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文档简介
1、双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)教学目标:知识与技能目标:掌握双曲线与抛物线的参数方程,理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。过程与方法:通过双曲线与抛物线参数方程的推导,进一步掌握求曲线方程的方法。情感态度价值观:数学问题解法的多样性,思维多样性。教学重点:双曲线与抛物线参数方程的应用。教学难点:双曲线与抛物线参数方程的推导。教学过程:一、复习回顾:1、椭圆的参数方程:椭圆 x2y 21( a>b>0)参 数方程xa cos(为参数);a2b 2yb sin椭圆 bx22yxb cos1(a b 0) 的参数方程是为参数)22y(aa sin二、师生互动,新
2、课讲解:1、双曲线的参数方程的推导:1)双曲线 x 2y 21参数方程xa sec(为参数)a 2b 2yb tany2x2=1(a>0,b>0)xa sec双曲线a2-的参数方程为:(为参数)b2yb tan25002000PQ1500B1000500A-4000-3000-2000-1000100020003000M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-35002、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法如果 x 对应的参数形式是sec ,则焦点在x 轴上如果 y 对应的参数形式是sec ,则焦点在y 轴上例 1:如图,设 M为双曲线 x2
3、y21( a>0,b>0 )任意一点, O为原点,过点M作双曲线两渐近线a2b2的平行线,分别与两渐近线交于A, B 两点,探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?变式训练1:化下列参数方程为普通方程,并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法?a1xa (ete t)2(t为参数 ,a>0, b>0)x(t)b (et2t(t为参数 ,a>0,b>0 )ye t)b12y(t)2t小结:参数方程的表示不唯一,如何判断是哪种曲线,必须化为普通方程。4、抛物线的参数方程的推导:1)抛物线方程 y2 2px(p>0)x 2pt 2的参数方程为(t
4、 为参数 ).y 2pt2x2 pt2)抛物线方程x =2py(p>0)的参数方程为y2 pt 2 ( t 为参数)3)抛物线方程y2=-2px (p>0)的参数方程为4)抛物线方程2的参数方程为x = -2py (p>0)x 2 pt 2 ( t 为参数)y2 ptx2 pty2pt 2例 2:如图 O是直角坐标原点, A, B 是抛物线 y2=2px (p>0) 上异于顶点的两动点,且 OA OB, OM AB并于 AB 相交于点 M,求点 M的轨迹方程。变式训练2(探究)在本例中,点A、 B在什么位置时,AOB的面积最小?最小值是多少?课堂练习:、若曲线x2 pt
5、 2为参数)上异于原点的不同两点,M 2所对应的参数分别是t1, t2 ,则弦M1M 21y(tM 12pt所在直线的斜率是()、t2, 、,、 1,D、 1A t1B t1 t2Ct1 t2t1 t22、设 M 为抛物线 y22 x上的动点,给定点M 0 ( 1,0),点 P为线段 M 0M 的中点,求点P的轨迹方程。三、课堂小结,巩固反思:、1、双曲线的参数方程;2、抛物线的参数方程。3. 对同一条曲线选取不同的参数,就得到不同形式的参数方程,对圆锥曲线的参数方程,只要求掌握上述几种4. 在研究圆锥曲线上的动点或未知点的有关问题时,可利用其参数方程设出点的坐标,从而拓广了解决问题的途径,优
6、化了解题思路 .形式 .5. 利用圆锥曲线的参数方程解题时,一般不考虑参数的几何意义,只利用参数方程的外在形式.四、课时必记:1、双曲线的参数方程1)双曲线 x 2y 21参数方程xa sec(为参数)a 2b 2yb tan2)双曲线y2x2xa sec为参数)a2- b2 =1(a>0,b>0) 的参数方程为:(yb tan2、抛物线的参数方程:1)抛物线方程y2 2px(p>0) 的参数方程为x 2pt 2(t为参数 ).y 2pt2x2 pt2)抛物线方程x =2py(p>0)的参数方程为y2 pt 2( t 为参数)3)抛物线方程y2=-2px (p>0
7、)的参数方程为4)抛物线方程x2= -2py (p>0)的参数方程为x 2 pt 2 ( t 为参数)y2 ptx2 pty2pt 2五、分层作业:1双曲线x 2 3tan ,y 6sec (为参数 )的两焦点坐标是 ()A (0, 43), (0, 4 3)B ( 4 3, 0), (4 3, 0)C(0,3), (0, 3)D ( 3, 0), ( 3, 0)解: A cos ,2参数方程x sin 22( 为参数 )的普通方程为 ()y 2sinA y2 x2 1B x2 y2 1C y2 x2 1(|x| 2)D x2 y2 1(|x| 2)解: Cx t2,3点 P(1, 0)
8、到曲线(t 为参数, t R)上的点的最短距离为 ()y 2tA 0B 1C. 2D 2解: Bx2pt,M1、 M2 所对应的参数分别是t1、t2,则弦 M1M24若曲线y2pt2 (t 为参数 )上异于原点的不同两点所在直线的斜率是 ()A t1 t2B t1t2C.1D.1 tt1t2t1 2解: Ax3sec 2,5双曲线的顶点坐标为 _y tan 2解: (3, 0)、 (3, 0)x t2,6圆锥曲线( t 为参数 )的焦点坐标是 _y 2t解: (1,0)B 组:1、(课本 P34 习题 3.2 NO:3 )a证明: 设等轴双曲线的普通方程为x2 y2 a2(a>0),则它
9、的参数方程为x cos , ( 为参数 ),设y atan aM cos , atan 是 双 曲 线上 任 意 一 点 , 则 点 M到 两 渐 近线 y x 及 y x的距离之积是aaa2 atan atan2tan | 2| 2 acos cos cos a12 12·12 1222 (常数 )2、(课本 P34 习题 3.2 NO:4 )证明: 设点 A,B 的坐标分别为 (2pt12,2pt1 ),(2pt22, 2pt2),则点 C 的坐标为 (2pt22, 2pt2)直线 AB的方程为 y2pt112y 2pt112 t (x 2pt1),所以点 D 的坐标为 ( 2pt1t2,0)直线 AC 的方程为 t (x 2pt1),t12t12所以 E 的坐标为 (2pt1t2, 0)因为 DE 的中点为原点 O(0, 0),所以抛物线的顶点O 平分线段 DE .3、(课本 P34 习题 3.2 NO:5 )解析:直线 OA 的方程为 y kx,直线 OB 的方程为 y1x.解方程组y kx,2p,2p;k得点
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