北京市石景山区2013届高三数学上学期期末考试试题理新人教A版

1、石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页， 150 分 . 考试时长 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡 .第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 U1,2,3,4， A1,2,B2,4, 则（CU A） B（）A1,2B2，3,4C3,4D1,2,3,42. 若复数 Z1i , Z 23 i , 则 Z2（）Z1A 1 3iB 2 iC 1 3iD 3 i3 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，AB(2,4)

2、, AC(1,3), 则 AD（）A (2, 4)B(3,7)C(1,1)D( 1,1)4.设 m, n 是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若 m / /, nB若 m / /, nC若 m / /, nD若 m / /, n, mn ，则, mn ，则/ /, m / /n ，则, m / /n ，则/ /开始5执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）输入 xA 1B 2x>2是C 3D 4否6若从 1,2,3, ,9这 9 个整数中同时取4 个y=x2 -1 y=log 2 x不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）输出 y1结束A60

3、种B63 种C65 种D66 种7某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A 8B 423D 4C 22233正（主）视图侧（左）视图31俯视图8. 在整数集 Z 中，被 5除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ，记为 k ，即 k5nk nZ ， k0,1,2,3,4 给出如下四个结论： 2013 3 ； 2 2 ； Z 01234； 整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“ab0 ”其中，正确结论的个数为（）A 1B 2C 3D 4第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分yx，9已知不等式组yx，表示的平面区域 S 的面积为 4，则

4、 a；xa若点 P( x, y)S ，则 z2x y的最大值为.BAP10如右图，从圆O 外一点 P 引圆 O的割线 PAB 和 PCD ，?CPCD 过圆心 O ，已知 PA 1, AB2, PO3 ，OD则圆 O 的半径等于11在等比数列 an 中， a1= 1 , a4 = -4 ，则公比 q=；22a1 + a2 + a3 +L + an =12 在 ABC 中，若 a2,B 60 , b7 ，则 BC 边上的高等于13已知定点 A 的坐标为(1,4)，点 F 是双曲线 x2y21 的左焦点，点P 是双曲线右支412上的动点，则PFPA 的最小值为14. 给出定义：若m 1 <

5、xm+ 1( 其中 m 为整数 ) ，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，22记作 x ，即 x= m . 在此基础上给出下列关于函数f (x)= x x 的四个命题： y=f ( x) 的定义域是 R ，值域是 (1,1；22点 (k,0) 是 y=f ( x) 的图像的对称中心，其中 kZ ；函数 y=f (x) 的最小正周期为 1； 函数 y=f (x) 在 (1 , 3 上是增函数22则上述命题中真命题的序号是三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13 分）sin 2x (sin x cos x)已知函数 f ( x)cos x（）求 f

6、( x) 的定义域及最小正周期；（）求 f ( x) 在区间， 上的最大值和最小值6416（本小题共14 分）如图 1，在 RtABC 中，C90 ， BC3， AC6 D、E 分别是 AC、 AB 上的点，且 DE / /BC ，将ADE 沿 DE 折起到A1 DE 的位置，使A1 DCD ，如图 2（）求证：BC平面 A1DC ；（）若 CD2 ，求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值；3（）当 D 点在何处时，A1B 的长度最小，并求出最小值A1ADCEDCEBB图1图217（本小题共13 分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1、1 、 p，

7、且他们是否破译出密码互不影响. 若三人中只有甲破译出密码的概率为1.234（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求 p 的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求 X 的分布列和数学期望EX .18（本小题共13 分）已知函数f (x)=ln xax+1,aR 是常数（）求函数y=f (x) 的图象在点 P(1, f (1) 处的切线 l 的方程；（）证明函数y=f (x)( x1) 的图象在直线 l 的下方；（）讨论函数y=f (x) 零点的个数19（本小题共14 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为3 ，且经过点 M (4,1) ，直线24l :y =x

8、+m 交椭圆于不同的两点、BA（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）若直线 l 不过点 M ，求证：直线MA、MB 的斜率互为相反数20（本小题共 13 分）定义：如果数列 an 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 an 为“三角形”数列对于“三角形”数列 a ，如果函数yf (x)使得 bf (a) 仍为一个“三nnn角形”数列，则称y f (x) 是数列 an 的“保三角形函数”(n N *) （）已知 an 是首项为 2 ，公差为 1的等差数列，若f ( x)k x (k1) 是数列 an 的“保三角形函数” ，求 k 的取值范围；（）已知数列 cn 的首项为，是数列

9、 cn 的前 n 项和，且满足4Sn+1 3Sn 8052，2013 Sn证明 cn 是“三角形”数列；（）若 g( x) lg x 是（）中数列 cn 的“保三角形函数” ，问数列 cn 最多有多少项 ?( 解题中可用以下数据 : lg20.301, lg3 0.477, lg2013 3.304 )5石景山区2012 2013 学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分题号91011121314(9题、答案2； 66-；2n- 1-13 3911222题

10、第一空 2分,第二空 3分)三、解答题共6 小题，共80 分15（本小题共 13 分）（）因为 cosx0 ，所以 xk +,kZ .2所以函数 f ( x) 的定义域为 x xk+2, kZ 2 分（）sin 2x sin xcos xf (x)cos xsin x sin x+cos x =2sin 2x+sin2 x2sin(2 x-)1 5 分T4 7 分- 7（）因为6x，所以2 x-4 9 分4124当 2 x-时，即 x4时， f ( x) 的最大值为2 ； 11 分44当 2 x-时，即 x时， f ( x) 的最小值为 -2+1 . 13 分42816（本小题共 14 分）（

11、）证明：在 ABC 中，C 90 ,DE / BC,ADDEA1DDE .又 A1DCD ,CDDED ,A1D面 BCDE .由 BC面 BCDE ,A1 DBC .6BCCD ,CD BC C, BC 面 A1DC .4 分（）如图 , 以 C 为原点，建立空间直角坐标系 5 分zD (2,0,0),E(2,2,0), B(0,3,0), A1(2,0,4) A1设 n( x, y, z) 为平面 A1BC 的一个法向量，因为 CB(0,3,0), CA1 (2,0,4)xDC3y0所以，2x4z0E令 x2 ，得 y=0, z=1.y B所以 n(2,0,1) 为平面 A1 BC 的一个

12、法向量 7 分设 BE 与平面 A1BC 所成角为则 sin= cosBE n44555所以BE与平面 A BC 所成角的正弦值为4 9 分15（）设 D ( x,0,0), 则 A1( x,0,6x)，A1B( x-0) 2(0-3) 2(6-x-0)22x2 -12x 45 12 分当 x=3 时 , A1B的最小值是 33 即D为 AC中点时 ,A1 B 的长度最小 , 最小值为 33 14 分17（本小题共 13 分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1, A2 , A3 ，依题意有P( A1)1,P( A2 )1p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立 .2,P( A

13、3)3（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为1 P(A1A2 )1 122. 3 分233B ，则有（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件P(B)P( A1A2 A3) 12(1p)1 p ， 5 分所以 1p112333， p. 7 分44（） X 的所有可能取值为0,1,2,3 . 8 分7所以 P(X0)1，4P(X 1) P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)1113121114234234，24P(X 2) P (A1 A2A3 )P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)1131211111234234234，4P( X3)=P (A1

14、A21111 11 分A3) 234.X 分布列为：24X0123P11111424424 12 分所以， E(X)011 11213113. 13 分424424122（本小题共 13 分）（） f(x)= 1a 1 分xf (1)= a+1， kl =f (1)=1a ，所以切线l 的方程为yf (1)=kl (x1) ，即 y =(1a)x 3 分（）令F ( x)=f (x)(1-a)x=ln x则x+1， x>0，F ( x)= 11= 1 (1 x) ， 解 F ( x)=0 得 x=1.xxx(0, 1)1(1 ,)F ( x)0F ( x)最大值 6 分F (1)<

15、0 ，所以x >0 且 x1， F ( x)<0 ， f ( x)<(1a)x ，即函数 y= f ( x)( x1) 的图像在直线l的下方 8 分（）令 f (x)=ln xax+1 =0 ， a= ln x+1 .x8令 g(x)= ln x+1 ， g (x)=( ln x+1) = 1(ln2x+1)=ln2x ，xxxx则 g(x) 在 (0,1) 上单调递增，在(1,+ )上单调递减，当 x=1时， g(x) 的最大值为 g(1)=1 .所以若 a>1，则 f ( x) 无零点；若f ( x) 有零点，则 a110 分若 a =1， f (x)=ln xax

16、 +1 =0 ，由（）知f (x) 有且仅有一个零点x=1.若 a0 ， f (x)=ln xax+1 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f (x) 有且仅有一个零点（或：直线y= ax1 与曲线 y=ln x 有一个交点） .若 0<a<1，解 f (x)= 1 a =0得 x= 1 ，由函数的单调性得知f (x) 在 x = 1 处取最大xaa值， f ( 1 ) =ln 1 >0 ，由幂函数与对数函数单调性比较知，当 x 充分大时f ( x)<0 ，即 f ( x)aa在单调递减区间( 1 ,+) 有且仅有一个零点；又因为f ( 1 )=a <0 ，

17、所以 f (x) 在单调递aee1增区间 (0， ) 有且仅有一个零点.a综上所述，当a>1时， f ( x) 无零点；当 a=1或 a0 时， f(x) 有且仅有一个零点；当 0<a<1时， f ( x) 有两个零点 . 13 分19（本小题共 14 分）（）设椭圆的方程为x2y21，因为 e3，所以 a24b2，a2b22又因为 M (4,1) ，所以 1611 ，解得 b25, a220 ，a2b2故椭圆方程为x2y21 4 分205（）将 yx m 代入 x2y21 并整理得 5x28mx4m220 0，205=(8m) 2 -20(4 m2 -20)>0，解得

18、5m5 7 分（）设直线MA, MB的斜率分别为1和k2 ，只要证明k1k20k9设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1x28m4m220 9 分, x1 x255k1 k2y11y21 ( y1 1)(x24) ( y2 1)( x14)x14 x24( x14)( x24)分子(x1m1)(x2 4)( x2m1)(x14)2x1x2(m 5)( x1x2 ) 8(m 1)2(4m220)8m(m 5)8(m1)055所以直线 MA、MB 的斜率互为相反数 14 分20（本小题共 13 分）（）显然 ann1,anan 1an2 对任意正整数都成立，即 an 是三角形数列。因为 k1 ，显然有 f ( an )f (an 1)f (an 2 )，由 f (an )f (an 1)f (an 2 ) 得 knk n 1k n 2解得 1-5<k1522.所以当 k(1,15)时，2f (x)k x 是数列 an 的保三角形函数 . 3 分（）由 4sn 13sn8052 ，得4sn3sn 18052，两式相减得 4cn 1 3cn0 ，所以 c2013 3n4经检验，此通项公式满足4sn 1 3sn8052 .n 15 分显然 cncn 1