四川省射洪县射洪中学高二数学《2.4.2抛物线的几何性质》教学过程一

1、四川省射洪县射洪中学高二数学抛物线的几何性质教学过程一教学过程 ：一、复习引入：1抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程：相同点： (1) 抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的1 ，即 2pp442不同点： (1) 图形关于 X 轴对称时， X 为一次项， Y 为二次项，方程右端为2 px 、左端为 y 2 ；图形关于 Y 轴对称时， X 为二次项， Y 为一次项， 方程右端为2

2、py ，左端为 x2（2）开口方向在 X 轴（或 Y 轴）正向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1范围因为 p 0，由方程 y 22 px p0 可知，这条抛物线上的点M 的坐标 (x ，y) 满足不等式 x0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无 限延伸2对称性以 y 代 y，方程 y 22 px p0 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它

3、的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程y 22 px p 0 中，当 y=0 时， x=0，因此抛物线 y 22px p0 的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， 用 e 表示由抛物线的定义可知， e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率用心爱心专心-1-yy 22 px0,0x 轴p0O Fxlyy22 px0,0x 轴F Oxp0lx22 pyy 轴p0,00x22 pyy 轴p0,00注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离pxp,0e 122p ,0xp2e 120,ppye 1220,ppye 1

4、22抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线 上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线 的证明（反证法）假设抛物线 y2 2px 存在渐近线 ymx n，A（ x，线上一点，A（0 x，y1 ）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，yA0y）为抛物AO则有 y2 px 和 y1 mxny1ymx n2 pxn2 px mxx当m时，若xy1 y 0，则x用心爱心专心-2-当 m 0 时，

5、 y1yn2 px ，当 x，则y1y这与 ymx n 是抛物线 y2 2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例 1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (2, 2 2)，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为y 22 px ，因为它过点 M (2,22 ) ，所以(22)22 p2 ，即p 2因此，所求的抛物线方程为y 24x 将已知方程变形为 y2 x ，根据 y2 x 计算抛物线在 x0的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就

6、可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出 p 值解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点 ( 即抛物线的顶点 )与原点重合，x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是y 22 px

7、 (p 0) 由已知条件可得点A 的坐标是 (40 ， 30) ，代入方程，得 3022 p 40 ，即45p4y所求的抛物线标准方程为y245x CB2E例 3 过抛物线 y22 px 的焦点 F 任作一条直线m，交这HOF线于 A、B 两点，DA求证：以为直径的圆和这抛物线的准线相切ABx抛物分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图设AB的中点为 E，过 A、E、B 分别向准线 l 引垂线 AD，EH，BC，垂足为 D、H、C，则AF AD， BF BC用心爱心专心-3- 2ABAFBFADBCEH所以 EH是以 AB为直径的圆 E的半径，且 EH l ，因而圆 E 和准

8、线 l 相切四、课堂练习 ：1 过 抛 物 线 y 24x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A x1 , y1 ， B x2 , y2两点，如果x1x26，那么 |AB|=（B ）（A） 10（B）8（ C）6（D） 42已知 M 为抛物线 y 24x上一动点， F 为抛物线的焦点， 定点 P 3 , 1，则|MP| |MF |的最小值为（B ）（A） 3（B）4（C）5（ D）63过抛物线 yax 2a0 的焦点 F 作直线交抛物线于P 、 Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是 p 、 q ，则 11=（C）pq（ A） 2a（B） 1（ C） 4a（D） 42aa4过抛物线

9、y24x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点，则弦 AB 的中点的轨迹方程是_(答案： y 22 x1)5. 定长为3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2x 上移动， 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点 M 的坐标（答案： M5 ,2,M 到 y 轴距离的最小值为5 ）424五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业 ：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（ 1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8（ 2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过 P（4， 2 ）点（ 3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P（ m， 3）到焦点距离为 52过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A、 B 两点，若 A、B 在准线上的射影是A2， B2，则AFB等于223抛物线顶点在原点， 以坐标轴为对称轴， 过焦点且与 y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆 x 2y 21 的右焦点， F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆5在准线所得的弦长5有一抛物