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文档简介

1、会计学1RayLeighRitz 瑞立法瑞立法(l f) 第一页,共20页。1.Rayleigh法法 1.1 Rayleigh法法-多自由度体系多自由度体系 1.2 Rayleigh法法-连续体系连续体系 1.3 Rayleigh法法-例题例题(lt)分析分析2.Rite法法 2.1 Rite法法-多自由度体系多自由度体系 2.2 Rite法法-连续体系连续体系 2.3 Rite法法-例题例题(lt)分析分析第第1页页/共共19页页第二页,共20页。1.瑞利商瑞利商 无阻尼体系振动微分方程无阻尼体系振动微分方程(wi fn fn chn): 对应广义坐标解:对应广义坐标解: 体系最大动能为:体

2、系最大动能为: 最大动能为:最大动能为: 由机械能守恒定律:由机械能守恒定律: ()R u220 xMKxt =sin(t)xumaxmaxTV ()Ru瑞利商瑞利商-广义广义(gungy)质量质量-广义刚度广义刚度第第2页页/共共19页页第三页,共20页。2. 瑞利法瑞利法 (1) 特点特点(tdin):只能求解最低阶固有频率:只能求解最低阶固有频率的近似值,且所求出的近似值总是大的近似值,且所求出的近似值总是大 于精确解于精确解 。 (2) 基本思想:假设一振型,代入到基本思想:假设一振型,代入到 求得的瑞利商作为基本频率平方的近似求得的瑞利商作为基本频率平方的近似值。值。 分析分析:假设

3、的振型与系统的真实振型越接假设的振型与系统的真实振型越接近,得到的频率近似值就越接近,得到的频率近似值就越接 精确解。精确解。 因为基本固有频率平方的精确值是因为基本固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值,瑞利商的最小值, 所以瑞利法算出的固有频率总是大所以瑞利法算出的固有频率总是大于精确值。于精确值。 ()Ru uuuuMKTT2第第3页页/共共19页页第四页,共20页。 对于无阻尼体系,梁的位移对于无阻尼体系,梁的位移(wiy)可表示为:可表示为: 梁的动能为:梁的动能为: 梁的位能为:梁的位能为: 2l20111(x)(x,t)22jxiiiTmy dM y2222011cos ( t)(

4、x) (x)d(x)2jlxiiimM 22201(x)()2lxyVEIdx222201sin ( t)(x)2lxd yEIddx第第4页页/共共19页页第五页,共20页。 由机械能守恒定律: 特例:等截面、没有(mi yu)集中质量的梁:设m(x)=m EI(x)=EI 由最大动能 最大位能 maxmaxTV222022201(x)(x)()(x)x(x )lxjlxiiidEIddxmdM( )22max0 x2lxTmd( )22max202lxEIVdx2220220(x)lxlxdxEImd第第5页页/共共19页页第六页,共20页。 总结:总结: (1)一般用式一般用式 求梁的基

5、频,就是所谓的求梁的基频,就是所谓的“一阶频率的近似一阶频率的近似(jn s)求解。求解。 (2)瑞利指出,对于一个合理假定的固有振型,必须满足所有的几何瑞利指出,对于一个合理假定的固有振型,必须满足所有的几何 边界条件(即梁端位移与转角条件),便可得到一个较好的固有边界条件(即梁端位移与转角条件),便可得到一个较好的固有 频率近似频率近似(jn s)值。值。 (3)若假定的振型接近基谐调振型,则由上式求出的基频将高于精确若假定的振型接近基谐调振型,则由上式求出的基频将高于精确 值,因为这种假定相当于引入了附加约束。值,因为这种假定相当于引入了附加约束。222022201(x)(x)()(x)

6、x(x )lxjlxiiidEIddxmdM( )第第6页页/共共19页页第七页,共20页。 求一阶固有频率的求一阶固有频率的 步骤:步骤: (1) 求体系求体系(tx)的最大动能的最大动能 = ? (2) 求体系求体系(tx)的最大动能的最大动能 = ? (3) =? maxVmaxTmax=maxVT由121第第7页页/共共19页页第八页,共20页。例例1. 求图示等截面悬臂梁的一阶固有频率求图示等截面悬臂梁的一阶固有频率( yu pn l), 其中其中m(x)=m, EI(x)=EI。 解:解: 假定梁的一阶振型为:假定梁的一阶振型为: 则最大动能则最大动能 最大位能最大位能 2xL(

7、x) =1-cos2422301(x)(x)()264lmaxxdEIVEIddxL222max0 x0.1142lxTmdmL( )第第8页页/共共19页页第九页,共20页。 max=maxVT由14=3.6538EImL第第9页页/共共19页页第十页,共20页。例例2. 求图示跨中承受集中重量求图示跨中承受集中重量(zhngling)W的等截面悬臂梁的一阶固有频的等截面悬臂梁的一阶固有频率,率, 其中其中 m(x)=m, EI(x)=EI。 解:设在自由端作用集中力解:设在自由端作用集中力P, 则梁端挠度为:则梁端挠度为: 梁的挠曲线形状为:梁的挠曲线形状为: 梁的最大动能为:梁的最大动能

8、为: 303PLZEI323033( )(x)32PLx L xy xZEIL20max033122EIZVPZL第第10页页/共共19页页第十一页,共20页。 梁的最大动能可分为两部分计算梁的最大动能可分为两部分计算(j sun),即梁的动能和承重物,即梁的动能和承重物W的动能,的动能, 其中梁的动能:其中梁的动能: W的动能:的动能: 总动能:总动能: 2222max0033m(x)2140 2lBxmLTydZ22max0252562 2WWTZg22maxmaxmax033251402562BWWmLTTTZmLgm ax=m a xVT由2433325140256EImLWmLg第第

9、11页页/共共19页页第十二页,共20页。 背景知识:背景知识: 在工程中,当把一个实际结构离散为多自由度体系,在工程中,当把一个实际结构离散为多自由度体系, 动力分析动力分析往往归结为高阶次的广义特征值问题。对这类问题,往往归结为高阶次的广义特征值问题。对这类问题, 我们关心的往往不是全部特征值,而只是其中的主要部分,我们关心的往往不是全部特征值,而只是其中的主要部分, 即结构的前即结构的前s阶阶 (s n) 。在这种情况下,可以用一种近似。在这种情况下,可以用一种近似 的有效方法,将的有效方法,将n阶广义特征值问题化为阶广义特征值问题化为s阶广义特征值问题阶广义特征值问题 这就是这就是Ra

10、yleigh-Ritz分析法。分析法。 特点:特点: (1)求出的基频更接近求出的基频更接近(jijn)精确值;精确值; (2)方程的自由度数越多,求出的低阶振型误差越小;方程的自由度数越多,求出的低阶振型误差越小; (3)求出的固有频率近似值总是大于精确值。求出的固有频率近似值总是大于精确值。 Rite法法第第12页页/共共19页页第十三页,共20页。 基本步骤:基本步骤: (1) 选取选取k个试探向量个试探向量 (2)对原系统降阶,形成对原系统降阶,形成k个广义个广义(gungy)特征方程:特征方程: 其中其中 (3)求原系统特征向量求原系统特征向量 (i)u 20KMc TKuK u T

11、MuM u 第第13页页/共共19页页第十四页,共20页。 设振型设振型 为一个级数:为一个级数: 经过一系列推到可得:经过一系列推到可得: 或写成或写成 其中其中 为参数为参数(cnsh)列向量列向量 (x)1(x)(x)niiiC2110(1,2,., )nnikkikkkkk Cm Cin 20KmCC第第14页页/共共19页页第十五页,共20页。例例1. 用用Rite法求简支梁固有频率及振型,法求简支梁固有频率及振型, 简支梁的质量均匀分布简支梁的质量均匀分布m(x)=m,EI(x)=EI。解:选取无集中质量的梁的模态函数解:选取无集中质量的梁的模态函数 为基函数为基函数 为了保证前两

12、阶固有频率的精度为了保证前两阶固有频率的精度(jn d),取,取n=3,则假设模态函数,则假设模态函数 ( )aMm x l( )sinii xxl31( )C siniii xxl第第15页页/共共19页页第十六页,共20页。计算质量系数和刚度计算质量系数和刚度(n d)(n d)系数系数 质量矩阵和刚度质量矩阵和刚度(n d)(n d)矩阵矩阵 得到特征值方程得到特征值方程 0( )sinsin( ) sinsinlijjii xjxijmmm xdxm x lllll220() ()sinsinlijjiiji xjxkkEIdxllll42 3 0 21 0 0( ) 0 1 0 0 16 0222 0 30 0 81m x lEIKMl20KwM第第16页页/共共19页页第十七页,共20页。解得特征值解得特征值 经过一系列推到可得:经过一系列推到可得:简支梁弯曲振动简支梁弯曲振动(zhndng)的前两阶振型函数为的前两阶振型函数为 12445.6825 39.478EIEIwwmlml(1)(2)1 0 0.0

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