坐标变换与参数方程教案全

1、学习必备欢迎下载§16.1 坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（ 1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（ 2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用【教学设计】学生曾经学习过平移图形平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看， 平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下

2、平移相同单位要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度坐标轴平移的坐标变换公式， 教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识例 1 是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置， 可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目例 2 是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方【课时安排】1 课时【教学过程】揭示课题2.1 坐标轴的平移与旋转创设情境兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发

3、生与工件相对的进给运动为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系例如，圆心在O1(2,1),半径为 1 的圆的方程为( x2) 2( y1)21 学习必备欢迎下载对应图形如图2-1 所示如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点O1 处，那么，对于新坐标系x1O1 y1 ，该圆的方程就是x 2y21 11图 2-1动脑思考探索新知只改变坐标原点的位置， 而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换， 叫做坐标轴的平移 下面研究坐标轴平移前后， 同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系， 反映这种关系的式子叫做 坐标变换公式 图 2-2如图2-2所示，把原坐标系xOy平移至新坐标系x1

4、O1y1 ， O1 在原坐标系中的坐标为( x0 , y0 ) 设原坐标系xOy两个坐标轴的单位向量分别为i 和j，则新坐标系x1O1 y1 的单位向量也分别为i 和j，设点P 在原坐标系中的坐标为( x, y) ，在新坐标系中的坐标为( x1, y1 ) ，于是有OPxi+y j， O1Px1i+y1 j，OO1x0i +yo j，因为OPOO1O1P ，所以xiyjx0 iy0jx1iy1j ，即xiy j（ x0x1) i( y0y1 ) j （转下节）学习必备欢迎下载§16.1 坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（ 1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（ 2 会利用坐标轴

5、平移化简曲线方程（ 3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用【教学设计】学生曾经学习过平移图形平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看， 平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度坐标轴平移的坐标变换

6、公式， 教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识例 1 是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置， 可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目例 2 是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方【课时安排】1 课时【教学过程】（接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式xx0x1,或x1x x0 ,yy0（ 2.1）y1（ 2.2）y1.y y0 .【想一想 】公式 (2.1)和公式 (2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识

7、典型例题学习必备欢迎下载例 1平移坐标轴，将坐标原点移至O1 （ 2， 1），求下列各点的新坐标：O(0,0) ，A(2,1) ， B( 1,2)，C(2, 4)，D ( 3, 1)，E(0,5) 解由公式 (2.2) ，得x1x2,y1y1.将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O（ 2， 1）， A（ 0， 2），B（ 3， 3），C（ 0， 3）， D（ 5，0）， E（ 2， 6）例 2利用坐标轴的平移化简圆 x2y24 x2 y4 0 的方程，并画出新坐标系和圆 .解将方程的左边配方，得( x2) 2( y1)29 这是以点（ 2， 1）为圆心， 3 为半径的圆平移坐标轴

8、，使得新坐标原点在点O1 （2， 1），由公式（ 2.1 ）得xx12,将上式代入圆的方程，得x2y29 yy11.11这就是新坐标系x1O1y1 中，圆的方程新坐标系和圆的图形如图2-3 所示运用知识强化练习1平移坐标轴，把坐标原点移至O1 （ 1， 3），求下列各点的新坐标：A（ 3， 2）， B（ 5， 4），C（ 6， 2）， D（ 1， 3）， E（ 5， 1）2利用平移坐标轴，化简方程x2y26 x4y20 ，并指出新坐标系原点的坐标继续探索活动探究( 1) 读书部分：教材( 2) 书面作业：教材P40/ 练习 1-2 、P41/ 练习；教材P42/ 习题 1-4学习必备欢迎下载&

9、#167;16.3参数方程（一）【教学目标】知识目标：（ 1）理解曲线的参数方程的概念（ 2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域（ 3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像能力目标：（ 1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法（ 2）提高分析和解决问题的能力【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述例题1 的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程由于学生的工作岗

10、位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在 “为什么选这个量作参变量”上下工夫例1 中，结合图形介绍选为参变量即可例题2 是用“描点法”做出简单的参数方程的图像用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性， 然后再选取一些点来用于描图考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围， 从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨【课时安排】1 课时【教学过程】创设情境兴趣导入如图 2-6 所示，质点M 从点（ 1，0）出发，沿着与x 轴成 60

11、o 角的方向，以10 m/s 的速度运动质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（ 1，0），倾斜角为60o 的直线（ x轴上方的部分） 容易求得其方程为学习必备欢迎下载3xy3（0 x1）M【想一想】为什么要附加条件x1 ？动脑思考探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系为此，我们分别研究运动轨迹上的点 M ( x, y) 的坐标与时间t 的关系，得x1 0tc o s 6 01 ,0 )y 1 0t s i n 6 0(t,x5t1 ,0 )即5(ty3t .时间 t 确定后，点 M (x, y) 的位置也就随之确定 .【想一想 】为什么要附加条件t0 ？由此看

12、到，曲线上动点M (x，y)的坐标 x 和 y，可以分别表示为一个新变量t 的函数 即可以用方程组xx(t ),（ 2.5）yy(t ).来表示质点的运动轨迹我们把方程（ 2.5）叫做曲线的 参数方程 ，变量 t 叫做 参变量 相应地把以前所学过的曲线方程 f(x， y) 0 叫做 普通方程 （转下节）学习必备欢迎下载§16.3参数方程（二）【教学目标】知识目标：（ 1）理解曲线的参数方程的概念（ 2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域（ 3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像能力目标：（ 1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法

13、（ 2）提高分析和解决问题的能力【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述例题1 的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在 “为什么选这个量作参变量”上下工夫例1 中，结合图形介绍选为参变量即可例题2 是用“描点法”做出简单的参数方程的图像用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性， 然后再选取一些点来用于描图考虑到参数

14、方程中，一般都已经确定参变量的取值范围， 从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨【课时安排】1 课时【教学过程】巩固知识典型例题例 1写出圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程xr cos解如图 2-7 所示，设圆上任意点P（ x，y）联结 OP，设角为参变量， 则yr sin为所求的圆的参数方程学习必备欢迎下载图 27与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法 ”首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与 y 的对应值，以每一数对（x，

15、y）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形例 2 作出参数方程xt3 (tR)yt 2的图形解 由于 tR,所以 xR 选取参变量的取值范围内的一些值，列表：t 2.52 1.5 1011.522.5x 15.6383.38 1013.38815.63y6.2542.251012.2546.25以表中的每对（x， y）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8 所示【想一想】如果例 2 中的参变量t 换为 sin，那么，曲线的范围会不会发生变化？继续探索活动探究( 1) 读书部分：教材( 2) 书面作业：教材P48 练习 /1-3 ；教材

16、P49 练习 /1-3 ；教材 P52/ 习题 1-4( 3) 实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数学习必备欢迎下载§ 16.3 参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（ 1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程（ 2）掌握圆心为坐标原点半径为 R 的圆的参数方程了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程能力目标：通过参数方程的学习， 了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法， 提高分析和解决问题的能力【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程【教学设计】

17、参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程这是本章的教学重点和难点 有些参数方程是无法化为普通方程的我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式例题3 的（ 1）和（ 2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变（ 3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x 或 y 的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围生产实际中， 会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题 解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值然后， 再将参变量的取值

18、代入参数方程，从而求出交点的坐标需要注意的是， 将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解 椭圆、渐开线、 摆线是与生产实际相联系的内容在教学中， 要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要【课时安排】课时【教学过程】动脑思考探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法学习必备欢迎下载巩固知识典型例题例 3将下列参数方程化为普通方程1x3cos ,x5t1,（1） xt , ；（ 2）( t 0) y；

19、（ 3）y53ty3t3sin解 （ 1）由 x1 得t1，代入 y3t ，得txy3 x（2）由 x3cos 得x2cos2，9由 y 3sin得y2sin 29将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式sin2cos21 ，得x2y29 【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。（ 3 ） 由 y5 3t 得y55t 1 两边 对 应 相 减 ， 得y3t ，与 方 程 xx 1 ， 即3y3x3由 x5t1知参变量 t0时，有 x1 ，所以y3x3 （ x1）【注意】将参数方程化为普通方程时，要注意参变量的取值范围和相应 x, y

20、 的取值范围，以及图形的范围（转下节）学习必备欢迎下载§ 16.3 参数方程与普通方程互化（二）【教学目标】知识目标：（ 1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程（ 2）掌握圆心为坐标原点半径为 R 的圆的参数方程了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程能力目标：通过参数方程的学习， 了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法， 提高分析和解决问题的能力【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程这是本章的教学重点和难点 有

21、些参数方程是无法化为普通方程的我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式例题3 的（ 1）和（ 2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变（ 3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x 或 y 的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围生产实际中， 会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标需要注意的是， 将参数方程代入普通方程求参变量的值时，

22、必须考虑到各种情况，不要丢解另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解椭圆、渐开线、 摆线是与生产实际相联系的内容在教学中， 要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要【课时安排】1 课时【教学过程】（接上节）运用知识强化练习x1t将参数方程化为普通方程：yt 2学习必备欢迎下载动脑思考探索新知机械加工和数控编程常见的曲线，除了直线和圆外，还有一些曲线，例如圆的渐开线、摆线等齿轮轮廓曲线现将常见曲线的参数方程列表如下：曲线图像参数方程经 过 点M (a, b)xt cosa,倾 斜 角yt sinb.为的直线圆 心 为坐 标

23、 原xr cos ,点 半 径yr sin .为 r 的圆中 心 在原 点 长轴为 2axa cos ,短 轴 为yb sin .2b 的椭圆xr (costt sin t),圆 的 渐r (sin tt cost).y开线摆线（或旋轮线）继续探索活动探究xr (tsin t ),yr (1cost ).( 1) 读书部分：教材( 2) 书面作业：教材P48、P51/ 练习；教材P52/ 习题 1-5( 3) 实践调查：通过自制模型演示，理解圆的渐开线、摆线的概念学习必备欢迎下载§ 16 应用举例（一）【教学目标】知识目标：（ 1）掌握机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标、增量坐标的概念

24、（ 2）会解决实际生产中与本章知识相关的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的概念及相关计算【教学难点】零件轮廓的基点坐标的计算【教学设计】数控加工是建立在工件轮廓点坐标计算的基础上的正确把握数控机床坐标系及根据不同坐标原点建立不同坐标系的方法，准确计算， 才能为数控机床的程序编制和使用维修带来方便机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的教学，目的是使学生了解生产实际中的数学模型， 并且认识到学习坐标系的变换是非常必要的编程坐标系与工件坐标系一致，是数控加工的关键例1 是这类知识

25、的巩固性题目教学中，要结合具体问题，合理应用坐标变换公式【课时安排】1 课时【教学过程】揭示课题2.3 应用举例* 创设情境 兴趣导入在数控机床上的加工工件，是通过刀具相对工件的运动来实现的，刀具的动作由数控系统发出的指令来控制为了定量的描述数控机床上刀具相对工件的运动位置，需要建立机床加工使用的坐标系动脑思考探索新知数控机床有三个坐标系：（ 1）机床坐标系它是机床厂家在机器出厂前设置好的，不可随意更改用来确定工作台或刀架、机床主轴在工作时与机床导轨的相对位置，其坐标系原点叫做“机床原点 ”（ 2）编程坐标系它是在编程时为了计算方便而确定的坐标系用来确定工件轮廓各点之间的相对位置，其坐标原点由

26、用户选定学习必备欢迎下载（3）工件坐标系它是为加工方便而选用的坐标系其坐标原点叫做常情况下，工件坐标原点应与编程坐标原点重合“工件原点 ”，通图 2-9当我们把零件放到机床上时（如图2 9），能否让编程坐标系与工件坐标系一致，是加工的关键否则，数控机床就会自行设定工件坐标系，导致工件报废，甚至出现事故巩固知识典型例题例 1如图 2 10 所示，点 P、P 、 P在机床坐标系中的坐标分别为（20， 35）、（ 50，12360）、（ 70，20）现将点 P1 作为工件原点，求点P2 、 P3 的工件坐标系坐标解 设点 P 作为工件原点的工件坐标系为z O x，点 P、P 的工件坐标系坐标为(zx

27、 )、1111232,2( z3, x3 ) ，则 z020, x035利用公式（ 2.3），得z2502030,x2603525.z3702050,x3203515.即点 P 、P 的工件坐标系坐标分别为（30，25）、（ 50， 15）22【说明】在数控编程中，经常将点P1（ 20，35）的坐标表示为P1: Z20X35.（转下节）学习必备欢迎下载§ 16 应用举例（二）【教学目标】知识目标：（ 1）掌握机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标、增量坐标的概念（ 2）会解决实际生产中与本章知识相关的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的

28、能力【教学重点】机床坐标系、工件坐标系、绝对坐标及增量坐标的概念及相关计算【教学难点】零件轮廓的基点坐标的计算【课时安排】1 课时【教学过程】（接上节）动脑思考探索新知以一个固定的点作为坐标原点而得到的坐标叫做绝对坐标 .如图 2 10 所示， 点 P1、P2、 P3的坐标都是以固定的坐标原点计量，其坐标值分别为：（ 20，35）、（50，60）、（ 70，20）以前一点作为坐标原点所得到的坐标叫做增量坐标 （相对坐标） 它是后一点相对于前一点的坐标图2-11 中点 P1 是以坐标原点为起点来计量的，点P2 是以 P1 为起点计量，点P3是以点 P2 为起点计量的点P1、 P2、 P3 的增量坐标为：（20， 35）、（ 30，25）、（ 20，40）巩固知识典型例题例 2 如图 2 12 所