八年级数学第三章图形的平移与旋转总结

1、第三章 图形的平移与旋转回顾与思考一、平移一、平移 在平面内，将一个图形沿着在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的某个方向移动一定的距离，这样的图形运动图形运动叫做图形的平移。叫做图形的平移。A AB BC CD DE EF FGHKLMN二、旋转二、旋转把一个图形绕一个定点转动把一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的一定的角度，这样的图形运动图形运动叫做旋转，这个叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。OFABCDE三、轴对称三、轴对称 如果如果两两个个平面平面图形沿图形沿一条直线一条直线对对折后折后能够完全能够完全重合，

2、那么重合，那么称称这这两两个图形个图形成成轴对称轴对称。2.轴对称的图形实例轴对称的图形实例CBAB1C1A1NM变换变换名称名称描述变描述变换的要换的要素素位位置置方方向向大大小小形状形状 相关性质及作相关性质及作图方法图方法轴对轴对称称(反射反射)平移平移旋转旋转改改变变不不变变不不变变对称轴对称轴平移方向平移方向,距离距离旋转中心旋转中心,方向方向,角度角度改改变变不不变变改改变变轴对称、平移、旋转的区别及联系轴对称、平移、旋转的区别及联系: :四、中心对称四、中心对称轴轴 对对 称称中中 心心 对对 称称1 1有一条对称轴有一条对称轴 直线直线有一个对称中心有一个对称中心 点点2 2图

3、形沿轴对折（翻转图形沿轴对折（翻转 180 ）图形绕中心旋转图形绕中心旋转 1803 3翻转后和另一个图形重合翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合A AB BC CC C1 1A A1 1B B1 1O O区别区别: : 中心对称指两个全等图形的相互位置关系中心对称指两个全等图形的相互位置关系, ,中心对称图形指一个图形本身成中心对称中心对称图形指一个图形本身成中心对称. .联系联系: : 如果将中心对称图形的两个图形看成一个如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体整体, ,则它们是中心对称图形则它们是中心对称图形. . 如果将中心对称图形对称的部分看成两个如果将

4、中心对称图形对称的部分看成两个图形图形, ,则它们成中心对称则它们成中心对称. .1、设（设（x，y）是原图形上的一点，经过平移）是原图形上的一点，经过平移后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：系：五、五、图形的平移与坐标变化之间的关系2、设（设（x，y）是原图形上的一点，当它沿）是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移轴方向平移a个单位长度（个单位长度（a0）、沿）、沿y轴轴方向平移方向平移b个单位长度（个单位长度（b0）后，这个点）后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：与其对应点的坐标之间有如下关系：画一画（画一画（1）画一画（画一画（2）例例2.

5、 P是正方形内一点，将 ABP绕点B顺时针方向旋转至与CBP重合，若PB=3，求PP的长。ABCDPP解：由旋转的性质可知 BP=BP， PBP=ABC=90 PBP 是等腰直角三 角形。 PP = 2333BPBP2222一题一练一题一练 ABC是等边三角形，把 ABC绕点C顺时针任意旋转一个角度得到 ABC，则AA 与BB 之间有什么关系，你能说明理由吗？ABCA B你能将右图通过平你能将右图通过平移或旋转，得到左移或旋转，得到左图吗？图吗？说一说说一说练习练习1怎样将甲图案变成乙图案？甲甲甲甲乙乙乙乙ABBA可以先将甲图案绕图可以先将甲图案绕图上的上的A A点旋转，使得点旋转，使得图案被

6、图案被“扶直扶直”，然，然后，再沿后，再沿ABAB方向将所方向将所得图案平移到得图案平移到B B点位点位置，即可得到乙图案置，即可得到乙图案 还可以用还可以用什么方法把什么方法把甲图案变成甲图案变成乙图案？乙图案？说一说说一说练习练习2 下图由四部分组成下图由四部分组成, ,每部分都包括两个小每部分都包括两个小”十十”字字, ,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗吗? ?能经过平移吗能经过平移吗? ?能经过轴对称吗能经过轴对称吗? ?还有其他方还有其他方式吗式吗? ?平移平移: :平移的方向平移的方向? ?平移的距离平移的距离? ?仅靠平移仅靠平移无法

7、得到无法得到旋转旋转: :旋转中心旋转中心? ?旋转角旋转角? ?旋转方向旋转方向? ?O 下图由四部分组成下图由四部分组成, ,每部分都包括两个小每部分都包括两个小”十十”字字, ,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗吗? ?能经过平移吗能经过平移吗? ?能经过轴对称吗能经过轴对称吗? ?还有其他方还有其他方式吗式吗? ? 整个图形可以看作是整个图形可以看作是左左边的两个小边的两个小“十字十字”绕着绕着图案的中心图案的中心旋转旋转3次次，分别分别旋转旋转90、180、270前后图形组成的。前后图形组成的。平移、平移、 旋转相结合旋转相结合: :先平先

8、平移移后旋转后旋转 下图由四部分组成下图由四部分组成, ,每部分都包括两个小每部分都包括两个小”十十”字字, ,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗吗? ?能经过平移吗能经过平移吗? ?能经过轴对称吗能经过轴对称吗? ?还有其他方还有其他方式吗式吗? ?O 整个图形可以看作是整个图形可以看作是左左边的两个小边的两个小“十字十字”先通先通过一次平移成图形右侧的过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一部分，然后左、右部分一起绕起绕图形的中心图形的中心旋转旋转90前后图形组成的。前后图形组成的。轴对称轴对称: : 下图由四部分组成下图由四部分组成, ,每

9、部分都包括两个小每部分都包括两个小”十十”字字, ,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗吗? ?能经过平移吗能经过平移吗? ?能经过轴对称吗能经过轴对称吗? ?还有其他方还有其他方式吗式吗? ? 直线直线EF与与GH相交于图形相交于图形的中心的中心O，且互相垂直，先，且互相垂直，先把左边的两个把左边的两个“十字十字”作作关于关于EF的轴对称图形，的轴对称图形，然然后作这两部分后作这两部分关于关于GH的轴的轴对称图形，对称图形，这样就可以得这样就可以得到整个图形。到整个图形。EFGHO对称轴对称轴? ? 如图，怎样将右边的图案变成如图，怎样将右边的图案变

10、成左边的图案？左边的图案？说一说练习说一说练习3答：答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转时针方向旋转90，然后平移，即可得到左边的，然后平移，即可得到左边的图案。图案。练一练练一练平移、旋转、中心对称的运用平移、旋转、中心对称的运用练一练练一练平移、旋转、中心对称的运用平移、旋转、中心对称的运用练一练练一练平移、旋转、中心对称的运用平移、旋转、中心对称的运用练一练练一练平移、旋转、中心对称的运用平移、旋转、中心对称的运用练一练练一练平移、旋转、中心对称的运用平移、旋转、中心对称的运用 轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念，轴对称、平移、旋

11、转是几何中的重要概念，应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算与证明。与证明。方法小结方法小结拓展提升训练：拓展提升训练：巧用变换思想，灵活求解面积巧用变换

12、思想，灵活求解面积1.如图所示的图案是一如图所示的图案是一个轴对称图形个轴对称图形(不考虑颜不考虑颜色色)，直线，直线m是它的一条是它的一条对称轴对称轴.已知图中圆的半已知图中圆的半径为径为r,求你能借助轴对求你能借助轴对称的方法求出图中阴影称的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你部分的面积吗？说说你的做法。的做法。m解：以直线解：以直线m为对称轴，把为对称轴，把m左边绿色部左边绿色部分反射到分反射到m的右边，那么它们的像恰好填的右边，那么它们的像恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是分面积等于半个圆的面积，也就是m212r

13、2、如图所示，、如图所示，AB是长为是长为4的线的线段，且段，且CDAB于于O。你能借助。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。的面积吗？说说你的做法。OABCD试一试试一试3.如图所示，如图所示，AB是长为是长为4的线段，且的线段，且CDAB于于O。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。说说你的做法。OABCD C B D A E4.如图，在如图，在ABC中，中，BAC=1200，以，以BC为边向为边向外作等边三角形外作等边三角形BCD，把，把ABD绕着点绕着点D按顺按顺时针方向旋转

14、时针方向旋转600后得到后得到ECD，若，若AB=3，AC=2，求求BAD的度数与的度数与AD的长的长. 图1图2图35.如图如图3，两个相同的正方形纸片，两个相同的正方形纸片ABCD和和EFGH，将纸片将纸片EFGH的一个顶点的一个顶点E，放在纸片，放在纸片ABCD对对角线的交点角线的交点O处，那么正方形纸片处，那么正方形纸片EFGH绕点绕点O无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面积总等于一个正方形面积的积总等于一个正方形面积的41，你能说明为什么吗？你能说明为什么吗？6.6.如图如图, ,点点P P是边长为是边长为a a的正方形的正方形ABCDAB

15、CD内的一点内的一点, ,连连PAPA、PBPB、PCPC，且，且PBPB = b b （ b a b a） ，将，将PABPAB绕点绕点 B B顺时顺时针旋转针旋转9090到到P PCBCB的位置。的位置。（1 1）求旋转过程中边）求旋转过程中边PAPA所扫过区域（图中阴影部分）所扫过区域（图中阴影部分）的面积。的面积。（2 2）若）若PB=3PB=3，求，求PPPP的长。的长。（3 3）在（）在（2 2）的条件下，若）的条件下，若PA=4PA=4，APB=135 APB=135 ，求，求PCPC的长。的长。（4 4）若）若PAPA2 2+PC+PC2 2=2PB=2PB2 2，请说明点请说

16、明点P P必在对角线必在对角线ACAC上。上。7.如图如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图片（如图2），量得他们的斜边长为），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为，较小锐角为30，再将，再将这两张三角纸片摆成如图这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点的形状，但点B、C、F、D在同一条直线在同一条直线上，且点上，且点C与点与点F重合（在图重合（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示） （图（图1） （图（图2） （图（图3） （图（图4） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决请你帮助解决（1）将图）将图3中的中的ABF沿沿BD向右平移到图向右平移到图4的位置，使点的位置，使点B与点与点F 重合，请你求出平移的距离；重合，请你求出平移的距离；解：（解：（1）图形平移的距离就是线段）图形平移的距离就是线段BC的长，的长，又又在在RtABC中，斜边长为中，斜边长为10cm，BAC300，BC=5cm，平移的距离为平移的距离为5cm。（2）将图）将图3中的中的ABF绕点绕点F顺时针方向旋转顺时针方向旋转30到图到图5的位置，的