电力系统第四章

1、o节点导纳矩阵o网络方程的解法o节点阻抗矩阵2021-10-31数学模型：对电力系统运行状态的数学描述 将物理现象的分析-某种形式的数学问题 电力网络模型、发电机模型、负荷模型 网络元件（线路/变压器）：恒定参数的等值电路 发电机：给定电势源的恒参数支路 负荷：恒定阻抗、异步电动机 电力系统稳态：一组代数方程组代数方程组描述 建立、求解2021-10-312021-10-313哪些是已知量？需要知道哪些量?如何求解？电路电路线性代数线性代数支路电流法网孔电流法回路电流法节点电压法基尔霍夫定律（KCL，KVL）2021-10-31节点方程 母线电压为待求量 基尔霍夫电流定律列写方程 母线电压可唯

2、一地确定网络的运行状态 根据母线电压，可计算母线功率/支路功率和电流o2021-10-31网络参数节点注入电流母线电压母线功率支路功率支路电流o2021-10-31 G G1243 y24I1I44y1212y203y23y34y10y40y40+ _y24+_4y10。y1212y203y23y344E1E12112110IVVyVyo2021-10-314240343424244334232342243223220121200IVyVVyVVyVVyVVyVVyVVyVyVVyy24I1I44y1212y203y23y34y10y404444343242434333232424323222

3、121121211100IVYVYVYVYVYVYVYVYVYVYIVYVY344334244224233223122112342440443423331224232022121011,yYYyYYyYYyYYyyyYyyYyyyyYyyYo2021-10-31nnnnnnnnnnIVYVYVYIVYVYVYIVYVYVY221122222121112121113213213332312222111211IIIVVVYYYYYYYYYnnI4y244y1212y203y23y34y10I1y40.o2021-10-31IYV n 可由网络接线图和支路参数直接求得n 接于节点i、j间的支路互导纳

4、为负值n 计算简单，稀疏矩阵(直接直接并联的支路平均不超过34个)o2021-10-31o2021-10-31kjnjVVjk, 2 , 10, 0niIVYikik, 2 , 1kjVkiikjVIY,03213332312222111211001IIIYYYYYYYYYnn定义：从节点i i 注入网络的电流 / / 施加于节点i的电压条件：除 i i以外所有节点都接地Yii = yi0 + yij如果 i 、 k之间无支路直接连接： Yik =0ijViiiijVIY, 0节点自导纳o2021-10-31以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)o2021-10-

5、31节点2以外电压为0Y22=y12+y23+y24+y20y2404y1223y23y34y10V2y4000y20y24I4I14y1212y203y23y34y10y40 定义定义：从节点i 注入网络(其他节点)的电流 / / 施加于节点k的电压 除k以外所有节点都接地Yik = Yki = yiji 、 k之间无支路直接连接： Yik =0kjVkiikjVIY, 0节点互导纳o2021-10-31以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)o2021-10-31节点2以外电压为0电流由1到21222121212yVIVIYy24I4I14y1212y203y2

6、3y34y10y40400y24y1223y34y10V2y40y2301+-y20)0(1VqZVIVIYZZPPPP)0(112PZZqqqqVZkkVIkVIYo2021-10-31)0(1PZZqpqppqVkZkVIVIYYpqzqIPVqVpI导纳矩阵：取决于网络参数 网络接线改变节点导纳矩阵改变网络接线改变后的导纳矩阵 完全重新计算 在原有基础上修改 只需少量计算两种情况 从一个节点引出一条新的支路，并增加一个节点 两个节点之间新增一条支路 在两个节点之间切除一条支路o2021-10-31节点数+1支路数+1导纳矩阵增加一行一列 对角线元素：Ykk=ykk 非对角线元素： Yik

7、=Yki=-yik 其余非对角线元素为零原有部分仅修改节点i自导纳o2021-10-31ikyikikiiyY 不增加节点导纳矩阵阶次不变只需修改与节点i、j有关的部分元素o2021-10-31ijyijijjiijijjjiiyYYyYY,相当于在之间增加导纳为-yij的支路 不增加节点 导纳矩阵阶次不变 只需修改与节点i、j有关的部分元素o2021-10-31ijyijijjiijijjjiiyYYyYY,o2021-10-31pqIrsIpqZZrs zmpqrsrspqrsmmpqsrqpIIZZZZVVVV（410）或写成o2021-10-31srqPrsmmpqrspqVVVVyy

8、yyII222,mpqrsmmmpqrspqrsmpqrsrspqzzzzyzzzzyzzzzy2021-10-3123节点导纳矩阵、实际系统、等值电路的对应关系？包含哪些信息？高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络2021-10-3125怎样求解三元一次方程组？已知网络参数和节点注入电流，求节点电压 线性方程高斯消去法IYV nnnnnnnnIIIVVVYYYYYYYYY2121212222111211逐步消元把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组用回代法解此三角形方程组方程（I）乘（-3/2）后加到方程（II）上去方程（I）乘（-4

9、/2）后加到方程（III）上去可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组 III)(323034)(5253)(6432321321321xxxxxxxxxIII)(20223)(445 . 0)(64323232321xxxxxxx(III)+(II)*6III)(42)(445 . 0)(6432332321xxxxxx消去x3 = 2x2 = 8x1 = -13 III)(42)(445 . 0)(6432332321xxxxxx回代高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络消元回代nnnnnnnnIIIVVVYYYYYYYYY2

10、121212222111211nnnnnnnnnnIVYVYVYIVYVYVYIVYVYVY22112222212111212111第一次消元1111)1 (1111)1 (,IYYIIYYYYYiiijiijij)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(2211212111nnnnnnnnnIVYVYIVYVYIVYVYVY)1()1(2)1(2)1(2211211)1(nnnnnYYYYYYYY第2次消元)2()2(4)2(3)2(4)2(44)2(43)2(3)2(34)2(33)1(2)1(24)1(23)1(22114131211)2(nnnnnnnnYYYYYYYYYYYYYY

11、YYYYY)1(2)1(22)1(2)1()2()1(22)1(2)1(2)1()2(,IYYIIYYYYYiiijiijij第k次消元)()(1,)(, 1)(1, 1)1(2)1(2)1(221121211)(knnkknknkkkkninkYYYYYYYYYYYY)1()1()1()1()()1()1()1()1()(,kkkkkkikkikikkkkkjkikkijkijIYYIIYYYYY第n次消元), 1,;, 2 , 1(11)1()1()1()1(niijniYYYYYikkkkkkjkikijiij)1()1()1()1(2)1(2)1(221121211)(nnniinii

12、ininkYYYYYYYYYYY高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络2021-10-3137高斯消去法和高斯消去法和实际系统什么实际系统什么关系？关系？第一次消元 网络降一阶-(n-1) 消去节点1nnnnnnnnnnIVYVYVYIVYVYVYIVYVYVY22112222212111212111)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(2211212111nnnnnnnnnIVYVYIVYVYIVYVYVY第2次消元 网络再降一阶-(n-2) 再消去节点2)2()2(2)2(3)2(3)2(22)2(33)1(2)1(23)1(23

13、2)1(2211313212111nnnnnnnnnnnIVYVYIVYVYIVYVYVYIVYVYVYVY)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(2211212111nnnnnnnnnIVYVYIVYVYIVYVYVY第n-1次消元 网络再降一阶 消去节点n-1 只剩 一条支路 一个节点（不包括地）)1()1()2(3)2(22)2(33)1(2)1(23)1(232)1(2211313212111nnnnnnnnnnnnIVYIVYVYIVYVYVYIVYVYVYVY依次消去一个节点，直到只剩一个节点。 修改导纳矩阵，修改电流源注入电流计算最后一个节点的电压依次回代，计算其它节点的电

14、压3条支路的星网变换R1=三角形三边电阻之和三角形三边电阻之和R12R31三角形三边电阻之和三角形三边电阻之和R12R2=R23三角形三边电阻之和三角形三边电阻之和R31R3=R23R12=R3R1R2R2R3R3R1+R23=R1R1R2R2R3R3R1+R31=R2R1R2R2R3R3R1+YR3R1R2123i1i2i3R12R23R31 YY和之间可以互相变换3条支路的星网变换 导纳形式参数321133132132233212112yyyyyyyyyyyyyyyyyyy3y1y2123i1i2i3y12y23y31Y Y122331233133112231223223311231121

15、yyyyyyyyyyyyyyyyyynkkjijiijijyyyYyyyy211111包括对地支路1111121111IYYIyyYyIIinkkiiio对以节点1为中心的星形网进行星网变换相当于：消去节点1o同时，修改导纳矩阵，并对电流源进行移置nkkjijiijyyyYyyy2111111111)1(1111)1(IYYIIYYYYYiiijiijij高斯消元：o导纳矩阵的修改：)1(1111211111ijjiijnkkjiijjiijijijijYYYYYyyyYYyyyyYY)1(1111)1(iiiiiiIIYYIIII1111)1(1111)1(IYYIIYYYYYiiijiij

16、ij高斯消元：1111121111IYYIyyYyIIinkkiiio中心节点电流的移置: 对以节点1为中心的星形电力进行 星网变换相当于 高斯消去法中的第一次消去运算利用星网变换方法，依次消去一个节点直到只剩一个非地节点可以一次消去多个节点 化简网络，消去不关心的节点 联络节点/浮游节点4-3 节点阻抗矩阵2021-10-3151节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵和节点导纳矩和节点导纳矩阵什么关系？阵什么关系？二者的异同？二者的异同？VZI 32121212222111211VVVIIIZZZZZZZZZnnnnnnn电力系统中计算中，节点方程也常写成阻抗形式，由：展开成kjnjIIjk, 2 , 1

17、0, 0由kjIkiikjIVZ, 0niVIZikik, 2 , 1 从节点k向整个网络看进去的对地总阻抗 把节点k作为一端，参考节点为另一端，从这两个端口看进去的无源两端网络地等值阻抗i=k时自阻抗 节点k单独注入电流，其他节点注入电流为零 节点k产生电压/注入电流kkz节点阻抗矩阵的物理意义kjIkkkkjIVZ, 0k!=i时,节点i 、 k之间的互阻抗 1。节点k单独注入电流，其他节点注入电流为零 2。 节点i产生电压/注入节点k电流ikzkjIkiikjIVZ, 0以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)I4z244z12123z23z34z10I1z4

18、0.节点2单独注入电流其他节点注入电流为零z244z12123z23z34z10I2z40.自阻抗Z22等效电路2z121z10I2Z20=Z24/(Z23+Z34)+Z40则：201012.2.222.22010122./)(/)(ZZZIVZIZZZV（其中，Z20=Z24/(Z23+Z34)）+Z40互阻抗Z122z121z10I2Z20=Z24/(Z23+Z34) +Z40等效电路121010201012.2.112121010.22010121./)(/)(ZZZZZZIVZZZZIZZZV则：（其中，Z20=Z24/(Z23+Z34) +Z40）其他互阻抗方法类似由此可见：由此可见

19、：1 节点阻抗矩阵元素计算很复杂，不可能从网络接线图和支路参数直观地求出；2 阻抗矩阵没有零元素，是一个满矩阵常用求取阻抗矩阵方法主要有两种：以上述物理概念为基础的支路追加法2 从节点导纳矩阵求取逆阵1 根据物理意义直接求解支路追加法逐步增加支路扩大阻抗矩阵的阶次某一个与地相连的支路整个系统的节点阻抗矩阵(体会该方法的思路即可)注意:在追加过程中，阻抗矩阵元素的计算和修正始终是以自阻抗和互阻抗的定义作为依据的从导纳矩阵求逆 各种求逆矩阵的方法线性方程组的求逆法将阻抗矩阵和单位矩阵都按列分块TjTnjjjjeZZZZ0010021第j个将将YZ=1 展开111000000332312222111

20、211332312222111211nnnnnnZZZZZZZZZYYYYYYYYYje), 2 , 1(njeYZjj物理意义：节点注入流jZ 节点电压只有节点j注入单位电流，其余节点电流都为零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j列的对应元素相等jjeLDUZ HUZFDHeLFjj求解方法：求解方法：对Y阵LDU分解：分解成三个方程组：1, 1,/01011nniZuhZjijidfhjijijiflfnikkjikiijiiiiijkkikinijniddulYunidulYdiiikkkkjikiiijikkkkiikiiii, 11, 2 , 1/ )(), 2 , 1(1

21、111kiliku计算公式：由于节点导纳矩阵是对称矩阵，则：83.1045 . 2033. 3467.1067. 6005 . 267. 617.16520055033. 302033. 5jjjjjjjjjjjjjjjjj4-6 题图如右所示为一5 节点网络，已知各支路阻抗标幺值及编号顺序，（1）形成节点导纳矩阵Y；（2）对Y阵进行LDU分解；（3）计算与节点4对应的一列阻抗矩阵元素。j0.2j1j0.5j0.3j0.15j0.4j0.2523451解：（1）阻抗矩阵的形成方法（2 ）对Y矩阵进行LDU分解：nijnidduuYuniduYdiiikkkkjkiiiijikkkkiiiii, 11, 2 , 1/ )(), 2 , 1(11112d11=Y11=-j5.33;u12=0;u14=0;u13=Y1