流体力学课件第八章

1、第八章刚体的平面运动平面运动的分解平面运动刚体的角速度、角加速度平面运动刚体上各点的速度、加速度 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动：行星齿轮1、平面运动刚体平面运动：车轮运动情况曲柄连杆机构黑板擦 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离(或：刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动)，这种运动称为平面运动。刚体的平面运动可以简刚体的平面运动可以简化为平面图形化为平面图形S S在其自身在其自身平面内的运动平面内的运动2平面运动的简化垂线A1A2平移A点的运动完全可以代表直线A1A2的运动平面图形S的运动也就代表了整个刚体的运动3、运动方程 123OOx

2、ftyftft基点O转角如何确定平面图形在自身平面内的位置？图形内任意一条线段对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 ， 图形S在该瞬时的位置也就确定了(平面刚体有3个自由度)。,OOyx4、运动分解=+平面运动 = 随 的平移+绕 点的转动 O x y OO x y 平移平移坐标系绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动当图形S上O点不动时，刚体作定轴转动；当图形S上 角不变时，刚体作平移。故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成运动 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax

3、y ) 相对静系的平移相对静系的平移 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 刚体的平面运动可以分解为随基点的平刚体的平面运动可以分解为随基点的平移移和绕基点的转动和绕基点的转动如果基点选择不同，随基点的平移和绕基点的转动会有什么异同呢？基点A：曲线平移+转动基点B：直线平移+转动基点不同，动系的平移轨迹不同，速度和加速度也不同同一时刻，AB连线与动系夹角相同，角速度和角加速度相同SABABBA12SIII以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB1以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB

4、2AB AB AB，212121212010 ; limlimdtddtdtttt基点不同，轨迹不同，因此随基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关平面运动可取任意任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。在同一瞬间，图形绕任一基点转动的角速度、角加速度都是相同的（都等于相对于定系的）通常选取运动情况已知的特殊点作为基点根据刚体内某些点的已知速度，确定刚体的角速度和刚体内其它点的速度；根据刚体的已知运动，求出刚体内各点的速度8-2 求平面图形内各点速度的基点法 （求平面

5、运动刚体上任意一点速度的方法）1、基点法（点的速度合成定理）动点：M绝对运动 ：待求牵连运动 ： 平移动系 ： (平移坐标系)O x y 相对运动 ：绕 点的圆周运动 OOMOreMvvvvvMOvOM推广：任意A，B两点其中BABAvABvAB 大小方向垂直于，指向同 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。BAABvvv 例8-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1、 AB作平面运动 基点： AABABvAB lv，已知： ， ，。求：。sinABAvvsinlvlvABAAB2?BABA

6、Avvvv、大小 ？方向cotABvv 例8-2如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆AB的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。解：1 、 BD作平面运动 基点：B300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 。已知：。求：，lvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl、大小 ？方向300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 已知：。求：，221.299m sCBCBvvvBD方向沿杆向右32?CBCBBDvvvll、大小

7、？方向以D为基点：，CDDCvvv方向？CDv例8-3曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄OA以匀角速度转动。r306090B求：当，时点 的速度。解：1、 AB作平面运动 基点：A3,OABOAABrrv已知：求：。900,BAABvrvv0Bv06033230cosrvvAB2?BABAvvvr、大小 ？方向瞬时平移0, 0例8-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半径为r1 ，行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。O求：轮的角速度及其上B，C 两点的速度。解: 1、轮作平面运动 基点：A12DAAOvvrr1221DAAOvvrDArr20DADAvv

8、v、12,OAOrr已知：。,BCvv求：纯滚动21222rrvvvOBAAB122BABAOvvvrrr大小方向？、212rrvvvOCAAC4CACAvvv、12,OAOrr已知：。,BCvv求：2、速度投影定理同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。沿AB连线方向上投影BAABABvvBABAvvv由例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。求：此瞬时点E的速度。解： 1、 AB作平面运动BA ABABvv（ ）OA

9、vB30cossm2309. 030cosOAvB100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。2、CD作定轴转动，转动轴：C30.6928m sBDBvvCDvCB3、DE作平面运动cos300.8m scos30ED DEDEEDDEvvvvvv（ ）100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法一般情况下,在每一瞬时瞬时,平面图形上都唯一唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。1、定理基点：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC,已知、Av求AN上一点M的速度平面图形内

10、任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。基点：瞬心C2、平面图形内各点的速度及其分布ACACCAvvvvBCBCCBvvvvDCDCCDvvvvACvABCvBDCvD平面图形的运动可以看成绕速度瞬心的瞬时转动3、速度瞬心的确定方法 , AAvACvAC(1)已知图形上一点的速度 和图形角速度AvC在 绕A点顺 转向转90的方向一侧Av (2)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 BAvv 不平行BAvv ,ABvvbBAB , )(反向与vvAABvvaBABA , )(同向与vv （3） 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 的大小,且ABAB,BAvvBAvvBCAC/

11、,ABvvAB且不垂直于 （5）已知某瞬时图形上A,B两点的速度图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等。 瞬时平移瞬时平移。 (注意：此时各点的加速度不相等)（4）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点C为速度瞬心 例8-6 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。解：AB作平面运动，速度瞬心为点C。sinlvACvAAABcotAABBvBCvABABvAB lv，已知： ， ，。求：。例8-7 矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如

12、图所示。曲柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。解: 1、杆GE作平面运动，瞬心为 C1 。srad2968. 011ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115sin01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE600mm,100mm,10rad s,500mm:ABABOEBGGD已知：。求。2、杆BG作平面运动，瞬心为C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvG

13、BAB例题 8-3如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D点的速度。CABDOvOvC=0解：COOCvvv0COOCvvv车轮作无滑动的滚动选O为基点vOvCO其中 vCO 的方向已知，其大小vCO =R 。基点法基点法RvRvOCO因此（顺时针）C点的速度CABDOvOvOvCOvC=0求得之后，再应用基点法求其余各点的速度： vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDRvRvOCOOAvv2A点：OBvv2B点：ODvv2D点：CABDOxyvO 车轮上与地面相接触的C点的速度为零即为车轮的瞬心。利用已知速度vO，可求得车轮的角

14、速度为此与以O点为基点求出的角速度完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。 车轮上点B的速度方向垂直于连线CB，大小为OBvRBCv22vB同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。 瞬心法瞬心法RvOCvOO（顺时针） 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。 ABvO例题 8-4解：解法一:选A点为基点， vA=vBAABvvvvB方向沿OB向下，vBA方向垂直于杆AB,tanvvBsinvvBAABvOvA =vvBvBAAB基点法基点法sin1lvlvBAAB( 逆时针 )解法二:选B点为基点ABBAvv

15、vvB方向沿BO向下，vAB方向垂直于杆AB，且vBA=ABAB，但AB未知，而vA=v大小方向均已知ABOvA=vvBvABABvB,tanvvB,sinvvBAsin1lvlvBAAB( 逆时针 )A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在C 点。cotcossinvllvBCvABBvA = vABOABvCvB瞬心法瞬心法sinlvACvAB( 逆时针 ) 图示机构中，曲柄OA以角速度0顺时针转动。设OA=AB= r，BD= ，在图示瞬时，O，B，C 在同一铅直线上，试求此瞬时点B和C的速度。r303060ODCAB例题 8-71. 连杆AB交点C1 为杆 AB

16、的速度瞬心。230sin1rABAC00122rrACvAAB（逆时针）03060ODCABvBvAABC1解：解： 速度瞬心法速度瞬心法连杆AB 和BC 均作平面运动2330cos1rABBC003223rrvB03060ODCABvBvAABC1交点C2 为杆BC 的瞬心。002222323330cosrrvBCvCCCCvBBBCC方向如图2BCvBBC（顺时针转向）vCBCC22. 连杆BC本部分作业：8-18-48-68-88-4 用基点法求平面图形内各点的加速度tnBerraaaatnBABABAaaaa,ttBABAaABaAB大小方向垂直于指向同2nnBABAaABaBA大小方

17、向由 指向A：基点 ：平移坐标系 Ax y(科氏加速度恒为零科氏加速度恒为零)平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量矢量和。注意：基点A的加速度有可能为两项，即nAtAAaaa求法：矢量方程两个投影方程，可求解两个未知量投影轴未必正交！例8-8如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。解: 1、轮作平面运动，瞬心为 C。12Ovlrr2d0dt1111,O OABOOlr

18、raa已知：纯滚动。求：。2、选基点为2212?0?tnAOAOAOaaaalr大小方向2221121(1)nAOAOaaallrllr1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。22123?0?tnBOBOBOaaaalr、大小方向222211nBOBOaaallrarctanarctanOnBOaral1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。圆盘（轮）或者圆柱体作纯滚动时，基点必选在质心处例8-9如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。 60解：1、 AB作平面运动，瞬心为 C。llCDvD

19、AB0,60,ODABAODADBDla。已知：常数求：。22DDal、选 为基点分别沿轴和轴投影nADDAaaa2coscossincossin0nADtADDaaa200ttADAADABaalaAD 解得0,60,ODABAODADBDla。已知：常数求：。22?tnADADADaaaall大小 ？方向思考：解析法？求：车轮上速度瞬心的加速度。例8-10 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为，车轮与地面接触无相对滑动。OvOa,OOCR ava。已知：求：解：1、 车轮作平面运动，瞬心为 C。2OvR、dd1ddOOvatRtR3、选为基点2tnCOCOCOOaaa

20、aaRR大小 ？方向 ？2nCCOaaR机构机构 物体 + 联接点（传递运动）运动形式？速度？加速度？点的运动分析点的运动分析运动方程容易建立：解析法复合运动理论刚体运动学运动方程不易建立：只求某瞬时的运动：主动件主动件从动件从动件8-5 运动学综合应用举例平面运动铰链连接合成运动接触滑动求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。例8-11图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。l 245解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。lvOEvBEvOBvBEB,2 ,45

21、 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。取E为基点2?0?BtnEBEBEEaaaaBE大小方向沿BE方向投影lvaalvaanBEBnBEB22245cos245cos,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。绝对运动 ：直线运动(BD)相对运动 ：直线运动(OA)牵连运动 ：定轴转动(轴O)2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆?aervvvv大小方向 沿BD方向投影lvOBvvvvveOArae0,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。222?0tnaeerCOAaaaaavll大小方向沿BD方向投影22222lv

22、OBalvaateOAate,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。例8-12 如图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。60解：1、 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O 绝对运动 ： 直线运动(AC )相对运动 ： 直线运动(AB )牵连运动 ： 定轴转动(轴O ), ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。2?aervvvv、大小方向260cos2360sinvvvvvvaraelvAOveAB43, ,60,ACABABvvl

23、已知：常数。求：。20? 2tnaeerCABeraaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影2034teCteCaavaal22833lvAOateAB, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。解法二：解析法2、 A点的运动方程cotlxA3、速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl当时有223 38ABvl, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。1、取坐标系Oxy解法三：瞬心法CABO ABlvvOC*请思考请思考：基点法？速度投影定理？22222833/2sinsin/2sinlvlvlvABsin/ lAO 2*sin

24、/sin/lAOAClvlvACvAB43/sin/2*求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。例8-13 如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为。lv 30,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。2、动点 ： 滑块A 动系 ： OC杆绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）解：1 、杆AB作平面运动，基点 为B。ABABvvvtnABABABaaaa?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影0sin302BABelvvvl

25、vvveBAB 2lvABABlvvABr2330cos0沿 方向投影rv,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。220?20?2tntnAeerCBABABrABaaaaaaaalvl大小方向Ca沿方向投影0030cos30sinnABtABCaaa233latAB从从而而233ABatABAB,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。解法二：解析法建立坐标系xoycoscotsincoslllxxABllllxBsinsinsincotcos2sincotcos)sinsin1 ()(sincotcossinsin22xoyABABAB cossincoscots

26、insinsin1sincotcossincossincossin2sincotcos1222232oo30,90AB233 AB例8-14 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时。22mm/s10,mm/s50,mm/s310,mm/s310,30,mm60BBAAavavAB求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度。2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,10mm s,AABBAEAEBrABvavav已知：。求：。解：1、动点：滑块B动系：杆AE(a)(b)aeraer

27、Cvvvaaaa 绝对运动：直线运动（BD） 相对运动：直线运动（AE） 牵连运动：平面运动(c)(d)eBABAtneBABABAvvvvaaaaa3、将（c）代入（a）?aABArBAvvvvvv大小方向2、杆AE作平面运动 基点：A2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,10mm s,AABBAEAEBrABvavav已知：。求：。ABABvvv60cos30cosrABvvv60sin30sin沿 方向投影ABv沿 方向投影rv解得 10mm s3rad s2rB AAEvvAB2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,

28、10mm s,AABBAEAEBrABvavav已知：。求：。4、将（d）代入（b）2?2tnBAB AB ArCBAAEAEraaaaaaaaABv大小方向2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,10mm s,AABBAEAEBrABvavav已知：。求：。oocos30sin30tBAB ACaaaa 沿 方向投影tB Aa2265mm s3rad s6rtB AAEaaAB 沿 方向投影 rarnABABaaaa30cos30sin解之2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,10mm s,AABBAEAEBrABvava

29、v已知：。求：。例4图示平面机构由四根杆依次铰接而成，已知AB = BC = 2r，CD = DE = r，AB杆与ED杆分别以匀角速度1和2绕A、E轴转动。求图示瞬时BC杆转动的角速度和C点的加速度大小。12ABCDE解12ABCDEAB和DE作定轴转动，BC和CD作平面运动。BvDvCDCBCBCBvvvCBvCDv12Bvr2Dvr向vB方向投影BCDvv 向vD方向投影CBDvv12CDCDvr 2122CBCBvrDCDvv12ABCDEBaDaCBCDCBanCBanCDaCDanCBCBCBaaaanDCDCDaaa212Bar22Dar222122nCBCBarr2214nCD

30、CDarrxynBCBCDaaa212nCBBCDaaar 2221124nCBCBCBaaaarirj 向aB方向投影例5在图示机构中，套筒J可沿连杆BC滑动；沿铅垂方向运动的杆GF与套筒J用铰链F相连接。已知AB = 0.1m，BC = 0.3m，当BAC = 45时，曲柄AB的角速度 = 10 rad/s，角加速度 = 0。试求此时杆GF的加速度及连杆BC 的角加速度。ABGJ450.15mFC建立与BC杆固结的平面运动动坐标系Bx1y1，取F点为动点，分析F点的运动。解342sin45sinsin, cos66ABBC342cos45cosm20ACABBC17m10BPAPABABCGFxyx1y1CvBv45PBCcos45cos0.15mABBF10 17