圆中最定值修订版1

1、圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、 如图，ab是o的直径，ab=10cm，m是半圆ab的一个三等分点，n是半圆ab的一个六等分点，p是直径ab上一动点，连接mp、np，则mp+np的最小值是_1、 已知圆o的面积为3，ab为直径，弧ac的度数为80度，弧bd的度数为20度，点p为直径ab上任一点，则pc+cd的最小值为_2、如图，菱形abc中，a=60度，ab=3,a、b的半径为2和1,p、e、f分别是cd，a和b上的动点，则pe+pf的最小值为_ 类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点a为圆外一点，p为圆o上动点，连接ao并延长交圆于p1、p2，则ap的最小值为ap2,最大值为a p1

2、例、如图4，在边长为2的菱形abcd中，a=60°，m是ad边的中点，n是ab边上一动点，将amn沿mn所在的直线翻折得到amn，连接ac，请求出ab长度的最小值1、已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点a（11，0），点b（0，6），点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，则cb的最小值为_2、四边形abcd中，adbc，a=90,ad=1，ab=2,bc=3,p是线段ad上一动点，将abp沿bp所在直线翻折得到qbp，则cqd的面积最小值为_类型三、 随动位似隐圆例、在rtabc中，acb=90°，bac=30

3、6;，bc=6点d是边ac上一点d且ad=2，将线段ad绕点a旋转得线段ad，点f始终为bd的中点，则将线段cf最大值为_分析：易知d轨迹为以a为圆心ad为半径的圆，则在运动过程中ad为定值2，故取ab中点g，则fg为中位线，fg=ad'=,故f点轨迹为以g为圆心，为半径的圆。问题实质为已知圆外一点c和圆g上一点f，求cf的最大值。思路2：倍长bc到b，则cf为bdb的中位线，cf= bd,当bd最大时，cf也取最大值，问题实质为d在圆a上运动至何处时，bd取最大。 【方法归纳】、如图，点a和点o1为定点，圆o1半径为定值，p为圆o1上动点，m为ap中点点m运动轨迹为圆o2，且o2为a

4、o1中点。、构造中位线1、如图，在rtabc中，acb = 90°，d是ac的中点，m是bd的中点，将线段ad绕a点任意旋转（旋转过程中始终保持点m是bd的中点），若ac = 4，bc = 3，那么在旋转过程中，线段cm长度的取值范围是_ 2、如图，abc是边长为2的等边三角形，以ac为直径作半圆，p为半圆上任意一点，m为bp中点，则在点p由a到c运动过程中，点m运动路径长为_类型四、定性分析垂线段最短例、如图，半圆o的半径为1，acab，bdab，且ac=1，bd=3，p是半圆上任意一点，则封闭图形abdpc面积的最大值是_【分析】：思路1、连接cd、梯形abcd面积为定值，要使封

5、闭图形abdpc面积取最大值，则使cpd面积取最小即可，cpd中，底边cd为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点p在圆上运动至何处时，点p到cd距离最小。c、d、o为定点，则点o到cd距离为定值,计算cd、oc、od长，由勾逆知occd，设点p到cd距离为h，则h+roc，hoc-r，即当o、p、m三点共线时，h有最小值，此时m与点c重合，故oc与圆o交点即为所求点p。思路2：p点的确定也可以这样想，平移cd，设平移后的直线为m，则直线m与cd间的距离即为cd边上的高，显然，当直线m与圆o相切时，高h有最小值。 1、如图，p为圆o内一个定点，a为圆o上一个动点，射线ap,ao分

6、别与圆o交于b，c两点，若圆o的半径为3，op= ，则弦bc的最大值为_2、如图，ab为o的直径，c为半圆的中点，c的半径为2，ab=8，点p是直径ab上的一动点，pm与c切于点m，则pm的取值范围为_类型五、定弦定角【基本原理】如图1o中，a、b为定点，则ab为定弦，点c为优弧上任一点，在c点运动过程中则acb的度数不变逆运用如图2、点a、b为定点，点c为线段ab外一点，且acb=（为固定值）点c在以ab为弦的圆上运动（不与a、b重合） 图1 图2例、如图，ab为定长，点c为线段ab外一点，且满足acb=60度，请在图中画出点c的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤1、_步骤2、_练习、如图，ab

7、为定长，点c为线段ab外一点，且满足acb=120度，请在图中画出点c的运动轨迹,并写出圆心角aob=_ 【实战应用】例、如图，o的半径为1，弦ab=1，点p为优弧ab上一动点，acap交直线pb于点c，则abc的最大面积是_1、如图，abc是边长为2的等边三角形，d是边bc上的动点，bead于e，则ce的最小值为_2、如图，rtabc中，abbc，ab=6，bc=4，p是abc内部的一个动点，且满足pab=pbc，则线段cp长的最小值为_类型六、定弦定角反客为主例、如图，xoy = 45°，一把直角三角尺abc的两个顶点a、b分别在ox、oy上移动，其中ab = 10，那么点o到顶

8、点a的距离最大值为_点o到ab的距离的最大值为_【分析】：题意中ab为定长线段在角的两边滑动，o为定点，滑动中c为动点，ab两点位置发生变化，点o到ab距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将abc固定，将xoy的两边绕ab滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点o在圆上运动至何处时，点o到ab距离最大。1、如图，d,e分别为等腰直角三角形abc的边ac、ab上的点，且de=2 ,以de为边向外作正方形defg，则af的最大值为_2、如图，abc中，abc= 45°，ac=2，半径为的圆o始终过a、c两点，连接ob，则线段o

9、b长的的最大值为_ 类型七、定弦定角条件的确定例、如图，扇形aod中，aod=90°，oa=6，点p为弧ad上任意一点（不与点a和d重合），pqod于点q，点i为opq的内心，则当点p在弧ad上运动时，求i点运动路径长。分析：由内心的基本结论知 pio=90o+pho=135o为定角，但其所对的边op并非定弦，连id，易证 aiooid，oid=pio=135o,且其所对的边为od，符合定弦定角条件，故i点轨迹为圆弧，问题易解。1、如图，边长为3的等边abc，d、e分别为边bc、ac上的点，且bdce，ad、be交于p点，则cp的最小值为_2、如图，ac3，bc5，且bac90

10、76;，d为ac上一动点，以ad为直径作圆，连接bd交圆于e点，连ce，则ce的最小值为（ ）类型八、隐切线例、已知a（2，0），b（4，0）是x轴上的两点，点c是y轴上的动点，当 acb最大时，则点c的坐标为_分析：将 acb看作以ab为弦的圆上的角，则圆心在ab的垂直平分线上，当圆心运动时， acb的大小也随之改变，又因为点c为为y轴上的点，所以可将点c理解为圆o与y轴交点。y轴与圆o的位置关系有两种：相交或相切，当圆o与y轴相交时，记交点为c1，当圆o与y轴相切时，记交点为c，如图所示， ac1b= ac2b,由圆上的角大于圆外的角可知， acb ac2b，故当圆o于y轴相切时， acb

11、有最大值。考虑对称性可知，点c的位置有两个，y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点。 1、已知点a、b的坐标分别是（0，1）、（0，3），点c是x轴正半轴上一动点，当 acb最大时，点c的坐标为_在rtabc中，bac=30°，斜边ab=，动点p在ab边上，动点q在ac边上，且cpq=90°，则线段cq长的最小值=_类型九、捆绑旋转例、已知a（2，0），b（5，0），点p为圆a上一动点，圆a半径为2，以pb为边作等边pmb，求线段am的取值范围。 分析：思路1：要求am的取值范围，则先确定m点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和pbm共顶点b的等边abh，则ap

12、bhbmhm=pa=2，所以点m运动轨迹为以h为圆心，半径为2的圆h上的点。am过圆心时取得相应最大和最小值。思路2：线段bm可看作由线段pb绕点b顺时针旋转60度得到，当点p在圆a上运动时，作出其绕点b顺时针旋转60度后的每一个对应点，则其应点的集合就是点m运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点p绕点b顺时针旋转60度得到，所以点m所在圆的圆心即为将p点所在圆圆心a绕点b顺时针旋转60度得到。想象成钟摆绕点b顺时针旋转60度 1、如图，已知a（2，0），圆o半径为1，点b为圆o上一动点，点c在第一象限，且abc为等腰直角三角形，bac=90度，求线段oc的最大值_2、如图，ab为o的

13、直径，ab=4，点c为半圆ab上动点，以bc为边在o外作正方形bcde，（点d在直线ab的上方）连接od当点c运动时，则线段od的最大值为_ 类型十、半径不确定的处理策略例、在abc中,ab=4,bc=6,acb=30°,将abc绕点b按逆时针方向旋转,得到a1bc1.点e为线段ab中点,点p是线段ac上的动点,在abc绕点b按逆时针方向旋转的过程中,点p的对应点是点p1,则线段ep1长度的最大值为_,最小值为_分析:显然bp=bp1,p1点轨迹为以b为圆心，bp为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定，因为点p为ac上动点，则bp长度有最小值和最大值。如图当bp垂直ac时，半径最小，当p与c重合时，半径最大，由图可知p1点轨迹为以b为圆心的无数个同心圆。不难确定其最小值和最大值1、在abc中，acb=90&