学生学习空间与图形的重点难点易错点知识梳理

1、学生学习“空间与图形”的重难点及易错点梳理一、初中数学“空间与图形”内容与目录七年级上册第四章图形认识初步 七年级下册第五章相交线与平行线 第七章三角形 八年级上册第十一章全等三角形 第十二章轴对称 八年级下册第十八章勾股定理 第十九章四边形 九年级上册第二十三章 旋转 第二十四章 圆 九年级下册第二十七章相似 第二十八章锐角三角函数 第二十九章投影与视图 二、学生学习 “空间与图形”重点、难点、易错点知识梳理 第一章图形认识初步（一）重点、难点1立体图形的认识（常见的是柱体、锥体、球体）及其平面展开图，体会立体图形与平面图形之间的联系.2正方体的展开图（一四一型、一三二型、三三型、二二二型）

2、及其展开图中的各个对面（对面中间隔一行或一列），如下图：3.直线、射线、线段的区别于联系.名称图形表示方法延伸性端点个数4用几何语言描述简单几何图形，根据几何语言画出相应的几何图形，在此基础上作简单的组合图形. 5角的概念、1°的角、1的角、1的角的理解及进行角的比较与运算.6点、线、面、体之间的联系7三个距离：点与点的距离，点与直线的距离，直线与直线的距离的理解及其应用.（二）易错点1正方体的展开图及其如何找展开图中的各个对面.2在找线段、射线的条数时易出错. ocbad 例1 如图中有几条线段_.错解：4条或其他条数错因分析：（1）没有理解线段的概念(两个端点)；（2）没有掌握正

3、确方法，答案不全面.正解：10条3. 在有关角度的计算时易出错.例2 计算:67°3425- 46°56错解：67°3425- 46°56=20°7825错因分析：常把60进制错为100进制,在要进位时没有进位.正解：67°3425- 46°56=20°38254. 互为余角、互为补角的记忆易错.例3 1=65°，则其补角=_度.错解：25°错因分析：混淆互为余角与互为补角的概念正解：115°5. 根据几何语言画图时出错.cba例4 如图,已知三点a、b、c,(1)画直线ab;(2)画

4、射线ac;(3)连接bc.图1错解：如图(1)或其他错因分析：cba混淆线段、直线、射线的概念正解：如图(2) 图2（三）方法规律：(1)棱柱的棱的条数、顶点的个数等，如n棱柱有2n条棱；（2）在同一条线段上的线段条数、在同一个角内数角的个数、在同一平面内数直线的交点个数等，如在同一条线段上的线段条数1+2+3+4+(n-1)= . 第二章相交线与平行线 （一）重点、难点1相交线邻补角、对顶角，特殊的相交线垂直（“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”分类）.2同位角、内错角、同旁内角的了解与识别，在图形中找出这些角，如图1、2、3中，能分出是那两条直线被哪条直线所截形成的.abcd21435

5、7abcef134562 图1 图2 图33平行线的判定与性质的探索过程，及其关系、简单应用.4结合一些具体内容进行说理和简单的推理，主要是与平行线的判定与性质有关的简单推理.5对几何语言的理解,如过一点有且只有一条等等.6平移的概念及利用平移的性质进行简单的平移作图.（二）易错点1找内错角、同位角、同旁内角时出错例1 如图，找出其中的内错角、同位角、同旁内角，并说出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？错解：如b与d是内错角，是直线be、de被直线be所截形成的.da bec 错因分析：（1）当顶点处不止一个角时，用三个字母表示角；（2） 不知道如何找直线.正解: 如dbe与d是内错角

6、，是直线db、de被直线be所截形成的(方法:画标识线).2.命题理解中的出错例2 命题“同位角相等”是真命题吗?若是,说明理由;若不是,举出反例.错解:是.错因分析:命题可改写成“如果两个角是同位角,那么这两个角相等”,根据平行线的性质可易得.正解:错.只有两直线平行,同位角才相等.3平行线的性质与判定的运用.例3 如图，填空:1=2_=_( )abdc_=_( )abcd 错解(1)：1=2 _ =_ (内错角相等,两直线平行) abdc43_=_ (内错角相等,两直线平行)错因分析:不清楚哪些角是被哪两条直线所截得到的adbc 错解(2)：1=2 _ =_ (两直线平行,内错角相等) a

7、bdc43_=_ (两直线平行,内错角相等)错因分析:把平行线的性质与判定混淆adbc 正解: 1=2 _ =_ (内错角相等,两直线平行) abdc34_=_ (内错角相等,两直线平行)4.网格中的平移作图,注意如何找对应点、数清格子.第三章三角形 (一)重点、难点1三角形中三条重要的线段高线（直角）、中线（线段相等、分成等底等高两个面积相等的三角形）、角平分线（角相等）2钝角三角形中三条高的作法.3三角形两边之和大于第三边(两点之间，线段最短)、三角形内角和定理（不同的证法）及其推论的证明与应用.4三角形全等判定方法的探索，为什么ssa不能证明三角形全等.5利用三角形全等进行证明，三角形全

8、等证明方法的选择，掌握综合法的证明格式.全等的一些基本图形、基本类型（平移全等、轴对称全等、旋转全等） 6角平分线定理的理解（判定定理），用集合的思想理解. 7相似多边形的性质及相似三角形的判定，相似三角形判定的证明；基本图形及基本结论的记忆. 8利用相似三角形的性质与判定解决有关问题；9等腰三角形、等边三角形判定与性质的关系及应用。(二)易错点1三角形三边关系的运用：较小两边之和大于最大边，较大两边之差小于最小边；例1已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长是（ ）a17 b13 c17或13 d15 错解:c错因分析：7既可为腰，又可为底，同时又要利用三角形三边关系正解：a2

9、.分类讨论、三角形内角和引出的易错例2 （1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？35°和35° （2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？80°和20°或50°和50°3. 钝角三角形中三条高的作法.4三角形全等、相似中各量的对应；三角形全等判定时ssa的错用，公共边、公共角的或视，证明直角三角形时 “rt”的或略，又如：1=2 ab=d ertabcrtdefabcd例3（09年）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）a bcddcoab5相似三角形性质中面积的

10、比等于相似比的平方；如下图中对应线段的错写； 图1 图2 图2 例4 如上图1，debc,对应线段易错为 ,正解： ,必须是三角形的三边。例5 若aobdoc,且ao=1，do=2，saob=3，则sdoc=_.错解：6错因分析：三角形相似性质中面积的比等于相似比的平方正解：12例6（08年）下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）abcd错解：d错因分析：没有掌握方法，只看表面，不认真进行计算。正解：b例7 如图，已知d、e和f、g分别在abc的ab、ac上，df/eg/bc，ad:de:eb=1:2:3，则s梯形degf:s梯形ebcg=_。6相似多边形的理解所有的对应角都相等、所有

11、的对应边的比都相等；例7 所有的矩形都相似吗？错解：相似错因分析：必须对应边的比也相等正解：不相似 例7图（三）方法规律：由特殊到一般的数学思想、化归思想多边形内角和、外角和；平面镶嵌等.三角形全等与相似是在几何题中构造等量关系的重要方法.考题精选1.（09年）如图，直线mn, 1=55°, 2=45°, 3mn21则的度数为（ ）a bcd2.（10年）一大门的栏杆如图所示，ba的垂直于地面ae于a，cd平行于地面ae，则abcbcd_度35°3.（08年）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和

12、四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 4.（10年）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是（）a8 b7 c4 d3 5.（08年）如图，在abcd中，e是bc的中点，且aec=dce，则下列结论不正确的是（ ）a bc四边形aecd是等腰梯形 d adcbef第四章勾股定理与锐角三角函数 （一）重点、难点1勾股定理（方法的多样性）及其逆定理的证明，常见勾股数的记忆.2勾股定理及其逆定理的简单实际应用.3锐角三角函数的概念的理解：角度与数值的对应，函数符号.4根据已知条件利用解直角三角形的知识解决实际问题，数形结合.5方向角的理解：如a在b的北偏东40

13、6;，则b在a的什么方向？（二）易错点1求直角三角形边长时少解.例1 如直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是_；错解：5错因分析：要分清直角边和斜边正解：5或2. 在分类讨论中出错例2 在abc中，若ab=5，ac= , bc上的高ad=3，则bc的长为_.错解：2.5错因分析：没有考虑到两种图形，如图cabdbacd正解：2.5或5.53锐角三角函数的理解，如正弦是什么，特殊锐角的三角函数值（记错）的有关计算，方向角、坡度（不是坡角） 的理解及有关计算如： .例3（08年）计算：sin60°cos30°- = 4.在abc中，sina= (或略在直角三角形中)，s

14、in60°= （认为不对，该角不一定要在直角三角形中）.（三）方法规律：数形结合，把实际问题转化为数学问题，把实物图形转化为数学图形，化整为零、积零为整，化曲为直、以直代曲的微积分思想.勾股定理与锐角三角函数也是在几何题中构造等量关系的重要方法.（四）解直角三角形常见的几种图形（可任意在图形中添加情景与数字）考题精选1.（10年）选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）（1）如图，从点c测得树的顶端的仰角为33º，bc20米，则树高ab_米(用计算器计算，结果精确到0.1米)a33ºbc（2）计算：sin30º·cos

15、30ºtan30º_（结果保留根号）第1题2.（09年）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.相似的性质与圆的切线性质、解直角三角形任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯

16、灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.ddfe900cm图2bca60cm80cm图1ghne156cmmeoe200cm图3ke（第23题）第五章四边形 （一）重点、难点1平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定，分边、角、对角线进行记忆.2平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别与联系，如下图.特殊平行四边形的性质和判定名称性质判定平行四边形1. 对边相等且平行.2. 对角相等,邻角互补.3. 对角线互相平分.4. 中心对称图形.5. s= ab (a ,b分别表示底和这一边上的高)推论: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

17、1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外,还有以下性质:1. 四个角都是直角.2. 对角线相等.3. 既是中心对称图形,又是轴对称图形.4. s= ab (a ,b分别表示长和宽)推论: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 有三个角是直角的四边形是矩形.菱形菱形除了具有平行四边形的所有性质外,还有

18、以下性质:1. 四条边都相等.2. 两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.3. 既是中心对称图形,又是轴对称图形.4. s= ab(a,b分别表示两条对角线的长).1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 四边相等的四边形是菱形.正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外,还具有以下性质:1. 对角线和边的夹角是45 .2. s = (a表示边长).1.一组邻边相等的矩形.2.有一个角是直角的菱形.3.对角线互相垂直的矩形.4.对角线相等的菱形.等腰梯形1. 两腰相等.2. 同一底上的两个角相等.3. 对角线相等.4. 轴对称图形.

19、推论: 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.1. 两腰相等的梯形.2. 同一底上的两个角相等的梯形.3利用平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定进行有关的计算与证明.4梯形中的常用辅助线作法及其应用.转化思想把梯形的问题转化成三角形和平行四边形的问题.5观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形；课本内容数学活动3中点四边形.（二）易错点1特殊平行四边形的性质与判定（尤其正方形先矩形再菱形再到正方形或先菱形再矩形再到正方形）.例1 顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形必是（ ） a、矩形c、两条对角线互相垂直的四边形 b、梯形 d、两条对角线相等的四边形例2 对角

20、线相等的四边形是矩形.（ ）错解：正确错因分析：不熟悉特殊平行四边形的性质与判定，应该是对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平方的四边形是矩形.2平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别与联系（同上）.3各种四边形面积的计算，尤其是棱形面积的计算 （a、b为两条对角线长）.4梯形中的常用辅助线作法的记忆与应用.（三）方法技巧1.熟记平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，区分它们的区别与联系.2. 熟记四边形中有关辅助线的作法，在解题中要与问题进行联系.3.学会分析问题，利用分析法与综合法分析问题，并能把分析过程正确进行推理.考题精选1.（10年）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面

21、，其示意图如图2当伞收紧时，点p与点a重合；当伞慢慢撑开时，动点p由a向b移动；当点p到达点b时，伞张得最开已知伞在撑开的过程中，总有pmpncmcn6.0分米，cecf18.0分米，bc2.0分米设apx分米（1）求x的取值范围；（2）若cpn60º，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）第六章 圆 （一）重点、难点1圆的定义的理解（集合的角度）.2圆的轴对称性垂径定理的理解（知二得三），圆的中心对称性（旋转不变性）圆心角、弧、弦之间的关系定理理解（在同圆或等圆中、知一得二）.3圆周角定理及其推论的理解，用完全归纳法证明圆周角

22、定理（分类讨论）.4与圆有关的位置关系中的数量关系与位置关系的对应（理解及区分每种不同距离与半径的大小比较）.5三角形的内心与外心的理解，内心三角形内切圆的圆心，三角形各内角平分线的交点，到三角形各顶点的距离相等（半径）（与线段垂直平分线联系进行记忆），外心三角形外接圆的圆心，三角形各边垂直平分线的交点，到三角形各边的距离相等（半径）（与角平分线联系进行记忆），数形结合；6圆的切线的判定定理与性质定理的联系、理解，用反证法证明其性质定理；7用反证法证明“不在同一直线上的三点确定一个圆”及对反证法的理解；8弧长公式、扇形面积公式的记忆，圆锥与其侧面展开图各量之间的对应，空间想象能力的培养；9对正

23、n边形中“n”的接受与理解；（二）易错点1垂径定理推论的理解：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平方弦所对的弧；2直线与圆的位置关系、圆与圆位置关系中的数量关系与位置关系的记忆，以及这两种位置关系的名称的混淆，相交两圆的数量关系：r-rdr+r, 内含两圆的数量关系：0dr-r；直线与圆的位置关系相交、相切、相离；圆与圆的位置关系相离（外离与内含）、相切（内切与外切）、相交。例1 已知两圆半径分别为x2-5x+3=0的两个根，圆心距为3，则两圆位置关系为_。3弧长公式 、扇形面积公式 的识记，圆锥及其侧面展开图各量之间的对应 ，如 ， ；例2 （09年）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长

24、是90cm,则它的侧面积是_.(3600cm2)例3 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面的顶角是_度。4.与分类讨论有关的易错点，如两圆相切（内切与外切）、圆内两条平行弦（在圆心的同侧与两侧）、一条弦所对的圆周角（在优弧与劣弧上）等等；例4 （1）若两圆相切，且半径分别为1和2，则两圆圆心距为_.(1或3)（2）在半径为5cm的圆中，弦ab的长等于5cm，那么弦ab所对的圆周角为_。（30°或150°）（3）已知圆o的直径ab为2cm，过点a有两条弦ac= 1cm，ad= cm，那么cad=_. （15°或105°）（4）已知圆o的半径为5

25、cm，ab、cd是圆o的两条弦，若ab=6cm，cd=8cm，则ab、cd两条弦之间的距离为_. (1 cm或7 cm)错因分析：没有考虑到两种情况5.圆的内接三角形（三角形的外接圆）、三角形的内切圆（圆的外切三角形）的理解；三角形的内心和外心的区别与应用例5 已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（ ） a、三角形的外心 b、三角形的重心 c、三角形的内心 d、三角形的垂心错解：a错因分析：混淆三角形的内心和外心正解：c 例6图例6 （11）如图,在abc中,点p是abc的内心,则pbc+pca+pab=_度. (90°)6正多边形各概念的掌握与计算（同一圆中）；例7

26、 矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？正方形是正多边形吗？例8 圆o中，内接正三角形，正方形、正六边形的边长之比为_。（三）方法规律：圆中的常用辅助线作法，如与垂径定理、圆周角定理、圆的切线等有关的辅助线作法；由具体到抽象，由特殊到一般，转化思想等；一些基本图形、基本结论的记忆；多种探索手段的运用（观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等）等等.cbaofde考题精选1.（08年）如图，为o直径，于点，交o点，于点（1）请写出三条与有关的正确结论；（2）当，时，求圆中阴影部分的面积2.（11年）如图，已知o的半径为2，弦bc的长为，点a为弦bc所对优弧上任意一点（b，c两点除外）.abco（1

27、）求bac的度数；（2）求abc面积的最大值.（参考数据： ，.）xyabdc11112第14题o3.（10年）如图所示，半圆ab平移到半圆cd的位置时所扫过的面积为_xyab第15题·op4.（10年）如图，以点p为圆心的圆弧与x轴交于a、b两点，点p的坐标为（4，2），点a的坐标为（2，0）则点b的坐标为_5.（09年）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2.下列说法中不正确的是（ ）a当时，点在内 b当时，点在内c当时，点在外 d当时，点在外6（08年）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） a与轴相离、与轴相切 b与轴、轴都相离

28、c与轴相切、与轴相离 d与轴、轴都相切7.（09年）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时

29、可采用等式）.ddfe900cm图2bca60cm80cm图1ghne156cmmeoe200cm图3ke（第23题）8（10年） “6”字形图中，fm是大o的直径，bc与大o相切于b，ob与小o相交于a，adbc，cdbhfm，dhbh于h，设fob，ob4，bc6（1）求证：ad为小o的切线；（2）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；（根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异）（3）当30º时，求dh的长（结果保留根号）第七章投影与视图（一）重点、难点1正投影的概念及其成像规律：物体平行于投影面，物体倾斜于投影面，物体垂直于投影面，空间位置关系的理

30、解.2画物体的三视图：位置与度量的规定.3简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，各量之间的对应，进行有关如表面积、体积等的有关计算.4学生空间想象能力的培养：由物画图，由图想物。（二）易错点1物体在太阳光下的投影顺序；平行投影与中心投影的概念及其性质区分.2画几何体三视图：实线（能看见的轮廓线）与虚线（看不见的轮廓线）及其正确性.例1（10年）沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是（ ）abcd错解：a错因分析：混淆实物图与视图正解：d例23根据三视图确定小正方体的个数；例3 (08年）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所

31、示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）（c）主视图俯视图例3例4图a4个 b、5个 c、6个 d、7个例4 （09年）如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）（c）a2个或3个b3个或4个c4个或5个d5个或6个4立体图形与其三视图、展开图之间的对应及其有关计算中有关量的理解；例5 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积. 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为略解：考题精选1.（10年）如图，一根直立于水平地面上的木杆ab在灯光下形成影子，当木杆绕点a按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化设垂直于地面时的影长