数学精神与方法第八讲

1、数学精神与方法数学精神与方法第八讲第八讲 拓扑眼光看世界（一）拓扑眼光看世界（一） 从感觉开始从感觉开始v人用啼哭声向世界宣布了自己的降生。光的闪烁和亲人的拍打使他进入人用啼哭声向世界宣布了自己的降生。光的闪烁和亲人的拍打使他进入了一个感觉世界。了一个感觉世界。v人们根据自己的经验去认识客观世界，即现实存在的世界。人们根据自己的经验去认识客观世界，即现实存在的世界。 这些经验构成了科学的原始材料，并在人的头脑中以某种方式被加工整这些经验构成了科学的原始材料，并在人的头脑中以某种方式被加工整理，产生出秩序理，产生出秩序、结构和系统；这就形成了科学的内容和体系。结构和系统；这就形成了科学的内容和体

2、系。 这些科学内容健全了我们思维的基础，依靠它们我们天天去考察和评价这些科学内容健全了我们思维的基础，依靠它们我们天天去考察和评价各种事物和各种自然现象。各种事物和各种自然现象。v冷眼观察科学体系的大厦，我们就会发现其基础由一些确定的假设或公冷眼观察科学体系的大厦，我们就会发现其基础由一些确定的假设或公理构成。在这些假设中，从哲学的视角看，最根本的是一种信念，即，理构成。在这些假设中，从哲学的视角看，最根本的是一种信念，即，相信世界不依赖于我们，也不取决于我们的认识而客观地存在着，并且相信世界不依赖于我们，也不取决于我们的认识而客观地存在着，并且这客观世界存在着一定的秩序和结构。我们大家也都同

3、意这样一种信念，这客观世界存在着一定的秩序和结构。我们大家也都同意这样一种信念，即，相信我们能够感觉客观世界及其秩序和结构的存在。即，相信我们能够感觉客观世界及其秩序和结构的存在。v那么，现在就让我们用拓扑的眼光来感觉感觉这世界的景象吧！那么，现在就让我们用拓扑的眼光来感觉感觉这世界的景象吧！拓拓 扑扑 眼眼 光光v以拓扑的眼光来观察，世界以拓扑的眼光来观察，世界会是什么样子？会是什么样子？ v世界世界 = 空间空间 + 时间时间 + 运动运动 v拓扑的眼光（拓扑眼）是怎拓扑的眼光（拓扑眼）是怎样观看空间、时间和运动的样观看空间、时间和运动的呢？呢？拓扑眼怎样观看空间拓扑眼怎样观看空间v虽然以

4、上的（一维虽然以上的（一维) 几何图形形状各异，但拓扑眼将它们视为同一的空几何图形形状各异，但拓扑眼将它们视为同一的空间而不予区分！间而不予区分！圆周三叶结一条封闭软绳的拓扑变换一条封闭软绳的拓扑变换在四维欧氏空间中可实现这样的变换面窝的拓扑变换面窝的拓扑变换v拓扑眼感兴趣的几何性质是那些最为持久不变的的东西，即那些能拓扑眼感兴趣的几何性质是那些最为持久不变的的东西，即那些能在扭曲和拉伸后仍能保持的性质；扭曲与拉伸只在没有断开原来连在扭曲和拉伸后仍能保持的性质；扭曲与拉伸只在没有断开原来连通的地方，也不连接原来本不连通的地方时才被允许。通的地方，也不连接原来本不连通的地方时才被允许。拓拓扑扑眼

5、眼蕴蕴藏藏的的基基本本概概念念v拓扑空间是一个高度抽象的概念；在此，空间的延展性（连续性）已不能借助于拓扑空间是一个高度抽象的概念；在此，空间的延展性（连续性）已不能借助于度量的手段来描述，而靠拓扑来描述。度量的手段来描述，而靠拓扑来描述。 。，；，。，：是是一一个个拓拓扑扑空空间间或或简简称称为为一一个个拓拓扑扑空空间间此此时时称称个个开开集集中中的的每每个个集集合合都都称称作作一一并并将将上上的的一一个个拓拓扑扑为为那那么么称称交交属属于于中中任任意意有有限限多多个个集集合合的的于于中中任任意意多多个个集集合合的的并并属属属属于于和和如如果果的的一一个个子子集集族族是是是是一一个个集集合合

6、设设拓拓扑扑空空间间的的定定义义XXXXXX,321 。，。，：是是一一个个连连续续映映射射那那么么称称的的一一个个开开集集必必是是开开集集的的任任意意如如果果对对是是一一个个映映射射是是拓拓扑扑空空间间设设连连续续映映射射的的定定义义YXfXVfVYYXfYX:,1v连续映射的观念是一种极有价值的思想。运用这一思想，空间连续映射的观念是一种极有价值的思想。运用这一思想，空间、时间和运动、时间和运动的的概念会得到一次概念会得到一次“粗化粗化”的提升的提升。这种。这种“粗化粗化”模式的观察方式体现出拓扑眼模式的观察方式体现出拓扑眼（即，拓扑眼光）的意味。（即，拓扑眼光）的意味。无形胜有形，无形胜

7、有形，无招胜有招无招胜有招一种境界！一种境界！。，。，。，：拓拓扑扑等等价价的的是是同同胚胚的的，又又称称它它们们是是与与则则称称之之间间有有同同胚胚存存在在和和如如果果拓拓扑扑空空间间是是一一个个同同胚胚则则称称连连续续的的都都是是和和如如果果为为双双射射是是拓拓扑扑空空间间和和设设同同胚胚的的定定义义 YXYXfffYXfYX1:v拓扑眼看到的空间拓扑眼看到的空间 在拓扑眼看来，拓扑等价的空间没有区别，可视为同一在拓扑眼看来，拓扑等价的空间没有区别，可视为同一个空间；拓扑眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注与这个空间；拓扑眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注

8、与这个空间拓扑等价的全体空间所共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不个空间拓扑等价的全体空间所共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不变量，例如，变量，例如， 稠密性、可分性、紧致性、连通性，稠密性、可分性、紧致性、连通性， Hausdorff分离性、正则性、正规性，分离性、正则性、正规性， 有边与无边，可定向与不可定向，有边与无边，可定向与不可定向， 维数、维数、Euler示性数，示性数， 同调群、同伦群，等等；同调群、同伦群，等等； 拓扑眼区分出两个空间的不同是靠观察到它们具有不同的拓扑性质而实现的。拓扑眼区分出两个空间的不同是靠观察到它们具有不同的拓扑性质而实现的。拓扑空间的例子拓

9、扑空间的例子Mbius带 的制造环面 的制造Klein带 的制造v拓扑学最简单的观念拓扑学最简单的观念产生于对周围世界的产生于对周围世界的直接观察。直观地说，直接观察。直观地说，关于图形几何性质的关于图形几何性质的探讨不限于其探讨不限于其“度量度量”性质（长度，角度等性质（长度，角度等等）方面的知识，在等）方面的知识，在经典几何学范围之外经典几何学范围之外还有丰富的内容。还有丰富的内容。v在拓扑学中，量被完在拓扑学中，量被完全排除了，它以纯定全排除了，它以纯定性的视角看待空间，性的视角看待空间，空间因此是无定形的空间因此是无定形的和独立于测量仪器的。和独立于测量仪器的。 德国数学家德国数学家M

10、biusbius和和KleinKlein A. F. Mobius: 1790 - 1868, GermanyF. C. Klein: 1849 -1925, Germany拓扑眼怎样观看时间拓扑眼怎样观看时间为表达我们的时间概念，先引入必要的代数结构。为表达我们的时间概念，先引入必要的代数结构。 。：。，：。，：，：，：，：的的映映射射到到一一个个从从上上的的一一个个二二元元运运算算是是指指是是一一个个非非空空集集合合设设注注为为交交换换群群那那么么称称的的逆逆元元为为此此时时称称适适合合对对存存在在逆逆元元还还满满足足上上的的二二元元运运算算果果是是一一个个交交换换幺幺半半群群。如如设设交

11、交换换群群的的定定义义上上的的加加法法称称作作二二元元运运算算为为交交换换幺幺半半群群那那么么称称恒恒有有使使得得对对存存在在幺幺元元恒恒有有对对交交换换律律成成立立恒恒有有对对结结合合律律成成立立使使得得上上有有一一种种二二元元运运算算是是一一个个非非空空集集合合。如如果果设设交交换换幺幺半半群群的的定定义义GGGGGGaboabbaGbGaGGGGaaooaGaGoabbaGbacbacbaGcbaGG.4.3.,2.,1 我们的时间观念是通过计时系统来表达的，而计时系统我们的时间观念是通过计时系统来表达的，而计时系统在此将被抽象为一个这样的数学概念在此将被抽象为一个这样的数学概念 拓扑交

12、换群，或，拓扑交换幺半群。拓扑交换群，或，拓扑交换幺半群。 拓扑交换群拓扑交换群：如果如果G是一个交换群，并且其上装备了一个是一个交换群，并且其上装备了一个Hausdorff拓扑，使得群运算，即加法及其逆运算，在此拓拓扑，使得群运算，即加法及其逆运算，在此拓扑下是连续的，那么称扑下是连续的，那么称G为为拓扑交换群拓扑交换群。 拓扑交换幺半群拓扑交换幺半群：如果如果G是一个交换幺半群，并且其上装是一个交换幺半群，并且其上装备了一个备了一个Hausdorff拓扑，使得半群运算，即加法，在此拓拓扑，使得半群运算，即加法，在此拓扑下是连续的，那么称扑下是连续的，那么称G为为拓扑交换幺半群拓扑交换幺半群

13、。时间，不论长短，只论时刻。时间，不论长短，只论时刻。v拓扑眼看到的时间拓扑眼看到的时间 在拓扑眼看来，时间，不论长短，只论时刻，可在拓扑眼看来，时间，不论长短，只论时刻，可用拓扑交换群（或拓扑交换幺半群）的概念来描述用拓扑交换群（或拓扑交换幺半群）的概念来描述所有观察时刻所有观察时刻在结构上形成一个拓扑交换群（或拓扑交换幺半群），其中观察的初在结构上形成一个拓扑交换群（或拓扑交换幺半群），其中观察的初始时刻用群的零元来代表。始时刻用群的零元来代表。v注意：注意：时间有三条基本属性，连续性时间有三条基本属性，连续性、交换可加性和单一方向性。连交换可加性和单一方向性。连续性和交换可加性可以用拓扑

14、交换群的拓扑结构和群结构自然地加以续性和交换可加性可以用拓扑交换群的拓扑结构和群结构自然地加以表现；而时间的单一方向性，则可以用拓扑性质表现；而时间的单一方向性，则可以用拓扑性质维度限定在维度限定在“0维维”或或“1维维”来加以体现。来加以体现。拓扑交换群与拓扑交换幺半群的例子拓扑交换群与拓扑交换幺半群的例子成成了了一一个个拓拓扑扑交交换换群群。对对值值诱诱导导的的拓拓扑扑，就就构构加加法法下下并并配配备备由由绝绝全全体体实实数数在在习习以以为为常常的的实实数数加加群群:，R群群。成成了了一一个个拓拓扑扑交交换换幺幺半半对对值值诱诱导导的的拓拓扑扑，就就构构加加法法下下并并配配备备由由绝绝全全

15、体体非非负负实实数数在在通通常常的的实实数数幺幺半半群群:，R以上两例可谓是我们通常最常用的计时系统；其他常用计时系统的例子还有：以上两例可谓是我们通常最常用的计时系统；其他常用计时系统的例子还有：拓拓扑扑交交换换幺幺半半群群。离离散散拓拓扑扑，就就构构成成一一个个在在通通常常加加法法下下配配以以全全体体非非负负整整数数离离散散拓拓扑扑, , ,整整数数幺幺半半群群。就就构构成成一一个个拓拓扑扑交交换换群群下下配配以以离离散散拓拓扑扑，全全体体整整数数Z Z在在通通常常加加法法离离散散拓拓扑扑, ,Z Z, ,整整数数加加群群ZZ:时时系系统统。常常常常作作为为周周期期运运动动的的计计圆圆周周

16、群群和和n n次次单单位位根根群群。构构成成了了一一个个拓拓扑扑交交换换群群并并配配备备离离散散拓拓扑扑， 集集合合，在在复复数数乘乘法法下下，的的n n个个复复根根组组成成的的1 1z z表表示示代代数数方方程程以以 离离散散拓拓扑扑, , , n n次次单单位位根根群群拓拓扑扑交交换换群群的的拓拓扑扑，就就构构成成了了一一个个数数模模诱诱导导在在复复数数乘乘法法下下配配备备由由复复S S复复平平面面上上的的单单位位圆圆周周园园周周群群n nn nn nn n1 1:。，1Sv时间，为什么不论长短而只论时刻？时间，为什么不论长短而只论时刻？ 科学家的时间起源于心理上对于发生在同一意识中的现象

17、进行分类；因此，同时性概念在科学家的时间起源于心理上对于发生在同一意识中的现象进行分类；因此，同时性概念在时间观念中不可或缺。两个事件是否同时发生对不同的观察者（例如，作相对匀速直线运时间观念中不可或缺。两个事件是否同时发生对不同的观察者（例如，作相对匀速直线运动的两个观察者）并不总是得出相同的结果；这意味着同时性是相对的，只能作为约定的动的两个观察者）并不总是得出相同的结果；这意味着同时性是相对的，只能作为约定的结果。时刻的概念可以说就是对同时性的约定。结果。时刻的概念可以说就是对同时性的约定。庞加莱论空间和时间庞加莱论空间和时间v空间为什么是相对的？它在多大程度上是相对的？很清楚，如果我们

18、周围的所空间为什么是相对的？它在多大程度上是相对的？很清楚，如果我们周围的所有物体和我们身体本身以及我们的测量仪器在它们彼此之间的距离丝毫不变的有物体和我们身体本身以及我们的测量仪器在它们彼此之间的距离丝毫不变的情况下被转移到空间的另一个区域，那么我们便不会觉察到这一转移。情况下被转移到空间的另一个区域，那么我们便不会觉察到这一转移。假假使所有的物体也和我们的测量仪器以相同的比例伸长，我们也不会觉察到伸长使所有的物体也和我们的测量仪器以相同的比例伸长，我们也不会觉察到伸长的发生。因此，我们不仅无法知道物体在空间中的绝对位置，甚至连的发生。因此，我们不仅无法知道物体在空间中的绝对位置，甚至连“物

19、体的物体的绝对位置绝对位置”这种说法也毫无意义，我们同意仅仅说它相对于另一物体的位置；这种说法也毫无意义，我们同意仅仅说它相对于另一物体的位置；“物体的绝对大小物体的绝对大小”和和“两点之间的绝对距离两点之间的绝对距离”的说法也无意义；我们必须说的说法也无意义；我们必须说的只是两个大小的比例、两个距离的比例。的只是两个大小的比例、两个距离的比例。v但是，就此而言还有更多的东西：让我们设想，所有的物体都按某一比原先更但是，就此而言还有更多的东西：让我们设想，所有的物体都按某一比原先更复杂的规律形变，不管任何规律，我们的测量仪器也按同一规律形变。这样，复杂的规律形变，不管任何规律，我们的测量仪器也

20、按同一规律形变。这样，我们也将不能觉察出形变这一点；空间比我们通常认为的还要相对的多。我们我们也将不能觉察出形变这一点；空间比我们通常认为的还要相对的多。我们只能觉察到物体的跟测量仪器之形变按不同规律进行且同时发生的形变。只能觉察到物体的跟测量仪器之形变按不同规律进行且同时发生的形变。v空间具有独立于用来测量它的仪器的几何学特性吗？我们说过，如果我们的仪空间具有独立于用来测量它的仪器的几何学特性吗？我们说过，如果我们的仪器经受了同样的形变，那么空间也能够在我们意识不到它的情况下经受无论什器经受了同样的形变，那么空间也能够在我们意识不到它的情况下经受无论什么样的形变。因此，空间实际上是无定形的、

21、松弛的形式，没有刚性，它能适么样的形变。因此，空间实际上是无定形的、松弛的形式，没有刚性，它能适应于每一个事物；它没有自己的特性。应于每一个事物；它没有自己的特性。把空间把空间几何化就是研究我们的仪器的几何化就是研究我们的仪器的性质，即研究固体的性质。性质，即研究固体的性质。v但是，由于我们的仪器是不完善的，每当仪器被改进时，几何学必须修但是，由于我们的仪器是不完善的，每当仪器被改进时，几何学必须修正。正。如果仪器理想的话，那么几何学就是研究仪器所具有的性质。但是，如果仪器理想的话，那么几何学就是研究仪器所具有的性质。但是，为了做到这一点，就必须知道，什么是理想的仪器（而我们并不知道，因为不为

22、了做到这一点，就必须知道，什么是理想的仪器（而我们并不知道，因为不存在理想的仪器），只有借助于几何学，才能够确定理想的仪器；这是一种循存在理想的仪器），只有借助于几何学，才能够确定理想的仪器；这是一种循环论证。环论证。v于是，我们将说，几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规于是，我们将说，几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规律几乎没有什么不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自律几乎没有什么不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自然界的物体，但却能够用心智把它们构想出来。在这种意义上，几何学是一种然界的物体，但却能够用心智把它们构想出来

23、。在这种意义上，几何学是一种约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远离我们的仪器告诉我们的知识约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远离我们的仪器告诉我们的知识这种愿望之间的粗略折衷方案。这种约定既定义了空间，也定义了理想仪器。这种愿望之间的粗略折衷方案。这种约定既定义了空间，也定义了理想仪器。v我们就空间所说过的话也适用于时间。我们就空间所说过的话也适用于时间。 时间本质上是相对的。如果所有的现时间本质上是相对的。如果所有的现象都慢下来，我们的钟表也如此，那么我们便不会意识到它；无论支配这种放慢象都慢下来，我们的钟表也如此，那么我们便不会意识到它；无论支配这种放慢的规律是什么，情况都是如

24、此，只要它对于所有各种现象和所有钟表都相同。因的规律是什么，情况都是如此，只要它对于所有各种现象和所有钟表都相同。因此，时间的特性只不过是我们的钟表的性质而已，正如空间的特性只不过是测量此，时间的特性只不过是我们的钟表的性质而已，正如空间的特性只不过是测量仪器的特性一样。仪器的特性一样。v我们不仅没有关于两段时间相等的直觉，甚至没有关于发生在两个不同地点的两我们不仅没有关于两段时间相等的直觉，甚至没有关于发生在两个不同地点的两个事件的同时性的直觉。个事件的同时性的直觉。v一个事件发生在地球上，另一个事件发生在天狼星上；我们将怎样知道，谁在前一个事件发生在地球上，另一个事件发生在天狼星上；我们将

25、怎样知道，谁在前发生，或者同时发生，或者在后发生呢？这只能是作为约定的结果。发生，或者同时发生，或者在后发生呢？这只能是作为约定的结果。v空间和时间不再是两个绝然不同的、能够被独立看待的实体，而是同一整体的两空间和时间不再是两个绝然不同的、能够被独立看待的实体，而是同一整体的两个部分，是两个如此紧密结合的部分，以致于不能轻易地把它们分开。个部分，是两个如此紧密结合的部分，以致于不能轻易地把它们分开。大数学家庞加莱大数学家庞加莱v虽然最初一些虽然最初一些重要的拓扑结重要的拓扑结果和关系早已果和关系早已为欧拉、高斯为欧拉、高斯和黎曼所发现，和黎曼所发现，但是，拓扑学但是，拓扑学作为科学的分作为科学

26、的分支是在支是在19世纪世纪由庞加莱奠基由庞加莱奠基的。的。J.H. Poincare（1854 1912）法国伟大的数学家和哲学家。）法国伟大的数学家和哲学家。拓扑眼怎样观看运动拓扑眼怎样观看运动 。的是动力系统称连续的最大拓扑，那么映射并在其上定义使得自然。又命和的通过分别称作，记；并对或上的一个为那么称）（的零元，表示其中）（是一个连续映射。如果扑交换幺半群，是一个拓扑交换群或拓是一个拓扑空间，设轨轨道道空空间间轨轨道道流流半半拓拓扑扑动动力力系系统统拓拓扑扑动动力力系系统统拓拓扑扑动动力力系系统统GXxxGXXXxxGXxGgxxGggxxXxXGbaXxbaxbaxGoXxxoxXG

27、XGXggOrb,:,Orb:,:Orb,:,2,1:拓扑动力系统拓扑动力系统及其轨道空间及其轨道空间拓扑共轭拓扑共轭是拓扑共轭的。与那么称，使得在同胚两个连续映射。如果存是和设gfhgfhYXhYYgXXf:连连续续映映射射间间的的拓拓扑扑共共轭轭YgYhhXfX 是拓扑共轭的。与那么称，使得。如果存在同胚和它们的流分别表示为是两个拓扑动力系统，和扑交换幺半群；又设是一个拓扑交换群或拓是两个拓扑空间，和设GghhYXhxxYGYXGXGYXgggg:动力系统间的拓扑共轭动力系统间的拓扑共轭GgYYhhXXgg拓扑眼看运动拓扑眼看运动v世界上的运动虽然是复杂的和多样的，但可以被归结为一些基本的

28、模式加以观察世界上的运动虽然是复杂的和多样的，但可以被归结为一些基本的模式加以观察和研究。在拓扑眼看来，拓扑动力系统就是运动的基本模式之一。和研究。在拓扑眼看来，拓扑动力系统就是运动的基本模式之一。v拓扑眼观察运动时，把拓扑共轭的拓扑动力系统看作是同一种运动模式而不予区拓扑眼观察运动时，把拓扑共轭的拓扑动力系统看作是同一种运动模式而不予区分。因此，拓扑眼对运动的观察是定性的观察，是整体的观察。当它观察一个质分。因此，拓扑眼对运动的观察是定性的观察，是整体的观察。当它观察一个质点的运动情况时，它关心的是该质点的最终的运动趋势和整体轨道的定性性态；点的运动情况时，它关心的是该质点的最终的运动趋势和

29、整体轨道的定性性态；当它观察一个质点组的运动情况时，即观察一个子空间的运动情况时，它关心的当它观察一个质点组的运动情况时，即观察一个子空间的运动情况时，它关心的是该质点组最终的运动趋势、各质点的轨道性态以及各轨道间的关系。是该质点组最终的运动趋势、各质点的轨道性态以及各轨道间的关系。v了解一个拓扑动力系统的轨道空间，可以给出对该系统所支配运动的一种总体看了解一个拓扑动力系统的轨道空间，可以给出对该系统所支配运动的一种总体看法，可以看作是对动力系统所呈现的力场的一个总体看法。法，可以看作是对动力系统所呈现的力场的一个总体看法。龟兔赛跑龟兔赛跑拓扑动力系统一例拓扑动力系统一例考虑实数轴的拓扑子空间考虑实数轴的拓扑子空间., 2 , 1 , 01011100,0210nxxxxXnkkn其中在其上定义一个拓扑动力系统如下：在其上定义一个拓扑动力系统如下：.,:Z ZmXxxxnnmnm这样，就定义了拓扑交换幺半群这样，就定义了拓扑交换幺半群Z