高考必备优化方案高考数学浙江专用一轮复习练习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例word版含答案原创

1、第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图，b点的方位角为)3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45°.(3)其他方向角类似1辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量2解三角形应用题的一般

2、步骤1在某次测量中，在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60°，c点的俯角为70°，则bac等于()a10°b50°c120°d130°答案：d2若点a在点c的北偏东30°，点b在点c的南偏东60°，且acbc，则点a在点b的()a北偏东15° b北偏西15°c北偏东10° d北偏西10°解析：选b.如图所示，acb90°，又acbc，所以cba45°，而30°，所以90°45°30°15°.所以点a在点

3、b的北偏西15°.3如图，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45°，cab105°，则a，b两点间的距离为_解析：由正弦定理得ab50(m)答案：50 m考点一测量距离学生用书p72如图，隔河看两目标a与b，但不能到达，在岸边先选取相距千米的c，d两点，同时，测得acb75°，bcd45°，adc30°，adb45°(a，b，c，d在同一平面内)，求两目标a，b之间的距离解在acd中，acd120°，cadadc30°，所以accd km.在bcd中，

4、bcd45°，bdc75°，cbd60°.所以bc.在abc中，由余弦定理，得ab2()22×××cos 75°325，所以ab(km)，所以a，b之间的距离为 km.距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 1如图所示，要测量一水塘两侧a，b两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离

5、，即ab.若测得ca400 m，cb600 m，acb60°，试计算ab的长解：由题可得，在abc中，ab2ac2bc22ac·bccos acb，所以ab2400260022×400×600cos 60°280 000.所以ab200 m.即a，b两点间的距离为200 m.考点二测量高度学生用书p73(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度

6、cd_m.解析由题意，在abc中，bac30°，abc180°75°105°，故acb45°.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbc·tan 30°300×100(m)答案100求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用. 2.(2016·吉安模拟)要测量底部

7、不能到达的电视塔ab的高度，在c点测得塔顶a的仰角是45°，在d点测得塔顶a的仰角是30°，并测得水平面上的bcd120°，cd40 m，则电视塔的高度为_m.解析：如图，设电视塔ab高为x m，则在rtabc中，由acb45°得bcx.在rtabd中，adb30°，则bdx.在bdc中，由余弦定理得，bd2bc2cd22bc·cd·cos 120°，即(x)2x24022·x·40·cos 120°，解得x40，所以电视塔高为40 m.答案：40考点三测量角度学生用书p73

8、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x，bc10x，abc120°.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°，解得x2.故ac28，bc20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇

9、所需要的时间为2小时，角的正弦值为.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 3.如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援，求cos 的值解：如题图所示，在abc中，ab40，ac20，bac120°.由余弦定理知，bc2ab2ac22

10、ab·ac·cos 120°2 800bc20.由正弦定理得，sinacbsinbac.由bac120°，知acb为锐角，则cosacb.由acb30°，得cos cos(acb30°)cosacbcos 30°sinacbsin 30°.,学生用书p74)规范解答正、余弦定理的应用(本题满分12分)(2015·高考浙江卷)在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.已知a，b2a2c2.(1)求tan c的值；(2)若abc的面积为3，求b的值(1)(2)(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2

11、bsin2c，所以cos 2bsin2c.(3分)又由a，即bc，得cos 2bsin 2c2sin ccos c，解得tan c2.(6分)(2)由tan c2，c(0，)，得sin c，cos c.(8分)因为sin bsin(ac)sin，所以sin b.(9分)由正弦定理得c，(10分)又因为a，bcsin a3，所以bc6，(11分)故b3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题(2)计算准确，争取得满分公式运用要准确，这是计算正确的前提算数要准确无误，尤其注意正、负号的选

12、择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程1.两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站南偏西40°，灯塔b在观察站南偏东60°，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10°b北偏西10°c南偏东80° d南偏西80°解析：选d.由条件及题图可知，ab40°，又bcd60°，所以cbd30°，所以dba10°，因此灯塔a在灯塔b南偏西80°.2(2016·郑州模拟)已知a、b两地间的距离为10 km，b、c两地间的距离为20 km，现测得abc120°，则a，c

13、两地间的距离为()a10 km b10 kmc10 km d10 km解析：选d.如图所示，由余弦定理可得：ac21004002×10×20×cos 120°700，所以ac10(km)3(2016·唐山第一次模拟)在直角梯形abcd中，abcd，abc90°，ab2bc2cd，则cosdac()a.b.c. d.解析：选b.由已知条件可得图形，如图所示，设cda，在acd中，cd2ad2ac22ad×ac×cosdac，所以a2(a)2(a)22×a×a×cosdac，所以cosda

14、c.4.如图，两座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分别为20 m、50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角为()a30° b45°c60° d75°解析：选b.依题意可得ad20(m)，ac30(m)，又cd50(m)，所以在acd中，由余弦定理得coscad，又0°<cad<180°，所以cad45°，所以从顶端a看建筑物cd的张角为45°.5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1 km，水的流速为2 km/

15、h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()a8 km/h b6 km/hc2 km/h d10 km/h解析：选b.设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得122××2×1×，解得v6.6(2014·高考四川卷)如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc等于()a240(1)m b180(1)mc120(1)m d30(1)m解析：选c.如图，在a

16、cd中，cad90°30°60°，ad60 m，所以cdad·tan 60°60(m)在abd中，bad90°75°15°，所以bdad·tan 15°60(2)(m)所以bccdbd6060(2)120(1)(m)7一船自西向东航行，上午10时到达灯塔p的南偏西75°，距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船航行的速度为_海里/小时解析：由题意知，在pmn中，pm68海里，mpn75°45°120°，mnp45°.由正

17、弦定理，得，解得mn34海里，故这只船航行的速度为海里/小时海里/小时答案：8.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点a处测得电视塔s在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点b处，测得电视塔s在电动车的北偏东75°方向上，则点b与电视塔的距离是_km.解析：由题意知ab24×6，在abs中，bas30°，ab6，abs180°75°105°，所以asb45°.由正弦定理知，所以bs3.答案：39(2016·嘉兴高三模拟)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 a，发现其北偏东4

18、5°，与观测站a距离20海里的b处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站a东偏北(0°<<45°)的c处，且cos .已知a、c两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为cos ，0°<<45°，所以sin ，cos(45°)××，在abc中，bc28001002×20×10×340，所以bc2，该货船的船速为4海里/小时答案：410(2014·高考课标全国卷)如图，为测量山高mn，选择a和另一座山的山顶c为测量观测

19、点从a点测得m点的仰角man60°，c点的仰角cab45°以及mac75°；从c点测得mca60°.已知山高bc100 m，则山高mn_m.解析：根据题图，ac100 m.在mac中，cma180°75°60°45°.由正弦定理得am100 m.在amn中，sin 60°，所以mn100×150(m)答案：15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为abc、abd，经测量adbd7米，bc5米，ac8米，cd.求a

20、b的长度解：在abc中，由余弦定理得cos c.在abd中，由余弦定理得cos d.由cd得cos ccos d，解得ab7，所以ab的长度为7米12(2016·贵阳监测考试)如图所示，在四边形abcd中，d2b，且ad1，cd3，cos b.(1)求acd的面积；(2)若bc2，求ab的长解：(1)因为d2b，cos b，所以cos dcos 2b2cos2b1.因为d(0，)，所以sin d.因为ad1，cd3，所以acd的面积sad·cd·sin d×1×3×.(2)在acd中，ac2ad2dc22ad·dc·cos d12，所以ac2.因为bc2，所以，所以ab4.1如图，摄影爱好者在某公园a处，发现正前方b处有一立柱，测得立柱顶端o的仰角和立柱底部b的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛s距地面的距离sa按米处理)(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离ab和立柱的高度ob；(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆mn，且mn绕其中点o在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆mn的视角msn(设为)是否存在最大值？若存在，请求出msn取最大值时cos 的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图，作scob于点c，连接ms，ns，依题意cs