抛物线有关定理

1、伍、研究過程及方法一、預備定理：（一）拋物線焦點對切線之對稱點必位於準線上【證明】設拋物線方程式為，焦點，準線，令p，則切線方程式為，其法向量即為：從所给的條件，可求得焦點對準線的對稱點f1為：，此點正好位於準線，得證。 圖1-1(二) 相似三角形定理由拋物線兩切線、，與從焦點到切點a和b及到切線交點s的連線組成兩個相似三角形fsa和fsb，從而一個三角形中的位於切點上的角與另一個三角形中位於交點上的角相等。【證明】設拋物線有兩切線、，以及焦點f，則f對作對稱點h；且f對作對稱點k；而和的交點為p，和的交點為r。為準線且、又，且，而s為的外心，在的外接圓中，是所對的圓周角，為的中垂線，且(圓周

2、角為其弧所對圓心角的一半)。得證，同理可證。圖1-2（三）蘭伯特定理由相似三角形定理繼續推論：已知三切線、，三切點a、b、o，切線兩兩相交於p、r、s，以及焦點f。則可知且，故pfrs為圓內接四邊形f必在之外接圓上。圖1-3（四）互相垂直之兩切線，其交點位於準線上因為所有的拋物線都是相似形，不失一般性，所以可設拋物線方程式為，準線方程式為，焦點為。若設兩切點為，則可得兩切線之方程式為：， ：，與之交點坐標為，直線ab為：，而p點在準線上且焦點在直線ab上。圖1-4（五）阿基米得三角形性質證明1. 平行軸拋物線有兩切線、，焦點f，而a、b為拋物線之切點。圖1-5h、k為a、b投影至準線l上兩點，

3、、又為中、之中垂線；而s為之外心。之中垂線必過s且與軸平行。在直角梯形ahkb中之中垂線必過 之中點m。因為軸垂直又為之中垂線，所以平行軸，得證。2. 交拋物線於o，由o作切線交、於a'、b'， 為之中位線。、亦為阿基米得三角形，故a'為的中點，b'為的中點，所以為之中位線，得證。圖1-63. 設切線和交於o點，則平行 ，又其共用，/，得證。圖1-7（六）焦點對任三切線之對稱點必共線(準線)利用(一)拋物線焦點對切線之對稱點必位於準線上之性質即可得出，就此題指考題，我們可作出以下的證明：以焦點對三條切線、及分別作對稱點：，圖1-8又三切線所圍成三角形三頂點、，而

4、之外接圓為，又f在上，而，三點共線。由蘭伯特定理知，焦點f必在三角形abc的外接圓上，而焦點f對三切線之對稱點必共一準線，所以一個焦點就可以決定一條拋物線，但是焦點不是唯一的，因此此題的拋物線也不是唯一的。【討論】當焦點f為三角形abc之頂點時，拋物線會退化成一直線。有了這些預備定理後，我們也展開探討唯一拋物線的研究里程！二、決定唯一拋物線之要素首先我們先從拋物線的定義焦點、準線出發：給予一條直線l和一個定點f。在l和f所決定的平面上，一切滿足之動點p的軌跡叫做拋物線。其中定直線l與定點f分別稱作拋物線的準線和焦點。 圖2-1由定義可以知道：一個焦點和一條準線是決定唯一拋物線之基本條件，從此處

5、我們延伸探討的範圍，譬如：拋物線上的點、拋物線的切線。由假設的兩種元素和焦點(不討論準線)搭配探討，我們漸漸的進入拋物線奇妙之處。從指考題出發，我們已經明白三條切線無法構成唯一的拋物線，那如果增加一條切線或者拋物線上的一個點呢？ （一）四切線我們根據蘭伯特定理，先設拋物線之三切線為、以及三切點a，c，b。而知和交點p、和交點s、和交點q，則可推得及，四邊形psqf可作外接圓f在 之外接圓上。 最後我們再以四條切線所作出的四個外接圓中任取兩個，則兩圓的交點，其一為兩三角形的共點，不為焦點，而另一交點就是焦點。焦點確定後則拋物線也跟著唯一確定，故四條切線可以決定唯一個拋物線。圖2-2（二）三切線、

6、拋物線上任一點設拋物線之三切線為、，可得其三切線兩兩相交於、。而已知拋物線之焦點位於圓上，恰好此圓過a、b、c三點：，所以得到了圓之方程式。圖2-3然後作焦點對三切線之對稱點，得到以下：則由上可知其三點所連成之準線l的斜率為。再以已知一點代入拋物線之樸式，得，得證此為唯一之拋物線。探討完三切線加上任一元素後，我們縮短切線的數量，以二切線為主體，搭配其他元素，例如：二切線加二切點、二切線加一焦點。（三）二切線、二切點若m為的中點，則由阿基米得三角形性質知/對稱軸，過上一點p作平行之直線，設交拋物線於h，若過h作切線交、於、，則/，/。圖2-4【證明】如圖2-4，因為為阿基米得三角形，設為的中點，

7、則/ /（k為上一點），則：=：。設、，。中過之中線平行、對稱軸以及，則可推出：=：=1：1=a ，又。同理中過之中線平行和：=：=1：1（=），所以（），/，同理/。又已知過中點m分別作、的平行線交於、的點為、，而的連線即是拋物線的切線，且過的中點（阿基米得三角形性質）現在上有一點p，過p分別作、的平行線交於、的點為、 ，而也為拋物線的切線。設過點p作之平行線，交拋物線於h，若h為切於拋物線的切點，則平行，平行。換句話說，只要能證明平行，平行，則拋物線是唯一的。（四）二切線、一焦點f分別對切線、作對稱點，a、b為準線，由拋物線基本定義（一準線、一焦點）可決定唯一拋物線。圖2-5經過了以上的討

8、論，我們不難找出一點頭緒；再以縮短切線的數量為一條的時候，我們很快的想出可能會和一條切線搭配而形成唯一拋物線的元素。（五）一切線、一切點、一焦點焦點f對切線反射的點f'落在準線上，得線段垂直準線，可作出準線。有焦點、準線，則可用包絡或逐點作法皆可。 圖2-6切線在以上的討論都用完了，那難道沒有切線就無法形成唯一的拋物線嗎？哈哈，那可不一定呢！別忘記我們還有另一個元素拋物線上的點可使用。我們現在就來證明看看，究竟除了切線外，拋物線上的點還可以用什麼方法來得出唯一的拋物線。（六）拋物線上五個點 (任三點不共線)若設拋物線為，則可任找五點。然後做任兩點之連線得： ：， ：， ：圖2-7：，再

9、做和相乘：以及和相乘： 最後考慮圓錐曲線族得：，將e點帶入，得證。 一般而言，若設拋物線上五點p、q、r、s、t，則：又 所以可設此拋物線方程式為+令k0，即，最後，將第五點t代入中，可得，又t不在和上，故有唯一解。代入上式，可得唯一的拋物線，得證。拋物線上五個點雖然可以決定唯一的拋物線，但事實上，四個點也有辦法形成唯一的唷！和切線一樣的取法，我們先扣除一個點，看看四個點所決定的拋物線會發生什麼情況！（七）拋物線上四個點拋物線上三個點、一切線、一切點設拋物線上四點p、q、r、s，則：又 所以可設此拋物線方程式為令k0，即，化簡得拋物線方程式為令、。圖形為拋物線，令、，【討論】1. 當<0，t則無解，所以拋物線不存在（不合）。2. 當=0，t有一解，所以拋物線僅有一條。3. 當>0，t有兩解，所以拋物線至多有兩條：若已知其中一點p為切點及一條過點p的切線，則可作出唯一拋物線：已知拋物線方程式及切點p，即可求出其切線方程式；又兩拋物線相異，則兩切線方程式相異，所以只有一拋物線吻合，故可得唯一拋物線。 從上述可知，四個點有可能形成