全等三角形几种常见辅助线精典题型(1)

1、全等三角形几种常见辅助线精典题型MBE一、截长补短1、已知ABC中,A 60 , BD、CE分别平分ABC 和.ACB , BD、CE 交于点 O ,试为J断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上 的任意一点（点B除外），作DMN 60 ,射线MN与 / DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数 量关系3、如图，AD，AB,CB，AB,DM =CM= a , AD= h , CB= k, /AMD =75 , BMC=45 ,糕B 的长。4、已知：如图，ABCD是正方形，/FAD=ZFAE求证： BE+DF=AE.5、以ABC的AB

2、、AC为边向三角形外作等边 ABD、 ACE , 连结CD、BE相交于点O .求证：OA平分 DOE .6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的 MDN ,点M、N分别在AB、AC上, 求AMN的周长.7、如图所示，在 ABC中，AB AC, D是底边BC上的一点，E是线段 AD上的一点，且 BED 2 CED BAC ,求证 BD 2CD .8、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD, 4ABC+ZAED= 180 ,求证:AD 平分/CDE二、全等与角度1、如图，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分

3、线，且 AC AB BD ,求 ABC的度数.2、如图所示，在 ABC中，AC BC, C 20 ,又M 在 AC上, N 在 BC 上，且满足 BAN 50 , ABM 60 , 求 NMB.3、在正ABC内取一点D ,使DA DB ,在ABC外取一点ABE ,使 DBE DBC，且 BE BA ,求 BED .4、如图所示，在ABC中，BAC BCA 44 , M为ABC内一点，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度数.5、如图：在 ABC 内取一点 M ,使得 MBA 301 , MAB 10；.设 ACB 801 , AC BC , 求 AMC.6、如图，点M为正方形AB

4、CD的边AB上任意一点，MN DM且与/ABC外角的 平分线交于点N, MD与MN有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形 呢？参考答案：一、截长补短1、BE CD BC ,理由是：在BC上截取BF BE ,连结OF ,禾IJ用 SAS证彳导 BEOBFO,12,: A 60 , BOC 90：1 1 A 120、, 二 DOE 1201 , 2/. ADOE 180 , /. AEO ADO 180：l , /. 13 180：l ,: 24 180；，/. 12, 3 4,BC BF CF BE CD .禾IJ用 AAS证彳导 CDO仁CFO, , CD CF ,2、 DM MN .过点

5、M 作 MG / BD 交 AD 于点 G , AG AM,，GD MB 又 /ADM DMA 120：l , /DMA / NMB 120 "ADM /NMB , 而 /DGM / MBN 120,，DGM © MBN , DM MN .3、过点D作BC的垂线，垂足为E.,. zAMD =75 0 , BMC =45 ° . .DMC =60 °DF. DM =CM . CD= DM.AD LAB, DEXBC, CBXAB, /AMD =75 ° zADM = /EDC .ZADM *DE .AD = DE故ABED为正方形，AB = AD

6、=h,选D.4、延长CB至M ,使得BM= DF,连接AM .AB=AD, AD±CD, AB±BM, BM=DF.ZABMADF. zAFD= ZAMB , /DAF= /BAM.AB /CD二 *FD= /BAF= /EAF+ /BAE= /BAE+ /BAM = /EAM“MB= /EAMAE= EM=BE+ BM=BE+DF.5、因为 ABD、则BAE贝U有 ABEACE是等边三角形，所以 AB AD, AE AC,ADC在DC上截取DF进而由AF由AOECAEBAD 60 ,所以 BAE© DAC , AEB ACD , BE DC .BO , 连结 A

7、F , 容易证得 ADF 9 ABO , 得 AFO AOF ；AFO可得 AOF即OA平分DOE .AC*6、如图所示，延长AC到E使CE在 BDM与CDE中，因为BDBM .MBDECD90，所以 BDM ©因为 BDC CDE，故 MD ED120 , MDN 60所以BDMNDC又因为 BDM CDE ,所以 在 MND 与 END 中，DN DNMDNEDN60 .EDN 60 ,CE ,BM60 .DMD所以 MND©END ,则NE MN ,所以AMN的周长为2.7、如图所示,则知 EAGDEFAGE12ABEABGCAE.BED的平分线交 BC于F ,又过

8、A作AH / EF交BE于G ,交BC于H ,1 BEF AGE BAC2AGBBAEBEDBAC注意到AB CA,故有ABG©,从而GE AE .CEA.CAE BAE 可从而 BG AE , AG于是又由BG GE.AH / EF ,有 BHHFGH而CEDFED ,从而即 CD HD1 FD HF2CDFD1 FD2ECEF1 BF2AGEF1 FD2EF ,且 2AH GHEF 18、延长DE至F,使得EF=BC,连接AC.AHEF AHEFHD故 BD 2CD .FDHD:FD ZABC+AED=180, AEF+AED=180ABC= ZAEFAB=AE, BC=EF：Z

9、ABCAEF Ek BC, AC=AFBC+ DE= CD-CD= DE+ EF= DF二 /ADC 二ADF 二 ZADC= ZADF即AD平分/CDE.、全等与角度1、如图所示，延长AB至E使BE BD ,连接ED、EC.由 AC AB BD 知 AE AC ,而BAC 60),则AEC为等边三角形.注意至U EAD CAD , AD AD , AE AC ,故 AED© ACD.从而有DE DC ,DEC故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DEC DCE 20；,ABCBEC BCE 602080【另解】在AC上取点E ,使得AEAB,则由题意可知CE在ABD和

10、贝U ABD©AED 中，ABAE , BAD进而有DEAED ,从而 BD DE ,CE, ECD EDC ,AED注意到ECDEDCABCABDACBABC2 ECD.则：1一ABC23 ABC2EAD , AD180 BAC 120 ,故 ABC 80 .成AE,利用角平分线AD可以构造全等【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然 的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方 法.2、过

11、M作AB的平行线交BC于K,连接KA交MB于P. 连接PN ,易知 APB、 MKP均为正三角形.因为 BAN 50 , AC BC ,所以 ANB 50 , BN AB BP, BPN BNP 80 , 贝U PKN 40 , KPN 180 60 80 40 , 故 PN KN .从而 MPN © MKN .进而有 PMN KMN , NMB - KMP 3023、如图所示，连接 DC.因为AD BD , AC BC , CD CD,贝U ADC© BDC , 故 BCD 30'.而 DBE DBC , BE AB BC , BD BD , 因止匕BDE

12、9; BDC , 故 BED BCD 30 .4、在 ABC 中，由 BAC BCA 44 可得 AB AC ,ABC 92 .如图所示，作BDAC于D点，延长CM交BD于O点，连接 OA,贝（J 有 OAC MCA 30 ,BAO BAC OAC 443014 ,OAM OAC MAC 30 1614 ,所以 BAO MAO.又因为 AOD 90 OAD 903060 COD ,所以 AOM 120而AO AO ,因此 故 OB OM .aob . BOM 120ABO© AMO ,由于 BOM 120贝OMB OBM180 BOM 30 , 2故 BMC 180 OMB 1505、如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E ,则AE BE.而 EAM EAB MAB 30 1020 ,1ACE ACB 40 ,