旋转图形的证明与计算

1、旋转图形的证明与计算如图13.1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（）时，如图13.2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图13.3，延长BD交CF于点G. 求证：BDCF； 当AB4，AD时，求线段BG的长.答案解（1）BDCF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90°,     &

2、#160;   BAD=，CAF=，BAD=CAF，BADCAF.BDCF.（3分）（2）证明：设BG交AC于点M.BADCAF（已证），ABMGCM.BMA CMG ，BMA CMG.BGCBAC 90°.BDCF.（6分）过点F作FNAC于点N.在正方形ADEF中，AD，ANFN.在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC.在RtFCN中，.在RtABM中，.AM.CMACAM4， .（9分）BMA CMG，. CG.（11分）在RtBGC中，. 

3、60;（12分）问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若ABC问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若ABC=BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，小聪同学的思路是延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值（2）将图（1）中的菱形BEFG恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中的其它条件不变（如图（

4、2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明（1）延长GP，交CD于点H，四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，CDABGF，PDH=PFG，DHP=PGF，P是线段DF的中点，DP=PF，在DPH和FGP中，PDHPFGDHPPGFDPPF，DPHFGP（AAS），PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，ABC=60°，DCG=120°，PCG=60°，PG：PC=tan60°=3，线段PG与PC的位置关系是PGPC，PGPC=3；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图（2），延长G

5、P交AD于点H，连接CH，CG，P是线段DF的中点，FP=DP，ADGF，HDP=GFP，GPF=HPD，GFPHDP（ASA），GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60°，ABC=BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，GBF=60°，HDC=GBF，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CGHCD=GCB，PGPC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）ABC=60°DCB=HCD+HCB=120°，HCG=HCB+GCB，H

6、CG=120°，GCP=60°，PGPC=tanGCP=tan60°=3四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）将图1中的BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的BEF绕点B顺时针旋转（0°90°），若BE=1，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tanABF的值题型：解答题难度

7、：中档来源：不详答（1）EGCG，；（2）结论还成立，证明见解析；试题分析：（1）过G作GHEC于H，推出EFGHDC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出EGC是等腰直角三角形即可.（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证EFGHDG，推出DH=EF=BE，FEG=DHG，求出EBC=HDC，证出EBCHDC，推出CE=CH，BCE=DCH，求出ECH是等腰直角三角形，即可得出答案.（3）连接BD，求出，推出DBE=60°，求出ABF=30&

8、#176;，解直角三角形求出即可试题解析：（1）EGCG，理由是：如图1，过G作GHEC于H，FEB=DCB=90°，EFGHDC.G为DF中点，H为EC中点.EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC.EGC=90°，即EGC是等腰直角三角形.（2）结论还成立，证明如下：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，在EFG和HDG中，GFGD，FGEDGH，EGHG，EFGHDG（SAS）.DH=EF=BE，FEG=DHG.EFDH.1=2=90°-3=4.EBC=180°-4=180&

9、#176;-1=HDC.在EBC和HDC中，BEDH，EBCHDC，BCCD，EBCHDCCE=CH，BCE=DCH.ECH=DCH+ECD=BCE+ECD=BCD=90°.ECH是等腰直角三角形，G为EH的中点，EGGC，即（1）中的结论仍然成立.（3）如图3，连接BD，AB=，正方形ABCD，BD=2.DBE=60°.ABE=DBE-ABD=15°.ABF=45°-15°=30°.DE=BE=.DF=DE-EF=.利用旋转作图的证明题;（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF=45°，请猜

10、测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系（不必证明）；（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，B+D=180°，AB=AD，EAF=12BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明；（3）应用：在条件（2）中，若BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如图3），求此时CEF的周长分析与解答习题“（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF=45°，请猜测并写出线段DF、BE、EF之间的等量关系（不必证明）；（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，.”的分析与解答如下所

11、示：分析（1）结论虽然没有要求证明，从探求线段DF、BE、EF之间的等量关系可知，证明EF=BE+DF，需要将ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F对应点M，构成AME再寻找它与AFE全等的条件；以此为启发，图（2），（3）用类似方法可解解答解：（1）EF=BE+DF（2）EF=BE+DF证明：延长CB至M，使BM=DF，ABC+D=180°，1+ABC=180°，1=D，又AB=AD，ABMADFAF=AM，2=3EAF=12BAD，2+4=12BAD=EAF3+4=EAF，即MAE=EAF又AE=AE，AMEAFEEF=ME，即EF=BE+BMEF=BE+DF（3）连接AC，AB=AD，BC=CD，AC=AC，ABCADC（SSS）B=D，DAC=BACB+D=180°，B=90°，BAC=12BAD=60°在RtABC中，BC=ABtan60°=3，由（2）得EF=BE+DFCE