概率论与随机过程第1章1-3节(15)v1

1、概率与随机过程概率与随机过程Probability & Stochastic Processes2015 秋季秋季上海大学上海大学 通信与信息工程学院通信与信息工程学院曾祥龙曾祥龙PPT 及作业：及作业：, password : shu2015fall 答疑答疑 时间：时间： 周一周一 第五、六节第五、六节 T719 随机过程的重要性随机过程的重要性 在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系一个现象的不同量之间的关系 本书所介绍的内容是通信与信息工程领域中各种本书所介绍的内容是通信与信息工程领域中各种现象与问题的基本

2、数学模型现象与问题的基本数学模型 是后继课程的数学基础，如是后继课程的数学基础，如数字信号处理数字信号处理、数字通信数字通信、信息论与编码信息论与编码等等 本书的基础，是从事通信与信息领域的研究和创本书的基础，是从事通信与信息领域的研究和创新的基础新的基础2教学目标教学目标 充分理解、熟练掌握教材的内容充分理解、熟练掌握教材的内容 熟练掌握基本的数学概念和定理熟练掌握基本的数学概念和定理 熟练掌握通信与信息工程中基本研究对象的数熟练掌握通信与信息工程中基本研究对象的数学描述学描述 通过学习和习题练习，具备一定的解决问通过学习和习题练习，具备一定的解决问题分析问题的能力题分析问题的能力 掌握一定

3、的科学思想方法掌握一定的科学思想方法3约定约定 上课时间周一：周三：不得迟到、早退、缺课 上课时请关闭手机 作业： 每周三课前交要求要求: (1) 抄题目抄题目 (2) 每周交一次，上课后不再收每周交一次，上课后不再收 (3) 平时作业平时作业 +出勤出勤 20% 迟交的作业不批改4教学与考核安排教学与考核安排 课堂教学：课堂教学：占总授课内容占总授课内容85%。 课外教学：课外教学：自学内容占授课内容自学内容占授课内容15%（给出参考文档材料与（给出参考文档材料与 书目）。书目）。 考核方式：考核方式： 1。闭卷考试占总成绩。闭卷考试占总成绩70%（含（含5自学考核内容）；自学考核内容）；

4、2。考勤占。考勤占10%、作业成绩、作业成绩 10% 、自学报告、自学报告10% 。 总体成绩评定分配：总体成绩评定分配： 1。课堂教学内容考核占。课堂教学内容考核占66.5%（95分分70%）；）； 2。课外自学内容考核占。课外自学内容考核占3.5%（5分分70%）；）； 3。作业占。作业占10%（含自学内容练习）；（含自学内容练习）； 4。自学内容小结与专题应用范例报告占。自学内容小结与专题应用范例报告占10% ； 5。考勤占。考勤占10%。 教材与参考书目教材与参考书目 教材教材: 随机信号分析基础（第随机信号分析基础（第3版）版）王永德等编著王永德等编著 电子电子工业出版社工业出版社

5、参考书目参考书目: 概率论与数理统计（第概率论与数理统计（第3版）版）盛盛 骤等编骤等编 高等教育高等教育出版社出版社 Random Signals K.S.Shanmugan 概率、随机变量与随机过程（第概率、随机变量与随机过程（第4版）版）A .帕普里斯帕普里斯 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 第一章第一章 概率论概率论1 随机试验随机试验 随机事件随机事件 样本空间样本空间2 频率与概率频率与概率3 等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型)4 条件概率条件概率5 事件的独立性事件的独立性6 随机变量及其分布随机变量及其分布7 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布8 随机变量函

6、数的分布随机变量函数的分布9 随机变量的数字特征随机变量的数字特征10 10 特征函数特征函数* * （自学内容）（自学内容）11 11 大数定律和中心极限定律大数定律和中心极限定律* * （自学内容）（自学内容）第二章第二章 随机过程概论随机过程概论 1 随机过程定义及其基本研究方法随机过程定义及其基本研究方法2 随机过程统计特性的描述随机过程统计特性的描述3 随机序列及其统计特性随机序列及其统计特性* * （自学（自学内容内容）第三章第三章 平稳随机过程平稳随机过程1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义2 平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征3 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关

7、函数的性质4 随机序列的自相关阵与协方阵随机序列的自相关阵与协方阵* * （自学（自学内容内容）5 高斯随机过程高斯随机过程第四章第四章 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 1 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度2 功率谱密度与相关函数及其性质功率谱密度与相关函数及其性质3 白噪声与带限白噪声及其特性白噪声与带限白噪声及其特性4 随机序列的功率谱密度随机序列的功率谱密度 * （自学内容）（自学内容） 第五章第五章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统 1 平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析2 平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析

8、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析3 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统4 随机序列通过离散线性系统随机序列通过离散线性系统* （自学内容）（自学内容）第六章第六章 窄带随机过程窄带随机过程 1 窄带随机过程窄带随机过程2 希尔伯特变换希尔伯特变换3 窄带随机过程的性质窄带随机过程的性质4 窄带高斯随机过程的概率分布窄带高斯随机过程的概率分布5 余弦加窄带高斯随机过程的概率分布余弦加窄带高斯随机过程的概率分布 自学内容一览自学内容一览1 随机变量的特征函数随机变量的特征函数2 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理3 随机序列及其统计特性随机序列及其统计特性 4 随机序列的功率谱

9、密度随机序列的功率谱密度 5 随机序列通过离散线性系统随机序列通过离散线性系统 第一章内容第一章内容(15hr.)(15hr.) 随机试验随机试验 随机事件随机事件 样本空间样本空间 频率与概率频率与概率 等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型) 条件概率条件概率 事件的独立性事件的独立性 随机变量及其分布随机变量及其分布 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理学习本课程的方法学习本课程的方法统计的概念：统计的概念： 以统计平均的思想描述信号的特征；以统计平均的思想描述

10、信号的特征；模型的概念：模型的概念： 研究一般化的系统与信号间的关系；研究一般化的系统与信号间的关系；物理的概念：物理的概念： 注重数学推演的思想方法以及结论的物理注重数学推演的思想方法以及结论的物理意义。意义。12引引 言言本课程在整个专业课程中的作用本课程在整个专业课程中的作用 1 1、确定性信号的研究：确定性信号的研究： 信号的波形或函数与变量之间的关系一一对应。信号的波形或函数与变量之间的关系一一对应。 这些课程的设立主要目的是解决：这些课程的设立主要目的是解决：分析确知电信号的分量组成分析确知电信号的分量组成-信号时域、频域特性；信号时域、频域特性；电路或系统对电路或系统对确定性输入

11、信号确定性输入信号的响应，即研究电路与系统的响应，即研究电路与系统的行为；的行为；设计电路或系统对确知电信号处理，以达到预期的目的。设计电路或系统对确知电信号处理，以达到预期的目的。132、非确定性或随机性信号的重要性非确定性或随机性信号的重要性 实际意义实际意义(电阻热噪电阻热噪,多径干扰多径干扰) 随机信号的特征：随机信号的特征： 不能先验确定的随机性，即自变量与函数值非一一对应；不能先验确定的随机性，即自变量与函数值非一一对应； 可无限持续的能量，能量有限条件不满足；可无限持续的能量，能量有限条件不满足； 可能具有互相影响的波及性或关联性。可能具有互相影响的波及性或关联性。 可采用的研究

12、方法：统计学方法。可采用的研究方法：统计学方法。 dttX)( 自然界和社会上发生的现象是多种多样的自然界和社会上发生的现象是多种多样的, 其大其大体可分为两类体可分为两类: I.I.确定性现象确定性现象: :在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。 实例实例 “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,确定性信号系統确定性信号系統 II.II.随机现象随机现象: : 在一定条件下可能出现也可能不出现，在大量在一定条件下可能出现也可能不出现，在大量重复试验中其结果又具有重复试验中其结果又具有统计规律性统计

13、规律性的的的现象的现象实例实例1： “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”“明天的天气可能是明天的天气可能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨”“今天來上課的同学人数可能是？今天來上課的同学人数可能是？”概率论概率论不确定的现象的不确定的现象的确定确定数学描述。数学描述。2、非确定性或随机性信号的重要性非确定性或随机性信号的重要性 实际意义实际意义( (电阻热噪电阻热噪, ,多径干扰多径干扰) ) 随机信号的特征：随机信号的特征： 不能先验确定的随机性，即自变

14、量与函数值非一不能先验确定的随机性，即自变量与函数值非一一对应；一对应； 可无限持续的能量，能量有限条件不满足；可无限持续的能量，能量有限条件不满足； 可能具有互相影响的波及性或关联性。可能具有互相影响的波及性或关联性。 可采用的研究方法：统计学方法。可采用的研究方法：统计学方法。l意大利医生兼数学家卡当，赌博时研究不输的方法，是概率论的萌芽。意大利医生兼数学家卡当，赌博时研究不输的方法，是概率论的萌芽。l1654年，法国贵族年，法国贵族DeMere对胜负的预测把赌资进行合理的分配，写信向对胜负的预测把赌资进行合理的分配，写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步

15、。当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。 帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德美黑提出的关于美黑提出的关于骰子赌博的问题。骰子赌博的问题。(1654.7.29概率论的生日概率论的生日) 于是，一个新的数学分支于是，一个新的数学分支-概率概率论登上了历史舞台。概率论从赌博的游戏开始，拓展出一种新的数学。现在论登上了历史舞台。概率论从赌博的游戏开始，拓展出一种新的数学。现在它在许多领域发挥着它在许多领域发挥着,十分重要的作用。十分重要的作用。 Jacobi(16541705), 棣莫夫棣莫夫(16671855);

16、贝叶斯贝叶斯(17021761); 拉普拉拉普拉斯斯(17491827); 高斯高斯(17771855),泊松泊松(17811840); 20世纪世纪30年代年代,柯尔莫柯尔莫格罗夫和拉维发展了概率的分析演绎理论格罗夫和拉维发展了概率的分析演绎理论. 1 1 随机试验随机试验 随机事件随机事件 样本空间样本空间 事件的关系事件的关系 运算法则运算法则(一一) 随机试验随机试验:E随机试验的特征随机试验的特征: : 1. 1. 可在相同条件下可在相同条件下重复重复进行进行; ; 2. 2. 多个多个可能结果，并事先明知所有可能结果可能结果，并事先明知所有可能结果; ; 3. 3. 每次每次试验前

17、不能确定试验前不能确定那个结果会出现那个结果会出现. .& 试验：试验：各种科学实验各种科学实验,对某一事物某个特征的观察对某一事物某个特征的观察。满足上述条件的试验满足上述条件的试验, ,称为称为随机试验随机试验E E. .E E2 2 ：将一枚硬币抛两次将一枚硬币抛两次, ,观察正反面的观察正反面的 出现情况；出现情况； S S2 2 : (H,T),(H,H),(T,H),(T,T) : (H,T),(H,H),(T,H),(T,T) (二二) 样本空间样本空间-所有基本可能结果的集合所有基本可能结果的集合， 记为记为 S S 随机试验随机试验 E E E E1: 1: 抛一枚硬

18、币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H,H,反面反面T T出出 现现的情况。的情况。 样本空间样本空间 S SS S1 1 : H,T : H,T E E5: 5: 记录某一昼夜的最低温度记录某一昼夜的最低温度x x和和最高最高 温度温度y y。设这一地区的温。设这一地区的温度不会小于度不会小于T T0 0, ,不会大于不会大于T T1 1。E E3 3： 掷一颗孤骰子，观察出现的掷一颗孤骰子，观察出现的点数；点数；E E4 4 ：在一批灯泡中任意抽取一支：在一批灯泡中任意抽取一支, ,测试它的寿命；测试它的寿命； S S5 5 : (x,y) : (x,y) T T0 0 xyTxyT1 1

19、S S3 3 : 1: 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 S S4 4 : t : t t0t0 (三三) 随机事件：随机事件：随机试验中，单次试验可能出现也随机试验中，单次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为此随机试验的随机事件，记为律性的事情，称为此随机试验的随机事件，记为A A，B B，。 直接理解为：直接理解为： 样本空间样本空间S中的某个子集中的某个子集.三种特殊事件三种特殊事件: : 基本事件：基本事件：随机试验的每一种基本可能随机试验的每一种基本可能 (不可再分解不可再分解) 结果。结果。 如

20、：掷骰子试验中如：掷骰子试验中, , “点数点数:1,2,3,4,5,6:1,2,3,4,5,6” 必然事件必然事件: 实验中实验中, ,必定发生的事件必定发生的事件. . 如：掷骰子试验中如：掷骰子试验中, ,“点数不大于点数不大于6 6” 不可能事件不可能事件: 实验中一定不会发生的事件实验中一定不会发生的事件. . 例：掷骰子试验中例：掷骰子试验中, ,“点数大于点数大于6 6”在在E3中中， S S3 3 = 1= 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 事件事件A: 出现偶数点出现偶数点则则A=2,4,6 是是S3的子集。的子集。事件事件B: 点数小于点数小于3 B=1,2也是也

21、是S3的子集的子集由此可知：由此可知： 事件事件A A是样本空间是样本空间S S中的子集中的子集; ; 事件事件A A发生就是：发生就是：当且仅当当且仅当子集中的一个基本事件发生。子集中的一个基本事件发生。 同时可推知：同时可推知： 必然事件必然事件就是样本空间就是样本空间S S； 不可能事件不可能事件就是就是空集空集, ,记为记为。 注意：注意： 也是一个子集。也是一个子集。(四四)事件之间的关系与事件之间的运算：事件之间的关系与事件之间的运算： 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S；A，B，Ak ( k=1,2,)是是E的事件。的事件。S， 事件的事件的 包含与相等包含与相等 若事件若

22、事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，则称事件发生，则称事件B B包含包含 事件事件A A，记为，记为B AB A或或A BA B。 特例特例: 若若B A 且且A B，则称则称事件事件A与事件与事件B相等，相等，记为记为A=B. BA2. 事件之和事件之和 A B S.kkkAAAA211 若事件若事件A A与事件与事件B B至少有一个发生，至少有一个发生， 称该事件为事件称该事件为事件A A与事件与事件B B的和，的和， 记为：记为： A AB 同理：同理：事件事件A1，A2，Ak ， 至少有一个发生的至少有一个发生的和事件和事件为：为：3. 事件之积事件之积 事件事件A

23、A与事件与事件B B同时发生，称该事件同时发生，称该事件为事件为事件A A与事件与事件B B的积，记为的积，记为 ABAB或或 ABAB同理：同理：Ak (k=1,2,)的的积积为：为： .211kkkAAAA4. 事件之差事件之差_BABA 若事件若事件A A发生而事件发生而事件B B不发生，这一事件称为事件不发生，这一事件称为事件A A与事与事件件 B B的差，记为的差，记为 A-BA-B。 e.g. 测量晶体管的测量晶体管的参数值，参数值， 令令A=值不超过值不超过50， B=值不超过值不超过100， 则，则，A-B=， B-A=测得测得值为值为50100 ABS6. 6. 互逆事件互逆

24、事件*A BS事件事件A A与事件与事件B B必有一个且仅有一个发生，即事件必有一个且仅有一个发生，即事件A A与事件与事件B B满足：满足： 则称事件则称事件A A与事件与事件B B互逆互逆/ /对立对立, , 记为记为 。ABSBA_AB 或BA BA 5. 5. 互不相容事件互不相容事件若事件若事件A A与事件与事件B B不能同时发生，则称事件不能同时发生，则称事件A A与事件与事件B B互不相互不相容的，记为容的，记为AB=AB=。例例: 基本事件就是互不相容的。基本事件就是互不相容的。例如，路口在某时刻的红绿灯：若例如，路口在某时刻的红绿灯：若A=红灯亮红灯亮， B=绿灯亮绿灯亮，则

25、则A与与B便是互不相容的。便是互不相容的。(五）事件之间的运算定律：五）事件之间的运算定律：BABA BABA27A B C A BC A BC A BC 设设A，B，C为事件，则有：为事件，则有： AB=BA； AB=BA。 A(BC)=(AB)C; A (BC)=(AB)C。 A(BC)=(AB) (AC); A (BC)=(AB) (AC) 例例: A 表示表示“灯亮灯亮”这一事件，以这一事件，以B，C，D 分分 别表示开关别表示开关I，II，III闭合的事件。闭合的事件。由此可知各事件之间的关系：由此可知各事件之间的关系： BAABDABCBDBCA,;XBCDIIIIIBCDIIII

26、II即事件即事件 与事件与事件A互不相容。互不相容。B 记号记号 概率论概率论 集合论集合论S 样本空间样本空间 全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集E 基本事件基本事件 元素元素A 事件事件 子集子集 A的对立事件的对立事件 A的余集的余集 事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生 A是是B的子集的子集A=B 事件事件A与事件与事件B 相等相等 A与与B相等相等 事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生 A与与B的和集的和集AB 事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生 A与与B的交集的交集A-B 事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生 A与与B的差集的差集

27、AB= 事件事件A与事件互不相容与事件互不相容 A与与B 没有相同元素没有相同元素_ABA BA 概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是关系与运算是一致一致的。因此可以的。因此可以对事件的分析转化为对集合对事件的分析转化为对集合的分析，的分析，利用集合间的运算来分析事件间的关系。利用集合间的运算来分析事件间的关系。频率与概率频率与概率(一一)频率频率v频率频率定义定义: : 事件事件A A在在 n n 次重复试验中出现次重复试验中出现 n nA A次，次，则比值则比值 n nA A/n/n 称为事件称为事件A A 在在 n

28、n 次重复试验中出现的次重复试验中出现的频率，记为频率，记为 即即 )(AfnnnAfAn )(表表1 抛硬币试验抛硬币试验1实验序号实验序号n=5n=50n=500120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494Hn)(HfnHnHn)(Hfn)(HfnHn)(H

29、fn表表 2 抛硬币试验抛硬币试验2实验者实验者蒲丰蒲丰404020480.5070K.皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊皮尔逊24000120120.5005nHn)(Hfn表表3 6只球，其中只球，其中4白白2 红，任取红，任取1只为白球的事件。只为白球的事件。100200300400500600691391982613374010.6900.6950.6600.6530.6740.668随机事件随机事件A A，在，在 n 次试验中出现的频率次试验中出现的频率 f fn n(A)(A) , , 当试验的当试验的次数次数 n 逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定于这

30、逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数，个常数，这个常数是客观存在的这个常数是客观存在的。这个常数的客观存在性揭示。这个常数的客观存在性揭示了隐藏在随机现象中的规律性，这种规律性就是了隐藏在随机现象中的规律性，这种规律性就是统计规律性统计规律性。n注注1. 频率与试验次数有关，但概率是该事件的客观属性。频率与试验次数有关，但概率是该事件的客观属性。2. 不能说：不能说：3. 给出了一个求概率的方法给出了一个求概率的方法实验，大量采集数据实验，大量采集数据。 ApAflimnn(二二) 概率概率事件事件 A 发生的频率的稳定中心发生的频率的稳定中心 P(A) 称为事件称为事件A发

31、生的发生的概率（统计性定义）。概率（统计性定义）。 ApAfnn?lim 概率与频率的关系概率与频率的关系: :(2)(2)规范性：规范性：； 概率概率( (公理性公理性) )定义定义: : 对随机试验对随机试验E E所对应的样本空间所对应的样本空间S S中的每一事件中的每一事件A A均赋予均赋予一实数，记为一实数，记为P(A)P(A)，若若P(A)P(A)满足下列条件满足下列条件： 非负性：非负性：；(3) (3) 可列可加性：设可列可加性：设A A1 1，A A2 2，, ,是一列两两互不相容的事件是一列两两互不相容的事件, , 即即 A Ai iA Aj j ,(i,(i j),i,jj

32、),i,j1,2,1,2, ,有有 则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。性质性质1 1、 对于任一事件对于任一事件A A，有，有 )(1)(APAP 性质性质3 3-加法公式加法公式 对任意两事件对任意两事件A A、B B， ABPBPAPBAP （三）概率的性质（三）概率的性质性质性质2 2、 证明证明: :由图知由图知: : ABPBPAPBAPABPABPBPABPAPBAPABABABABBABAABABA ,:,故且且证明证明: :由图知由图知: :推论推论: : 设设 A A1 1, A, A2 2, ,., An., An 是是n n个事件个事件, ,则有则

33、有nnnkjikjinjijiniinAAAPAAAPAAPAPAAAP.)1(.21111121性质性质4 4、单调不减性单调不减性：设设 A A、B B 二事件，二事件，若事件若事件 则则 P（A) P (B)证明：证明：由由 可知：可知：B=A（B-A）；）；且且 A（B-A）= = ， P（B）=P（A）+P（B-A） ； 又又 P（B-A）0， P（B） P（A） 证毕证毕 BA BA 推论：对任一事件推论：对任一事件 A A ， P（A） 1A, B,C 事件运算关系表示下列事件：1. 只有一个发生；2. 至少有一个发生；3. 至少有一个不发生；4. 只有2个发生；5. 至少有2个

34、发生；6. 都不发生；7. 至多有一个发生;8. 至多2个发生；例：设A，B，C是三事件，且 ， ， ，求A，B，C至少有一个发生的概率。3 3 等可能概型等可能概型 ( (古典概型古典概型) )&定义：定义： 若试验若试验E E的样本空间的样本空间S See1 1, e , e 2 2 , , , e , e n n 只有有限个只有有限个不同的基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则不同的基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则称称试验试验E E为为等可能等可能概型（或称古典概型）概型（或称古典概型）。 等可概率性质等可概率性质: 1. 2. 若若事件事件A 中含有中含有k

35、个基本事件，则个基本事件，则 ., 2, 1,1ninePi 基本事件总数基本事件总数中所包含的基本事件数中所包含的基本事件数AnkAP )( 古典概型中事件发生的概率计算关键古典概型中事件发生的概率计算关键： （）（）样本空间的基本事件总数样本空间的基本事件总数（）事件（）事件A A所包含的基本事件数。所包含的基本事件数。基本事件的计算：排列和组合的计算方法。基本事件的计算：排列和组合的计算方法。 排列排列：从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m（mn)个元素的排列：个元素的排列： 组合组合：从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m（mn)个元素的个元素的组合组合： 11! mnnnmnn

36、Amn)!( !mnmnmAmnCnmmn iNN一般计数适用的原则: 加法原则: 有n 种可能性,之间不相容 N1N2N3Nn乘法原则: 有N个步骤,之间不相关(互不影响) N1 N2 NniNN抽样: 放回抽: (有选择性) 不放回抽: (有选择性) 一次抽n个(无选择性) nNNNN nNAnNNN )()(11nNC 基本古典概型的概率计算：基本古典概型的概率计算： 古典概型的问题大致可分为三类：古典概型的问题大致可分为三类： I.I.抽球问题；抽球问题； II. 分房问题；分房问题； III. 取数等待问题。取数等待问题。 其计算步骤其计算步骤: 1. 求出试验中基本事件的总数求出试

37、验中基本事件的总数n； 关键关键: 弄清基本事件是什么弄清基本事件是什么?（试验的目的）（试验的目的） 2. 求出事件求出事件A所包含的基本事件的个数所包含的基本事件的个数k。解解: : 随机试验随机试验E E是从是从 m+nm+n个球中取出个球中取出 a+b a+b 个球个球, ,每每 a+b a+b 个球构个球构成一个基本事件成一个基本事件 e ei i ，故共有，故共有 个不同的基本事件。个不同的基本事件。设设A: A: “恰好取中恰好取中a a个白球个白球b b个个黑黑球球”a a个白球的组合个白球的组合 种，种，b b个黑球的组合有个黑球的组合有 种种, ,故共有故共有 种组合抽取法

38、种组合抽取法. . banmbnamCCCAp banm am bn bnam 例例I: I: 设箱中设箱中有有mm个白球和个白球和n n个黑球，从其中任意取个黑球，从其中任意取a+ba+b个球，个球，求所取的球恰含求所取的球恰含a a个个白白球和球和b b个个黑黑球的球的概率。概率。 例例:(II) 有有n n个人个人, ,每个人都以同样的概率每个人都以同样的概率1/N1/N被分配在被分配在N(nN)N(nN)间房中的每一间中间房中的每一间中, ,试求试求下列事件的概率下列事件的概率: : 解解: 因为因为把一人分配到把一人分配到N间房中之一去间房中之一去的分法有的分法有N种，故对种，故对n

39、个人进行同样的分法，则共有个人进行同样的分法，则共有 个个不同的基本事件。不同的基本事件。 A: 固定某固定某n间房，第一人分配到其中任一间的分法间房，第一人分配到其中任一间的分法有有n种分法；第二人将有种分法；第二人将有(n-1)种分法；种分法；。 因此，事件因此，事件A共含有共含有n!个不同的基本事件。个不同的基本事件。 故故A事件的概率为：事件的概率为： 。 nN nNnAP!B: 从从N间房中任选间房中任选n间房间房,共有共有 种选法，因而事件种选法，因而事件B共含有共含有 个不同的基本事件，故个不同的基本事件，故B事件的概率为：事件的概率为：C: 从从n个人中任意取定个人中任意取定m

40、个人个人,共有共有 种选法种选法;其余其余n-m个人可任意分配在其余个人可任意分配在其余N-1间房里，共有间房里，共有 种种分法，因而事件共有分法，因而事件共有 个不同个不同 的基本的基本事件，故事件，故C事件的概率为：事件的概率为： nN! nnN mnm-n1)-(N mn !nNNNNnnNBPnn mnmnmnNNNmnNNmnCP 111m-n1)-(N例例:(III):(III) 从从1, 2, 1, 2, , 10 , 10 共十个数字共十个数字中任取一个数中任取一个数, ,假定每个数字都以假定每个数字都以1/101/10的的概率取中，取后还原，先后取出概率取中，取后还原，先后取

41、出7 7个数字，个数字，试求下列各事件试求下列各事件 的概率的概率: : A1: 7个数字全不相同个数字全不相同; A2: 不含不含10与与1; A3: 10恰好出现两次恰好出现两次; A4: 至少出现两次至少出现两次10; A5: 直到第直到第i次才取到次才取到10的概率的概率;)4, 3, 2, 1( iAi例例:(III):(III) 从从1, 2, 1, 2, , 10 , 10 共十个数字共十个数字中任取一个数中任取一个数, ,假定每个数字都以假定每个数字都以1/101/10的的概率取中，取后还原，先后取出概率取中，取后还原，先后取出7 7个数字，个数字，试求下列各事件试求下列各事件

42、 的概率的概率: : A1: 7个数字全不相同个数字全不相同; A2: 不含不含10与与1; A3: 10恰好出现两次恰好出现两次; A4: 至少出现两次至少出现两次10; A5: 直到第直到第 次才取到次才取到10的概率的概率;)4, 3, 2, 1( iAi解解: 基本事件：因为试验是基本事件：因为试验是“取后还原取后还原”，所以每，所以每次取数都有次取数都有10 种可能，取种可能，取7次共有次共有 107 个不同的个不同的基本事件。基本事件。故故: A3：出现：出现10的两次可以是的两次可以是7次中的任意二次，故有次中的任意二次，故有 种选择；其余种选择；其余5次中，每次在剩余的次中，每次在剩余的9个数字中任个数字中任取一个，所以取一个，所以 7727110806048.01045678910 APAP75273109)( CAPA4： “至少出现两次至少出现两次10”= “10恰好出现恰好出现k次次(k=2,3,4,5,6,7)”的的6 6个互不相容的事件的和个互不