高中立体几何证明方法及例题教育试题

1、（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：   1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：0°90° （2）直线与平面所成的角：0°90° （3）二面角：二面角的平面角，0°180° 2.

2、三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角； （4）计算大小。【典型例题】（一）与角有关的问题 例1. （1）如图，e、f分别为三棱锥pabc的棱ap、bc的中点，pc10，ab6，ef7，则异面直线ab与pc所成的角为（ ）a. 60°b. 45°c. 30°d. 120°解：取ac中点g，连结eg、fg，则egf为ab与pc所成的角在egf中，由余弦定理，ab与pc所成的角为180°120°60°选a （2）已知正四棱锥以棱长为1的正方

3、体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）解：选a 点p到平面qef的距离为定值；直线pq与平面pef所成的角为定值；二面角pefq的大小为定值；三棱锥pqef的体积为定值其中正确命题的序号是_。解：对，错值，对综上，正确。  例2. 图是一个正方体的表面展开图，mn和pq是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将mn，pq画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求mn和pq所成角的大小；（2）求四面体mnpq的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角mnqp的大小。解：（1）如图，作出mn、pqpqnc，又mnc为正三角

4、形mnc60°pq与mn成角为60° 即四面体mnpq的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结ma交pq于o点，则mopq又np面paqm，npmo，则mo面pnq过o作oenq，连结me，则menqmeo为二面角mnqp的平面角在rtnmq中，me·nqmn·mq设正方体的棱长为ameo60°即二面角mnqp的大小为60°。  例3. 如图，已知四棱锥pabcd，pbad，侧面pad为边长等于2的正三角形，底面abcd为菱形，侧面pad与底面abcd所成的二面角为120°。（1）求点p到平面abcd的距离；（2

5、）求面apb与面cpb所成二面角的大小。解：（1）作po平面abcd，垂足为o，连结ob、oa、od，ob与ad交于点e，连结peadpb，adob（根据_）papd，oaod于是ob平分ad，点e为ad中点peadpeb为面pad与面abcd所成二面角的平面角peb120°，peo60°即为p点到面abcd的距离。（2）由已知abcd为菱形，及pad为边长为2的正三角形paab2，又易证pbbc故取pb中点g，pc中点f则agpb，gfbc又bcpb，gfpbagf为面apb与面cpb所成的平面角gfbcad，agfgae连结ge，易证ae平面pob（2）解法2：如图建立

6、直角坐标系，其中o为坐标原点，x轴平行于da （二）与距离有关的问题 例4. （1）已知在abc中，ab9，ac15，bac120°，它所在平面外一点p到abc三个顶点的距离都是14，那么点p到平面abc的距离是（ ）a. 13b. 11c. 9d. 7 解：设点p在abc所在平面上的射影为opapbpc，o为abc的外心abc中，ab9，ac15，bac120° 长度为_。解：（采用展开图的方法）点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。 

7、（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为r，则甲、乙两地的球面距离是（ ）解：（o1为小圆圆心）aob为正三角形（o为球心）选d  例5. 如图，四棱锥pabcd，底面abcd是矩形，pa平面abcd，e、f分别是ab、pd中点。（1）求证：af平面pec；距离。解：g为pc中点，连结fg、eg又f为pd中点四边形aegf为平行四边形af平面pec（2）cdad，又pa面abcdad为pd在面abcd上射影cdpdpda为二面角pcdb的平面角，且pda45°则pad为等腰直角三角形afpd，

8、又cd平面padcdafaf面pcd作fhpc于h，则affh又egaf，egfhfh面pec，fh为f到面pec的距离在rtpeg中，fh·pgpf·fg方法2：（体积法）af面pec，故只要求点a到面pec的距离d易证af面pcd，eg面pcdegpc  （三）对命题条件的探索 例6. （1）如图已知矩形abcd中，ab3，bca，若pa平面abcd，在bc边上取点e，使pede，则满足条件e点有两个时，a的取值范围是（ ）解：pa面abcd，pede由三垂线定理的逆定理知pe的射影aebe所以满足条件的点e是以ad为直径的圆与bc的交点，要有两个交点，则ad

9、2ab6选a （2）如图，在三棱柱abca'b'c'中，点e、f、h、k分别为ac'、cb'、a'b、b'c'的中点，g为abc的重心，从k、h、g、b'中取一点作为p，使得该棱柱恰有2条棱与平面pef平行，则p为（ ）a. kb. hc. gd. b分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面pef中，ef为定直线，连bc'则f为bc'中点考虑到若p为k点，则还有aa'、bb'、cc'都平行于fk即它们也都平行于平面pef，不合题意。同理p也不能为h点，若p为b

10、'点时，ef与b'a'共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面pef），可见只能取g点。故选c  例7. 置；若不存在，说明理由。置；解：（1）（用反证法）不存在点p满足题目条件（2）过b作bhap于h，连ch即bhc是二面角capb的平面角bah30°下面求q点的位置。 （四）对命题结论的探索 例8. 并且总保持apbd1，则动点p的轨迹是（ ）分析：从条件apbd1出发，可知ap必在过a点且与bd1垂直的平面b1ac上点p必在b1c上选a （2）如图，斜三棱柱abca1b1c1中，bac90°，bc1ac，则c1在

11、底面abc上的射影h必在（ ）a. 直线ab上b. 直线bc上c. 直线ca上d. abc内部解：连结ac1acab，又acbc1ac面abc1则c在面abc上的射影必在交线ab上选a  例9. 在四面体abcd中，abbc，abbd，bccd，且abbc1。（1）求证：平面cbd平面abd；（2）是否存在这样的四面体，使二面角cadb的平面角为30°？如果存在，求出cd的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角cadb的平面角为。解：（1）abbc，abbd面abd面cbd（2）设cdx，在面cbd内作cebd于e由（1）知平面abd面bcd，且bd为

12、交线ce平面abd作efad于f，连结cf，则cfadcfe为“二面角”cadb的平面角，且cfe30°又在rtbcd中，ce·bdcb·cd又cdbc，又bc为ac在面bcd上射影cdac则在rtacd中，cf·adac·cd故不存在这样的四面体，使二面角cadb的平面角为30°故可以取45°90°之间的任意角。点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。 【模拟试题】一. 选择题。 1. pa、pb、pc是从p引出的三条射线，两两成60°，则pc与平面pa

13、b所成角的余弦值是（ ）a. b. c. d. 2. 在边长为1的菱形abcd中，abc60°，将菱形沿对角线ac折起，使折起后bd1，则二面角bacd的余弦值为（ ）a. b. c. d. 3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）a. b. c. 7d. 4. 已知a、b、c是球面上的三点，且ab6，bc8，ac10，球 心o到平面abc的距离为，则球的表面积为（ ）a. b. c. d. 5. abc边上的高线为ad，且，将abc沿ad折成大小为的二面角badc，若，则三棱锥abcd的侧面abc是（ ）a. 锐

14、角三角形b. 钝角三角形c. 直角三角形d. 形状与a，b的值有关的三角形 6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7 二. 填空题。 7. 如图，在三棱锥pabc中，且，则pa与底面abc所成角的大小为_。 8. 如图，矩形abcd中，沿ac把dac折起，当四面体的体积最大时，直线ad与平面abg所成角的正弦值是_。 9. 如图，正方体棱长为1，m、n分别为中点，则点

15、c到截面mndb的距离是_。 三. 解答题。 10. 如图，正三角形abc的边长为3，过其中心g作bc边的平行线，分别交ab、ac于，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段bc的中点m，求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小。（用反三角函数表示） 11. 如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，af1，m是线段ef的中点。（1）求证：am平面bde；（2）求二面角adfb的大小；（3）试在线段ac上确定一点p，使得pf与bc所成的角是60°。 11. 解：（1）记ac与bd交于点o，连结oeo、m分别是ac、ef的中点，ace

16、f是矩形四边形aoem是平行四边形amoe，平面bde，平面bedam平面bde（2）abaf，abad，ab平面adf，作asdf于s，连bs由三垂线定理，得bsdfbsa是二面角adfb的平面角在rtasb中，二面角adfb的大小为60°（3）设，作pqab于q，则pqadpqab，pqaf，pq面abfpqqf在rtpqf中，fpq60°，pf2pqpaq为等腰直角三角形又paf为直角三角形或（舍）即点p是ac的中点【试题答案】一. 选择题。 1. c2. a3. c4. c5. c 6. c提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个

17、正方形，其边长为2。（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列。表面积n的最小值为6二. 填空题。 7. 提示：由题意，p点在面abc上的射影h是abc外心，h为bc中点） 8. 9. 提示：，即三. 解答题。 10. （1）连结am，abc为正三角形，m为bc边中点a、g、m三点共线，ambc即是二面角的平面角点在平面上的射影为m在中，由得即二面角的大小是60°（2）过作交bc于p，则为异面直线与所成的角由是平行四边形得：于m在中，在中，在中，由余弦定理异面直线与所成的角为 11. 解：（1）记ac与bd交于点o，连结oeo、m

18、分别是ac、ef的中点，acef是矩形四边形aoem是平行四边形amoe，平面bde，平面bedam平面bde（2）abaf，abad，ab平面adf，作asdf于s，连bs由三垂线定理，得bsdfbsa是二面角adfb的平面角在rtasb中，二面角adfb的大小为60°（3）设，作pqab于q，则pqadpqab，pqaf，pq面abfpqqf在rtpqf中，fpq60°，pf2pqpaq为等腰直角三角形又paf为直角三角形或（舍）即点p是ac的中点 【励志故事】机会的意义一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。 这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃了他