随机事件的概率统计古典

1、2021/3/10授课：xxx1历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出 1.4 概率的定义及计算概率的定义及计算2021/3/10授课：xxx2 对于事件发生的的可能性大小，需要用一对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件我们把刻画事件a发生的可

2、能性大小的数量指发生的可能性大小的数量指标叫做事件标叫做事件a的概率的概率, ,记记作作 p(a).2021/3/10授课：xxx3设在 n 次试验中，事件 a 发生了na次， 频率频率nnfan则称 为事件 a 发生的 频率频率记作 f n(a).一、概率的统计定义（频率与概率）一、概率的统计定义（频率与概率）2021/3/10授课：xxx4频率的性质频率的性质q 1)(0afnq 1)(nfq 事件 a, b互斥，则)()()(bfafbafnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性非负性归一性归一性可加性可加性稳定性稳定性某一定数某一定数pafnn)(limq 2021/3/10授课

3、：xxx5投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nh =2048, f n( h ) = 0.5069 n = 12000, nh =6019, f n( h ) = 0.5016n = 24000, nh =12012, f n( h ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( buffon )投币投币 皮尔森皮尔森( pearson ) 投币投币2021/3/10授课：xxx6 dewey g. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：a: 0.0788 b: 0.0156 c: 0.0268 d: 0.0389e

4、: 0.1268 f: 0.0256 g: 0.0187 h: 0.0573i: 0.0707 j: 0.0010 k: 0.0060 l: 0.0394m: 0.0244 n: 0.0706 o: 0.0776 p: 0.0186q: 0.0009 r: 0.0594 s: 0.0634 t: 0.0987u: 0.0280 v: 0.0102 w: 0.0214 x: 0.0016y: 0.0202 z: 0.00062021/3/10授课：xxx7 近百年世界重大地震1905.04.04 印度克什米尔地区克什米尔地区 8.0 88 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区瓦尔帕莱索港地

5、区 8.4 2 万 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万 时 间 地 点 级别死亡“重大重大”的标准的标准 震级震级 7 级左右级左右 死亡死亡 5000人以上人以上2021/3/10授课：xxx8 时 间 地 点 级别死亡1948.06.28 日本福井地区福井地区 7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊

6、朗塔巴斯镇地区塔巴斯镇地区 7.9 1.5 万 1995.01.17 日本阪神工业区阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市伊兹米特市 7.4 1.7 万2003.12.26 伊朗克尔曼省克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为世界每年发生大地震概率约为1414% %2021/3/10授课：xxx9 世界性大流感每世界性大流感每30-4030-40年发生一次年发生一次 近百年世界重大流感1918年年 西班牙型流感西班牙型流感 h1n1亚型亚型4 4亿人感染亿人感染 500050

7、00万人死亡万人死亡1957年年 亚洲型流感亚洲型流感 h2n2 亚型亚型1968年年 香港型流感香港型流感 h3n2 亚型亚型2020天传遍美国天传遍美国 半年席卷全球半年席卷全球2021/3/10授课：xxx10 概率的概率的统计定义统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 a 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 a 的概率, 记作 p(a).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用2021/3/10授课：xxx11二、概率的古典定义二、概率的古典定义若随机试验若随机试验e具有以下两个特征具有

8、以下两个特征: : (1)(1)有限性：试验所有可能的结果个数有限有限性：试验所有可能的结果个数有限, ,即即基本事件个数有限，分别记为基本事件个数有限，分别记为,321nn,321样本空间为样本空间为在每次实验中发生的可能性是一样的在每次实验中发生的可能性是一样的. .(2)(2)等可能性：各个试验结果等可能性：各个试验结果,321np(1)=p( 2)=p( n).具有以上两个特点的随机试验称为具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为以也称之为古典概型古典概型 2021/3/10授课：xx

9、x12 这种确定概率的方法称为古典方法。这种确定概率的方法称为古典方法。这样就把求概率问题转化为计数。这样就把求概率问题转化为计数。 由由n个样本点组成个样本点组成 , , 事件事件a由由m 个样本点个样本点组成组成 。则定义事件。则定义事件a 的的古典古典概率概率定义定义为：为：定义定义2 2 设试验设试验e是古典概型是古典概型, , 其样本空间其样本空间 nmap)( a包含的样本点数包含的样本点数 中的样本点总数中的样本点总数 排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 。2021/3/10授课：xxx13) 1()2)(1(mnnnnamn!123)2)(1(nn

10、nnann1 1、排列、排列 排列：从排列：从n个不同的元素中按顺序取个不同的元素中按顺序取m个个排成一列排成一列 称为一个排列称为一个排列。所有可所有可nm 0能的排列记为能的排列记为。mna则由乘法原理得则由乘法原理得特别，当特别，当n = m时，称该排列为一个全排列，时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为所有全排列的个数为2021/3/10授课：xxx14例例1 从从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个这六个数字中任取五个组成五位数组成五位数,问共能组成多少个五位数问共能组成多少个五位数?解解从六个不同数中任取五个组成五位数从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任

11、取五个数生成一个排列相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因因此此,所有可能组成五位数共有所有可能组成五位数共有)(7202345656个a2021/3/10授课：xxx15例例2 从从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个这六个数字中任取四个,问能组成多少个四位偶数问能组成多少个四位偶数?解解组成的四位数是偶数组成的四位数是偶数,要求末位为要求末位为0,2或或)(1562412113513个aaaaa 种种,而而0不能作首位不能作首位,所以所组成的偶数个数为所以所组成的偶数个数为35a4,可先选末位数可先选末位数,共共 种种,前三位数的选取方法有前三位数的选取方法有13a2021/

12、3/10授课：xxx162 2、组合、组合,mnc 组合：从组合：从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m m个元素个元素组成一组组成一组 称为一个组合。所有可称为一个组合。所有可),0(nm 能的组合数记为能的组合数记为特别，当特别，当n= m时，时， 而且而且。mnnmncc1nnc!)!(!)1()1(mmnnmmnnncmn 2021/3/10授课：xxx17 例例3 3 从从1010名战士中选出名战士中选出3 3名组成一个突名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？击队，问共有多少种组队方法？解解: : 按组合的定义，组队方法共有按组合的定义，组队方法共有120310c（种）（种）。

13、2021/3/10授课：xxx183、乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法4、加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。2021/3/10授课：xxx19先给出一个记号，它是组合数的推广，规定先给出一个记号，它是组合数的推广，规定 nrnrrrnnnrrn0, 2 , 1!1101rncrnnrn 时，显然，当为自然数。其中2021/3/10授课：xxx20 例例1 1 一批产品由一批产品由9090件正品和件正品和1010件次品组成，从中件次品组成，从中

14、任取一件，问取得正品的概率多大？任取一件，问取得正品的概率多大？ 解解 设设“取得一件产品是正品取得一件产品是正品”这一事这一事件为件为a a，则因为每一件产品都有可能被抽出来，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（总的抽取方法有（90+1090+10）种，而取得正品的）种，而取得正品的取法有取法有9090种，按古典概率的定义，种，按古典概率的定义，109090 所求概率为所求概率为 p(a)= =0.9p(a)= =0.92021/3/10授课：xxx21例例2 2 一批产品由一批产品由9595件正品和件正品和5 5件次品组成，连续从中抽件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后

15、不再放回，问第一次抽得正品且取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？第二次抽得次品的概率多大？ 解解 用用a a表示事件表示事件“第一次取得正品且第二第一次取得正品且第二次取得次品次取得次品”，由于是，由于是无放回地抽取无放回地抽取，应用乘法，应用乘法原理可知总的抽取方法有：原理可知总的抽取方法有：1001009999种，而第一种，而第一次抽正品的方法有次抽正品的方法有9595种，第二次取次品的方法有种，第二次取次品的方法有5 5种，则种，则a a中包含的抽取方法共中包含的抽取方法共95955 5种，所求概种，所求概率为：率为： 3961999100595 a

16、p2021/3/10授课：xxx22例例3 3 从从0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，这六个数中任取，这六个数中任取三个数进行排列，问取得三个数字排成的三三个数进行排列，问取得三个数字排成的三位数且是偶数的概率有多大？位数且是偶数的概率有多大？解解36a 用用a表示表示“组成三位数且是偶数组成三位数且是偶数”，则总的排列方法共有则总的排列方法共有 种，种，而排成的三位中而排成的三位中则所求的概率为则所求的概率为 种，即事件种，即事件a中包含中包含 种，种，14141225ccca 141412ccc 末位为末位为0 0的有的有 种，末位不为种，末位不为0 0的共有的共有25a30

17、1345644245)(3614141225 acccaap2021/3/10授课：xxx23例例4 把把c、c、e、e、i、n、s七个字母分别写七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：个英文单词：c isn c ee问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？2021/3/10授

18、课：xxx24拼成英文单词拼成英文单词science 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：42200079. 012601!74 p解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！ 这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具具体地说，可以体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术的把握怀疑这是魔术.2021/3/10授课：xxx25课本例课本例1111 （女士品茶）（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶

19、是先放牛奶还能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成是先放茶冲制而成. .做了做了10次测试，结果是她都正确次测试，结果是她都正确地辨别出来了地辨别出来了. .问该女士的说法是否可信？问该女士的说法是否可信？ 2021/3/10授课：xxx26 “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的以认为各基本事件或样本点是等可能的.在在实际应用中，往往只能实际应用中，往往只能“近似地近似地”出现等出现等可能，可能，“完全地完全地”等可能是很难见到的。等可能是

20、很难见到的。1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是：2021/3/10授课：xxx272、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件a）的概率是多少？的概率是多少？ 下面的算法是错还是对，下面的算法是错还是对，如果错，错在哪里？如果错，错在哪里？ 4102815)(ap错在同样的错在同样的“4只

21、配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只2021/3/10授课：xxx28例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件a）的概率是多少？的概率是多少？ 正确的答案是：正确的答案是： 410252815)(ap请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.2021/3/10授课：xx

22、x29 我们介绍了古典概型我们介绍了古典概型. 古典概型古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型 .抽球问题抽球问题分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配2021/3/10授课：xxx301、抽球问题、抽球问题 例例5 袋中有袋中有a 只白球，只白球，b 只红球，从袋中按不放回与只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取放回两种方式取m个球个球( ),求其中恰有求其中恰有 k 个个 ( )白球的概率白球的概率.mkak ,bam) 1() 1)()( mbababaanmba解解 （1 1）不放回情形）不放回情形e: :球

23、编号球编号, ,任取一球任取一球, ,记下颜色放在一边记下颜色放在一边, ,重复重复m次次:记事件记事件a为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则)!(!)!(!)!( !kmbbkaakmkmaacnkmbkakma 则mbakmbkakmaaacap )(mkak ,2021/3/10授课：xxx31又解又解 e1 1: : 球编号，一次取球编号，一次取m个球个球, ,记下颜色记下颜色mbacn 11:记事件记事件a为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则kmbkaaccn 不放回地逐次取不放回地逐次取m个球个球, , 与一次任取与一次任取m个个球算得的结果相同球算得的结果相同.

24、.因此因此mbakmbkacccap )(mkak ,称超几何分布2021/3/10授课：xxx32（2）放回情形放回情形e2: 球编号球编号, ,任取一球任取一球, ,记下颜色记下颜色, ,放回去放回去, ,重复重复m次次mban)(2 2:记记b为取出的为取出的m个球中有个球中有k个白球个白球, , 则则mkmkkmbabacbp)()( kmkkmbabbaac ),min(, 2 , 1)1 ()(makppcbpkmkkm 称二项分布二项分布2021/3/10授课：xxx33在实际中，产品的检验、疾病的抽查、在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为农作物的选种等问

25、题均可化为随机抽球随机抽球问题问题。我们选择抽球模型的目的在于。我们选择抽球模型的目的在于使使问题的数学意义更加突出，而不必过多问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。的交代实际背景。2021/3/10授课：xxx34例例6 6 将将 个球随机地放入个球随机地放入 个盒子中去，盒个盒子中去，盒子的容量不限，试求子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；）每个盒子至多有一只球的概率；（2） 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率 nn)(nn n解解 将将 个球放入个球放入 个盒子中去，每种放法是一个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个基本事

26、件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故个盒子中的任一个盒子，故共有共有种不同的方法种不同的方法 nnnnnnnn 2 2、分球入盒问题、分球入盒问题2021/3/10授课：xxx35(2) 个盒子可以有个盒子可以有 种不同的选法。对选定的种不同的选法。对选定的 个个 盒子，每个盒子各有一个球的放法有盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘种。由乘 法原理，共有法原理，共有 种放法，因此所求概率为种放法，因此所求概率为 n nnn!nnnn!() !nnnnnnpnnnn)1() 1(nnnn(1)每个盒子中至多只有一只球每个盒子中至多只有一只球

27、,共有共有 种不同的方法，因此所求的概率为种不同的方法，因此所求的概率为(1)(1)nnnnannnnpnn2021/3/10授课：xxx36例例7 7 某某系二年级有系二年级有n个人，求至少有两个人，求至少有两人生日相同人生日相同( (设为事件设为事件a) )的概率的概率.解解为为n个人的生日均不相同个人的生日均不相同, ,这相当于这相当于a本问题中的人可被视为本问题中的人可被视为“球球”，365365天为天为365365只只“盒子盒子”若若n= = 64 64，每个盒子至多有一个球每个盒子至多有一个球. .nnncap365!)(365 .365!1)(1)(365nnncapap .997. 0)(ap“分球入盒模型分球入盒模型”的应用的应用2021/3/10授课：xxx37许多表面上提法不同的问题实质上属于同一许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：类型： 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/n (nn)被分在被分在 n 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房2021/3/10授课：xxx38 有有