2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题

1、2021年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1. 已知集合M=1,2, N = 2,3,那么McN等于（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量0 = （2,1） , b=（0,2）,那么a + b等于（）A. （2,3）B. （2,1）C.（2,0）D. （2,-1）3. 2021年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办.如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A. 1B.丄C. 1D.丄248164. 圆心为人(2,-3),半径等于5的圆

2、的方程是()A匕一2)2 +(y + 3)2 =5B. (x + 2)2 +(y 3)2 =5c. (x_2)2+(y + 3)2 =25D. (x + 2)2 + (y-3)2=255. 已知向量0=(2,1), b=(l,加)，且方丄b,那么加等于()A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x+y-3 = 0与直线x-y + = 0的交点坐标是()A.(2,2)B. (-2,2)C. (1,3)D. (1,2)7. 已知平而向满足|«| = | = 1 ,且厶与禺夹角为60。，那么茴等于()1A. 41B. 3c. 12D18.函数f（x） = lg（x-l）的左义域为（）A.

3、 RB. (1,-Ko)C. (0,-h)D. (-o,l)9. 已知点A（1,1）, B（2,4）,那么直线AB的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A, B两个专业共600名学生中.采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（）A. 20B. 3011 COS（G-0）等于（）A cos a cos /3 + sina sin 0C. sin a cos 0 + cos a sin 0C. 40D. 50B cos a cos p 一 sin a sin 0D sin a

4、cos 0 cos a sin 012.已知函数于（兀）是左义域为R的奇函数，且/（-1） = -2,那么/（1）的值为（A. 0B.-C. 1D213如图，在直三棱柱ABC-AC.中，丄AC,如果= AC = 1, AA,=29那么直三棱柱ABC AQq的体积为（）A. 2B. 313/r ,14. sin餉值为（6）A. iB.旦23C. 4D. 6D. *15.函数/（X）=X3-X的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 316.要得到函数y = 2sin的图象.只需将函数y = 2sinx的图象（A.向左平移彳个单位B.向右平移彳个单位C.向左平移三个单位D.向右平移上个单位6

5、 617.直线/经过点且与直线2x-y-3 = 0平行，贝0/的方程为（）A. y = 2x + lB. y = -x + l C. y = 一丄x-1 D. y = 2x-l” 2 21&如果函数f（x） = ogax（a>0且dHl）的图象经过点（4,2）,那么Q的值为（）A. -B丄C. 2D. 44 219.已知° = 2叱，b = T，c = 2'1 那么宀b, c*的大小关系为（）A.a >b>cB h>a>cC.c>a>bD ob>a20.函数f（x） =sinxcosx的最小正周期是（）A.71B.-C.

6、D. 2龙4221在厶ABC中，角A, BC所对应的边分别为心b, c,如果A = 30。，3 = 45。,b = 2,那么“等于（）A.BC &D 34 （托22. 已知sina = ,0,-,那么cos（龙一&）等于（）5 2 ；A.B.-c-D1A. -153B一一5c.丄5D. 1523.已知圆C：/ + y2_6x = 0 与直线 1：x - y +1 二：o,那么圆心c到直线/的距离为（）A. 3运B 22c. /ID. 124.已知幕函数f（x） = x它的图象过点（2,8）,那么/（曰的值为（）25. 生态环境部环境规划院研究表明.京津冀区域PM2.5主要来自工

7、业和民用污染，英中冬季民用污染占比超过50%,最主要的源头是散煤燃烧.因此，推进煤改淸洁能源成 为三地协同治理大气污染的重要举措.2021年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村 完成了煤改淸洁能源，全市集中供热淸洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现，无 煤化二为了解"煤改气''后居民在釆暧季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100 户居民进行调査，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示 的频率分布直方图.在这些用户中，用气量在区间300,350）的户数为（）26. 在AABC中，角A, B9 C所对应的边分别为心b, c如果4 = 6

8、0。，b = 3, AABC 的而积S=-y/3,那么"等于（）2AJ?B7CyfnD1727. 设也，"是两条不同的直线，a , 0是两个不同的平面，给出下列四个命题：如果m! la , n c a,那么mH n:如果加丄q, 丄a,那么mH n ；如果a/0,加ua,那么ml Ip:如果a丄0,加ua,那么加丄0.其中正确的命题是（）A.B.C.D.（?）二、解答题28. 某同学解答一道三角函数题：“已知函数f（x） = 2sin（x +（p） 一/（0）= V3.（I）求0的值：（H）求函数于（兀）在区间-字冷上的最大值及相应x的值，_ o 3.该同学解答过程如下：解

9、答：（I）因为/（O） = 2sin = V3,所以sin© =迺.因为一彳 <卩< 彳，2 2 2所以卩=彳.八5兀兀.兀7T 27t z 冗2兀（II）因为< X< ,所以<x + < 令/ = x + ,则 <t < 6 3233323画出函数y = 2sinr在一彳,上的图象，函数/(X)的最大值为/()nm =2.任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念咚土a, rr±a的正弦.余弦.正切的诱导公式2弧度与角度的互化函数y = sinx, y = cosx, y = tanx的图象三角函数的周期性正弦函

10、数、余弦函数在区间0,2龙上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间-py上的性质两角差的余弦公式函数y = Asin(QX+°)的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A, co ,卩对函数y = Asin(ox+°)图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.29. 如图，在三棱锥P-ABC中，尢4丄平而ABC,点D, E, F分别为PC, AB, AC的中点BC（I ）求证：BC/平而DEF：（II）求证：DF 丄 BC.阅读下而给岀的解答过程及思路分析.解答：（I）证明：在A4BC中，因为

11、E, F分别为AB, AC的中点，所以.因为BCU平而DEF, EFu平而DEF,所以BC/平而DEF.（II）证明：因为Q4丄平而ABC, BCu平面ABC,所以.因为D, F分别为PC, AC的中点，所以DF/PA.所以DF丄BC.思路分析：第（I ）问是先证，再证“线而平行”：第（II）问是先证，再证，最后证“线线垂直”.以上证明过程及思路分析中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给岀了 三个选项，其中只有一个正确，请选岀你认为正确的选项，并填写在答题卡的指左位置.空格选项A. EF/BCB. BE/FCC. BC/DEA. PBLEFB.必丄BCC. PC丄 EFA.线线垂直B.线

12、而垂直C.线线平行A.线线垂直B.线而垂直C.线线平行A.线而平行B.线线平行C.线面垂直30. 某同学解答一道解析几何题：“已知直线1： y = 2x + 4与x轴的交点为A,圆O： <+ y2 =r（r>0）经过点 A.(I) 求r的值：(H)若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线1,求AB.-该同学解答过程如下：解答：(I)令>'=0,即2x + 4 = 0,解得x = 2,所以点A的坐标为(2,0). 因为圆O： x2 + y2=r2(r>0)经过点A,所以r = 2.(II) 因为AB丄/.所以直线AB的斜率为_2.所以直线AB的方程为y-0 = -

13、2(x+2),即y = -2兀一4 .代入x2 + y2= 4消去y整理得5x2+16x + 12 = 0,解得片=一2, x2=- .当x2 =-时，y2所以点B的坐标为f 6<"5I)>5指岀上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.31丄壤重金属污染已经成为快速工业化和经济髙速增长地区的一个严重问题，污染丄壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康.A. B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注某中学科技小组对由A,B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米(不考虑物理及化学变化)，已知重金属A的密度大于llg/

14、cm3,小于12g/cm重金属B的密度为8.65g/cm3试计算此混合物中重金属A的克数的范用.参考答案1. c【解析】【分析】根据交集运算直接写岀结果.【详解】 因为M=1,2 N = 2,3,所以Mp|N =,故选：C.【点睛】本题考査集合的交集运算，难度较易.2. D【分析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果.【详解】 因为方=（2,1）, /； =（0,2）,所以方+方=（2+0,1+（-2） =（2,-1）,故选：D.【点睛】本题考査向量加法的坐标表示，难度较易.3. B【分析】根据随机事件的概率讣算完成求解.【详解】可能岀现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则P4故选：B.【

15、点睹】本题考査利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易古典概型的概率il算公式:（目标事件的数量）-（基本事件的总数）4. C【分析】对比圆的标准方程：(x-«)2+(y-b)2=r2进行判断即可.【详解】因为圆心(d,D)即为(2-3),半径心5,所以圆的标准方程为：(x 2+(y + 3)2=25, 故选C.【点睛】本题考査根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5. C【分析】根据向量垂直对应的坐标关系计算岀川的值.【详解】因为厶丄所以(一2)xl + lx7 = O,所以加=2,故选：C.【点睛】本题考査向量垂直对应的坐标表示，难度较易已知坷，/；=心丿2，若方丄Z；

16、，则有：xx2 + yxy2 =0.6. D【分析】联立二元一次方程组求解交点坐标.【详解】据题意有：$“,解得：ly=T故选：D.【点睛】本题考査利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易直线的方程可认为是二元一次方程， 两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7. C【分析】根据数量积公式完成讣算.【详解】 因为a b= a - b cos& = 1 x 1 x = 一，2 2故选：C.【点睛】本题考査向量数量积的计算，难度较易.8. B【分析】根据真数大于零计算岀的x范用即为定义域.【详解】因为x-l>0,所以x>l,即定义域为（1，+对，故选B.【点睛】本

17、题考査对数型函数的左义域，难度较易对数型函数计算左义域，注意对应的真数大于零.9. A【分析】根据斜率的讣算公式直接汁算出斜率.【详解】4-1因为A（-1,1）, 3（2,4）,所以% = 2二匚）=1,故选A.【点睛】本题考査根据两点坐标讣算出两点构成的直线的斜率，难度较易已知4（舛），B（X22）,10C【分析】先计算出抽样比，然后根据（A专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数.【详解】据题意可知：抽样比为孚=1,则A专业抽取人数为200x1 = 40人， 60055故选：C.【点睹】本题考査分层抽样的应用，难度较易若要il算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量

18、乘以抽样比得到该层应抽取的数昼11. A【分析】根据两角差的余弦公式直接得到结果.【详解】因为 cos(a-0) = cosacos0+sinasin0,故选A.【点睛】本题考査两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12. D【分析】根据奇函数找到/与/(-I)的关系即可计算出才的值.【详解】因为/(工)是左义域为R的奇函数，所以/(-1) = -/(1) = -2,所以/(1) = 2,故选：D.【点睹】本题考査根据奇函数的特性求值，难度较易若/'(x)是泄义域内的奇函数，则有：13. B【分析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体枳.【详解】因为初丄AC.所以：磁=一=-：3所以匕心辆G

19、 = S册XA4, =-x2 = 3,故选：B.【点睹】本题考査棱柱的体积讣算公式，难度较易棱柱体积计算公式：V = S-h，英中S是棱柱的底面积，/?是棱柱的高.14. A【分析】先将一兰变形为a + 2kke乙然后根据诱导公式一计算结果.6【详解】因为- = + 2 ,所以sin= sin + 2 = sin =-,666 k 6)62故选A.【点睛】本题考査诱导公式的运用，难度较易注意诱导公式一：sin(a + 2眩) = sina("Z),cos(a+2k7r) = cosa(k eZ).15. D【分析】将/(x)因式分解后即可判断零点的个数.【详解】因为f(x) = xi

20、x = x(x+l)(xl),所以令f(x) = 0则有：x = l或0或I，即零点有3个，故选：D.【点睹】本题考査函数的零点个数，难度较易对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确左零点个数.16. A【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确左结果.【详解】根据相位变换的左加右减有:y = 2sinx向左移动彳个单位得到y = 2sinx7T故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易相位变换时注意一个原则：左加右 减.17. D【分析】根据平行关系设岀直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程.【详解】 设/方程

21、为：2xy + C = 0(CH3),代入A(l,l)有：2 1 + C = O,所以C =l,所以/方程为：2xy l = 0,即y = 2x-t故选D.【点睛】本题考査根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易已知直线方程为：Ax + By + C严0,与其平行的直线方程可设为：Ax+By + C2=O（CC2）.18. C【分析】将点代入函数解析式中il算出a的值即可.【详解】因为/（-r） = log<fx图象经过点（4,2）,所以logn4 = 2,所以/=4且。>0且解 得：a = 2,故选：C.【点睛】本题考査根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易通过函数图

22、象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值.19. B【分析】根据指数函数单调性比较大小.【详解】因为y = 2x在/?上是增函数，又一1 <03<3,所以2"1 < 203 < 23 所以b>a>c, 故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幕的大小，难度较易对于指数函数fx) = ax(d>o且dHl)：若6/>1,则f(x) = ax是R上增函数；若Ovavl,则f(x) = ax是R上减函数.20. C【分析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期汁算公式计算最小正周期.【详解】因为 / (x

23、) = sin x cos x = sin 2x2龙=712故选C.【点睛】本题考査二倍角公式.周期公式的应用，难度较易常见的二倍角公式有:sin 2x = 2 sin x cos x. cos 2x = cos2 x-sinx2 =2 cos2 x-1 = I-2sin2x.21. A【分析】根据正弦立理得到边角对应关系，然后计算d的值.【详解】由正弦立理可知:a _ basin A sinB sin 30° sin 45°解得：a = >/2 >故选A.【点睛】本题考査利用正弦立理解三角形，难度较易正弦左理对应的等式:= 2/? （R是三角形外接圆的半径）

24、sin A sin B sine22. B【分析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果.【详解】所以 cos a = Jl-sin，a =-,因为 cos（/r-a） = -cosa；又因为sin2 c?+ cos2 a = 1 且 Q e 0,所以cos（龙一 a） = -故选B.【点睛】本题考査根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易利用平方和为1去计算相应三角函数值 时，注意根据角度的范用去判断相应的三角形函数值的正负号.23. B【分析】先确左圆心，根拯点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：(兀一3+才=9,所以圆心C为(3,0),所

25、以圆心C到/的距离为：故选：B.【点睛】本题考查圆心的确立以及点到直线的距离公式，难度较易圆的标准方程为：(x-6/)" +(y-/?)" = r (r > 0) »中圆心为(d,b),半径为厂.24. A【分析】先通过函数图象过点（2,8）,计算出"的值，然后再计算/ -的值.【详解】因为几刃"过点（2,8）,所以2“ =8,所以"=3,所以f（x） = x 则/匕=2肓'故选A.【点睛】本题考査幕函数的解析式求解以及根据幕函数解析式求值，难度较易.25D【分析】 讣算岀300,350）的频率，用抽取的总数量乘以对应的

26、频率即可得到对应段的户数.【详解】根据频率分布直方图可知：300,350）的频率为0.005x50 = 0.25,所以用气量在 300,350）的户数为：0.25x100 = 25户,故选D.【点睛】本题考査根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易，观察频率分布直方图时，注意纵轴 并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的而积即为该段的频率.26. A【分析】先根据而积公式汁算出C的值，然后利用A = 60°以及余弦立理求解d的值.【详解】因为"如si"耳亠所以c = 2：又因为皿1,所以卜皆，所以" 故选A.【点睛】本题考査三角形而

27、积公式的应用以及利用余弦立理解三角形，难度较易解三角形时常用的 而积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27. B【分析】通过判立立理、性质述理、左义、举例的方式逐项分析.【详解】6如图所示长方体，£C|平而ABCD、BDu平而ABCD,但是AG不平行BD,故错 误： 根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确： 根据两个平而平行时，其中一个平而内的任意直线平行于另一个平面，可知正确;Df如图所示长方体，平而ABCD丄平面BCC、B且平而BCC片 但此时显然不垂直于平而ABCD,故错误：综上：正确.故选B.【点睛】本题考査符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假

28、判断，难度一般处理 符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判立、性质泄理直接判断：根拯定义 判断：根据示意图、举例判断.28. 任意角的槪念，弧度制的概念，任意角的正弦的左义，函数y = sinx的图象，三角函 数的周期性，正弦函数在区间0,2刃上的性质，参数A,血，0对函数y = Asin(cox+0) 图象变化的影响.【分析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识.【详解】兀7T首先-一V0V,这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念:22由sin(p = -和0的范用解出卩这里涉及的是任意角的正弦的左义：解题时所画的 2 $图象涉及的是函数y = sinX的图

29、象：作出图象后可根据周期性以及单调性i|算出最大值， 这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间0,2兀上的性质；用换元法构造正弦函 数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A, Q, 0对函数y = Asin(cox+e) 图象变化的影响.【点睛】本题考査三角函数章节内容的综合应用，难度一般由解答的过程分析其中涉及的知识点， 这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都 很熟悉.29. ®A：B： C： ®A：B.【分析】：由中位线分析；线面垂直的性质分析：由线线推导线而：由线而垂直推导线线垂 直：由线线平行推导线线垂直.【详解】因为EF是中位线，所以M/3C,故选A：PA丄平而ABC,