线性代数第五版第二章

1、第二章矩阵及其运算 13. 已知线性变换: , 求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: , 故 , . 3. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 2. 设, , 求3ab-2a及atb. 解 , . 1. 计算下列乘积: (1); 解 . (2); 解 =(1´3+2´2+3´1)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a3

2、3x3) . 4. 设, , 问: (1)ab=ba吗? 解 ab¹ba. 因为, , 所以ab¹ba. (2)(a+b)2=a2+2ab+b2吗? 解 (a+b)2¹a2+2ab+b2. 因为, , 但 , 所以(a+b)2¹a2+2ab+b2. (3)(a+b)(a-b)=a2-b2吗? 解 (a+b)(a-b)¹a2-b2. 因为, , , 而 , 故(a+b)(a-b)¹a2-b2. 5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若a2=0, 则a=0; 解 取, 则a2=0, 但a¹0. (2)若a2=a, 则a=0或

3、a=e; 解 取, 则a2=a, 但a¹0且a¹e. (3)若ax=ay, 且a¹0, 则x=y . 解 取 , , , 则ax=ay, 且a¹0, 但x¹y . 6. 设, 求a2, a3, × × ×, ak. 解 , , × × × × × ×, . 7. 设, 求ak . 解 首先观察 , , , , × × × × × ×, . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立

4、，则k+1时， , 由数学归纳法原理知: . 8. 设a, b为n阶矩阵，且a为对称矩阵，证明btab也是对称矩阵. 证明 因为at=a, 所以 (btab)t=bt(bta)t=btatb=btab, 从而btab是对称矩阵. 9. 设a, b都是n阶对称矩阵，证明ab是对称矩阵的充分必要条件是ab=ba. 证明 充分性: 因为at=a, bt=b, 且ab=ba, 所以 (ab)t=(ba)t=atbt=ab, 即ab是对称矩阵. 必要性: 因为at=a, bt=b, 且(ab)t=ab, 所以 ab=(ab)t=btat=ba. 10. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |a|=1

5、, 故a-1存在. 因为 , 故 . (2); 解 . |a|=1¹0, 故a-1存在. 因为 , 所以 . (3); 解 . |a|=2¹0, 故a-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2× × ×an ¹0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 11. 解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 12. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 14. 设ak=o (k为正整数), 证

6、明(e-a)-1=e+a+a2+× × ×+ak-1. 证明 因为ak=o , 所以e-ak=e. 又因为 e-ak=(e-a)(e+a+a2+× × ×+ak-1), 所以 (e-a)(e+a+a2+× × ×+ak-1)=e, 由定理2推论知(e-a)可逆, 且 (e-a)-1=e+a+a2+× × ×+ak-1. 证明 一方面, 有e=(e-a)-1(e-a). 另一方面, 由ak=o, 有 e=(e-a)+(a-a2)+a2-× × ×-

7、ak-1+(ak-1-ak) =(e+a+a2+× × ×+a k-1)(e-a), 故 (e-a)-1(e-a)=(e+a+a2+× × ×+ak-1)(e-a),两端同时右乘(e-a)-1, 就有 (e-a)-1(e-a)=e+a+a2+× × ×+ak-1. 15. 设方阵a满足a2-a-2e=o, 证明a及a+2e都可逆, 并求a-1及(a+2e)-1. 证明 由a2-a-2e=o得 a2-a=2e, 即a(a-e)=2e, 或 , 由定理2推论知a可逆, 且. 由a2-a-2e=o得 a2-a-

8、6e=-4e, 即(a+2e)(a-3e)=-4e, 或 由定理2推论知(a+2e)可逆, 且. 证明 由a2-a-2e=o得a2-a=2e, 两端同时取行列式得 |a2-a|=2, 即 |a|a-e|=2, 故 |a|¹0, 所以a可逆, 而a+2e=a2, |a+2e|=|a2|=|a|2¹0, 故a+2e也可逆.由 a2-a-2e=o Þa(a-e)=2e Þa-1a(a-e)=2a-1eÞ, 又由 a2-a-2e=oÞ(a+2e)a-3(a+2e)=-4e Þ (a+2e)(a-3e)=-4 e, 所以 (a+2e)

9、-1(a+2e)(a-3e)=-4(a+2 e)-1, . 16. 设a为3阶矩阵, , 求|(2a)-1-5a*|. 解 因为, 所以 =|-2a-1|=(-2)3|a-1|=-8|a|-1=-8´2=-16. 17. 设矩阵a可逆, 证明其伴随阵a*也可逆, 且(a*)-1=(a-1)*. 证明 由, 得a*=|a|a-1, 所以当a可逆时, 有 |a*|=|a|n|a-1|=|a|n-1¹0, 从而a*也可逆. 因为a*=|a|a-1, 所以 (a*)-1=|a|-1a. 又, 所以 (a*)-1=|a|-1a=|a|-1|a|(a-1)*=(a-1)*. 18. 设

10、n阶矩阵a的伴随矩阵为a*, 证明: (1)若|a|=0, 则|a*|=0; (2)|a*|=|a|n-1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|a*|¹0, 则有a*(a*)-1=e, 由此得 a=a a*(a*)-1=|a|e(a*)-1=o , 所以a*=o, 这与|a*|¹0矛盾，故当|a|=0时, 有|a*|=0. (2)由于, 则aa*=|a|e, 取行列式得到 |a|a*|=|a|n. 若|a|¹0, 则|a*|=|a|n-1; 若|a|=0, 由(1)知|a*|=0, 此时命题也成立. 因此|a*|=|a|n-1. 19. 设, ab=a+2b, 求

11、b. 解 由ab=a+2e可得(a-2e)b=a, 故 . 20. 设, 且ab+e=a2+b, 求b. 解 由ab+e=a2+b得 (a-e)b=a2-e, 即 (a-e)b=(a-e)(a+e). 因为, 所以(a-e)可逆, 从而 . 21. 设a=diag(1, -2, 1), a*ba=2ba-8e, 求b. 解 由a*ba=2ba-8e得 (a*-2e)ba=-8e, b=-8(a*-2e)-1a-1 =-8a(a*-2e)-1 =-8(aa*-2a)-1 =-8(|a|e-2a)-1 =-8(-2e-2a)-1 =4(e+a)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2dia

12、g(1, -2, 1). 22. 已知矩阵a的伴随阵, 且aba-1=ba-1+3e, 求b. 解 由|a*|=|a|3=8, 得|a|=2. 由aba-1=ba-1+3e得 ab=b+3a, b=3(a-e)-1a=3a(e-a-1)-1a . 23. 设p-1ap=l, 其中, , 求a11. 解 由p-1ap=l, 得a=plp-1, 所以a11= a=pl11p-1. |p|=3, , , 而 , 故 . 24. 设ap=pl, 其中, , 求j(a)=a8(5e-6a+a2). 解 j(l)=l8(5e-6l+l2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,

13、6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(a)=pj(l)p-1 . 25. 设矩阵a、b及a+b都可逆, 证明a-1+b-1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为 a-1(a+b)b-1=b-1+a-1=a-1+b-1, 而a-1(a+b)b-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以a-1(a+b)b-1可逆, 即a-1+b-1可逆. (a-1+b-1)-1=a-1(a+b)b-1-1=b(a+b)-1a. 26. 计算. 解 设, , , , 则 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 验证. 解 , 而 , 故

14、. 28. 设, 求|a8|及a4. 解令, , 则 , 故 , . . 29. 设n阶矩阵a及s阶矩阵b都可逆, 求 (1); 解 设, 则 . 由此得 Þ, 所以 . (2). 解 设, 则 . 由此得 Þ, 所以 . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1); 解 设, , 则 , . 于是 . (2). 解 设, , , 则 . reinforced rate over 1% of reinforced concrete 79 7.3.3 steel engineering (1) steel processing steel of surface should clea

15、n no injury, paint pollution and rust, should in using qian elimination clean, with particles-like or old rust of steel shall not using. steel machining dimension shall conform to the construction drawings, processed steel's size should be within the tolerance value. steel processing (2) steel s

16、teel installation program installed (3) welding of reinforcing steel, lashing straps welded: reinforcement in strict accordance with the relevant guidelines, horizontal even vertical banding, solid. steel bar connection by soldering or lap, two-sided weld seam length 5d; single-sided weld seam lengt

17、h 10d. lap length and not less than 35d. 7.3.4 formwork (1) selection of templates from the project due to the face, large amount of formwork. according to the structural arrangement and construction plan, using the following template types: 1) combined steel formwork is used for floor, wall and oth

18、er parts, trucks delivered to the construction site, assembling manual. 2) arc arc segment of sluice and dam template the template still using steel formwork, produced according to pier arc size specifications. (2) template-1) combined steel formwork using conventional construction methods, part mea

19、suring wire clasp with the press at the site structure templates, and vertical shaft, and temporary reinforcement, transverse band on the formwork, on the screw, and final welding rod, by bus, correcting templates, and template and support reinforcement. 2) template and scaffold the quality of existing national standards or trade standa