：求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置。2 i110,1,2,1kknnknekn解：设 的 次方根为，根据开方公式有 ww2+1, 1.n 当时，其两根为 对应于单位圆与实轴的两个交点.1nnn方根的几何意义：这 个方根是以原点为中心， 为半径的圆的内接正 边形的 个顶点.例3：试证明下列恒等式并解释其几何意义.22222222zzz111zzz解：2212112221212

14、221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy2212112221212221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy22222222121211111222zzzzxyxyzz 1z2z12zz12zzyx几何意义：平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和。 1.2 1.2 复变函数复变函数一、复变函数：以复数为自变量的函数。一、复变函数：以复数为自变量的函数。 ,wf zu x yiv x yzxiy二、区域：满足一定条件的点集，用来描述复变函数的定义域。二、区域：满足一定条件的点集，用来描述复变函数的定义域。

15、邻域，内点，外点，边界点，邻域，内点，外点，边界点，区域区域全由内点组成全由内点组成具有连通性具有连通性0z内点内点外点外点边界点边界点闭区域闭区域 单值函数单值函数（一个（一个z 一个一个w）指数函数：指数函数：zx iyxi yeee e三角函数：三角函数：sin2cos2i zi zi zi zeezieez 双曲函数：双曲函数：sinh2cosh2zzzzeezeez 多值函数多值函数（一个（一个z 多个多个w）根式函数：根式函数：1122122cossin0,1,1kiiknnnnneekkiknnnz幂函数：幂函数：lnzze反三角函数：反三角函数：对数函数：对数函数：2lnlnl

16、nln20, 1, 2,ikizeeikk L 1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数 00+-D,0zlimlimzzf zzf zwf zzzwf zf zfzz 对区域 内的单值函数若极限存在，且与的方式无关，则称函数在 点可导，记作： uvvf zyCRvx 、 可微u可导x满足条件uy证明：证明： 0limzf zfzz （1）必要性：）必要性：0dy 0dx df zdzduidvdxidy00uvixdyxxvuiydxyy沿平行于 轴方向，即：沿平行于 轴方向，即： f z可导条件 fzdfduidvuv存在存在、 可微Q=-uvxyuvvuiiCRuvxxyyyx条件：

17、 （2）充分性：）充分性： f z条件可导uududxdyxyuvvvdvdxdyxy、可 微 , Quuvvdfduidvdxdyidxdyxyxy=-uvxyCRuvyx条件：Quvvudfdxdyidxdyxxxxuvuvidxiidyxxxxuvidxidyxx 0limzf zfzz uvidzxx df zdzuvixx fzf z存在，即可导例：试推导极坐标系下例：试推导极坐标系下C-R方程。方程。,( )( , )( , )izef zuiv 解：0000=0(, )(, )( , )( , )lim(, )( , )(, )( , )lim(, )( , )(, )( , )

18、lim()iiiiiizz edfuivuivdzeuuvvieeuuvvieeuvi 沿径向趋于 时： -ie法一：法一：0-0=0( ,)( , )( ,)( , )lim1()iiiizz i edfuuvvidzi ei eviue 沿横向趋于 时： 11uvuv -1()()iiuvviuiee11uvuv ，法二：从直角坐标关系出发法二：从直角坐标关系出发sincosyx=cossincossinuuxuyuuvvxyxyyx =cossin =cossinvvxvyvvuuxyxyyx (sincos )(cossin )uuuvvvxyyx 同理， ， 一、解析函数：在一区域内

19、处处可导的函数。一、解析函数：在一区域内处处可导的函数。 f(z)为解析函数为解析函数 （1）函数在某点解析，则必在该点可导。 （2）函数在某点可导，则不一定在该点解析。 （3）函数在某点可导与解析是不等价的，但是函数在某 区域上可导与解析是等价的。1.4 解析函数解析函数u和和v可微且满足可微且满足C-R条件。条件。 注意： 复变函数在某点解析复变函数在某点解析 某点可导某点可导 某点极限存在某点极限存在 某点连续某点连续 例例1：判定下列函数在何处可导？在何处解析？：判定下列函数在何处可导？在何处解析？ 1Re;2;3Rezf zzf zef zzz。 解：解： 1,0ux v1000uv

20、xxuvyyQuvxy 函数f z =Re z 处处不可导，处处不解析。 2cos,sinxxuey veycossinsincosxxxxuveyeyxxuveyeyyy Quvxyuvyx u、v可微且满足C-R条件Q z函数f z =e 处处可导，处处解析。 23,uxvxy20uvxyxxuvxyyQ00uvxxyuvyyx 当时，当时，0 xy虽然u、v可微，C-R条件仅当时满足Q 函数f z =zRe z 仅在z=0处可导，在复平面内处处不解析。 cos z例2：f z =cos z 是解析函数吗？f z =呢？z解： - f z = sinzQ f z 处处可导，故f z 为解析

21、函数 2-cos0zzzzQsinzf z =仅在处不存在 cos0zzzf z =在除外的区域上为解析函数 例例3：已知某解析函数的实部是：已知某解析函数的实部是：22,yxyxu 求该解析函数及其虚部。求该解析函数及其虚部。 分析：曲线积分法，凑全微分法，分析：曲线积分法，凑全微分法，不定积分法不定积分法uvxyCRuvyx 条件：直角坐标22uvxxyuvyyx 22vxyvyx 对对y积分，将积分，将x视作参数：视作参数：2( )2( )vxdyxxyx 对对x求导：求导：2( )vyxx2vyx( )0 x ( )xC2vxyC 222( )(2)f zxyixyCziC 例例4：已

22、知某解析函数的实部是：已知某解析函数的实部是：22222,yxyxyxu 求该解析函数及其虚部。求该解析函数及其虚部。 分析：分析：uvxyCRuvyx 条件：直角坐标11uvCRuv 条件：极坐标dxddyd 0 xydd dyddx 解：解：222242cossincossincos2,xyu Q3cos212uv Q 22cos212,sin2vvg 331sin2sin222uvg Q 20:1,sin2ggCCvC 积分常数 22222,cos2sin211if zuivf ziCiCeiCz Q1、共轭调和函数：、共轭调和函数：二、解析函数的物理解释：保守场的势二、解析函数的物理解

23、释：保守场的势 为解析函数yxivyxuzf, 12uvxyCRuvyx 条件 12xy 12yx222222220,0,uuu x yxyvvv x yxy为调和函数为调和函数解析函数的实部和虚部互为共轭调和函数解析函数的实部和虚部互为共轭调和函数2、正交曲线族：、正交曲线族：0uvxyuvuvuvxxyyyx ，Q120,uvuvu x yCv x yC 和为相互正交的曲线族QQ静电场的势满足拉普拉斯方程，且等势面电场线可用解析函数的实部或虚部描述静电场的等势面和电场线uv1,u x yc2,v x ycijkxyz 令，称为梯度矢量例5：研究电偶极子(Dipole)所产生的电势和电场强度

24、。设在 (a,b)处有点电荷+q ,在 (-a,-b)处有点电荷-q ,则在电荷所在平面上任何一点的电势为解：根据电势与场强的微分关系，已知等势线，可绘制出电场线。011,4qVrr2222960,19 10 ,2 10 ,1.5,1.54rxaybrxaybqab 其中， clear ; clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2); rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2);V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电势Ex,Ey=gradient(-V); %计算电场强度AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %场强归一化cv=linspace(min(min(V),max(max(