天然气管道建设模型

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）12天然气管线设计优化模型摘要本题对天然气管线铺设方案进行设计，从距离、管道费用的不同等方面充分考虑设计的最优化原则，运用线性规划建立数学模型，通过和软件进行求解。针对问题一主要考虑、天然气供应站到铁路线的距离以及两天然气供应站间的距离（转化为投影到铁路线距离）对管线设计的影响，并以是否存在共用管道为条件建立两种模型。模型一：没有共用管道情况，运用镜像对称原则找

2、出到铁路线距离和最短的点，建立数学模型，求、到点距离和最小值（即为总费用最少）。模型二：有公用管道，先确定两非公用管道与共用管道交点，再根据距离和对应的管道费用求出最小总费用，建立模型： 。讨论模型中距离不同对结果的确定最优设计影响，。针对问题二主要考虑有没有附加费的问题，先由权重估算附加费，在有无附加费的分界线即城、郊区分界线找一点类似问题一建立两种模型。模型一：求出、和对应费用积算出最小总费用建立模型：。模型二：求出、和对应费用积算出最小总费用建立模型：，确定最优设计。针对问题三区别于问题二就是每段管道费用都有所不同即、，在问题二模型的基础上改变每段对应的费用值以最小总费用为目标函数确定最

3、优设计。关键字： 线性规划 镜相对称 权重估算 一、 问题的重述某天然气公司计划在铁路线一侧建造两家天然气供应站，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送天然气，在以下的前提下设计费用最省的方案。问题一：针对两天燃气供应站到铁路线距离和两天燃气供应站间距离的各种不同情形，提出建立管线建设费用最省的设计方案。在设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非公用管线费用相同或不同的情形。问题二：设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两天燃气供应站的具体位置有附图所示，其中厂位于郊区（图中的区域），厂位于城区（图中的区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示距离（单位：千米）分别为，

4、。若所有管线的铺设费用均为每千米7.6万元。铺设在城区的管线还需增拆迁和工程补偿等附加费用，为对此附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（公司一具有甲级资质，公司二和三具有乙级资质）进行了估算。其中公司一附加费用为21万元/千米，公司二为24万元/千米，公司三为20万元/千米。请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。问题三：在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据该燃气公司的生产能力，选用相适应的管道。这时的管线铺设费用将分别降为输送厂天然气的每千米6万元，输送厂天燃气的每千米6.4万元，共用管线费用为每千米7.6万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二 问题的分析首

5、先仔细阅读题目搞清楚本题到底要求什么、约束条件是什么从哪些方面开始考虑等。第一步分析第一题，两供应站间距离和两供应站到铁路线的距离不确定，并且有无公共管道也得考虑，综合以上情况以距离为计算条件，以有无公共管道为讨论条件，得如下结论： 公私管道费用相同 求最短距离 有公用管道 公私管道费用不同 求最少费用 综合分析 综合最少费用 无公用管道 求最短距离 如果没有公用管道时，就可以直接求出设计管线的最短距离就是费用最少的情况，这就可以转化为求最短距离问题，可作出图（1）。如果有公共管道，首先得考虑求出公共管道与非公管道的交点，再求出最短距离，可作出图（2）。第二步分析第二题，第二题给出了、的具体位

6、置并且城、郊区的管道费用有较大区别，根据权值估算出附加费。在总体上还是将此问题分为两类（有无公共管道），费用的差别这就要求我们在第一问基础上着重考虑城、郊区分界线右边的变化，与上面进行区别，根据两点间距离最短可大致做出图（3）（4）第三步分析第三题，与第二问唯一的区别就是、间非公用管道的费用不同，因此可继续使用第二问的模型进行求解。”Q (1)(2) （4）(3) 三、模型的假设（1） 将两个天然气供应站看做质点。（2） 不考虑车站在铁路上的位置。（3） 地形对两天然气站的选址没有影响，其位置可以任意选择。（4） 有足够多的管道可以满足建设的需要。四、符号说明：两家天然气供应站管线的交点： 共

7、用管道与铁路线交点： 城郊区分界线上一点：关于铁路线的对称点：天然气供应站到铁路线的距离：天然气供应站到铁路线的距离：点到的距离：点到铁路线的距离： 两厂之间的水平距离： A点到城郊分界线的水平距离：共用管道费用：站非共用管道费用：站非共用管道费用： 附加费用： 管线的总费用五、模型的建立及求解5.1 问题1的解决 在天然气管道的设计时应该考虑有无共用管线，所以我们分有无共用管线两种情况进行模型建立。 当无共用管线时： 作关于的对称点,连接 交直线 与。此时间的距离为管线设计的最短距离，由勾股定理可得： 当时 当时 当有公用管线时： 由勾股定理列出其函数关系式： 的偏导【1】： 的偏导： 联立

8、、方程得： 将、带入式得： 当时： 当时： 将、带入式得： 当时： 当时： 通过计算可得：无论还是，都等于。因为所以函数是最优设计。因为都为变量所以应该根据实际情况来计算和，得到和的值后比较两者的大小并做出正确的选择。5.2 问题2的解决由于厂位于城区因此通过城区的天然气管道要增加附加费，所以要对附费进行估计。通过题中信息可知三个公司的资质不同，公司一是甲级资质，公司二和公司三是乙级资质因此设公司一、公司二、公司三的权重分别为40%，30%，30%。可得每千米管道的附件费为： 当无共用管道时： 设为一个动点，建立函数关系式： 根据镜像对称原理得到距离最短。根据三角形相似得到： 经过软件计算得到

9、： 当有共用管道时：由勾股定理建立函数关系式： 同理可得： 经过软件计算得到： 5.3 问题的解决 由于问题3是建立在问题2的模型之上的，因此当两个天然气厂的管线 建设费用不同时将其数值带入问题2的模型即可得到相应的最佳设计方案和相应的费用。 经过计算得到： 无共用管线时其费用为： 有共用管道时其费用为： 六、模型的评价模型的优点（1）运用的模型简单易懂，有很好的实际指导意义（2）根据模型可推算出管线建设费用最省的设计方案，对设计院有很好的实施意义。（3）利用我们建立的模型二可帮助设计院选择最合理的咨询公司，花费最少的设计费用。（4）对于题目中的问题作出了合理的假设，多方位联系实际情况对于模型

10、的影响，多层次优化了模型。模型的缺点（1） 本题是建立管线的问题，没有考虑地形是否对施工有影响。（2） 没用考虑管道交界处的费用，估计的费用可能会和实际费用有偏差。参考文献1 黄中升等，高等应用数学，出版社：中国铁道出版社附录第一题：>> syms a b x y l t;>> t=solve('x/sqrt(x*x+(y-a)2)+(x-l)/sqrt(x-l)2+(y-b)2)=0','(y-a)/sqrt(x2+(y-a)2)+(y-b)/sqrt(x-l)2+(y-b)2)+1=0',x,y);>> t.x ans =

11、 -1/2*(-6*a*b+3*a2-l2+3*b2+3*(-b+a+1/3*3(1/2)*l)*b-3*a*(-b+a+1/3*3(1/2)*l)/l -1/2*(-6*a*b+3*a2-l2+3*b2+3*(-b+a-1/3*3(1/2)*l)*b-3*a*(-b+a-1/3*3(1/2)*l)/l >> t.y ans = 1/2*a+1/2*b-1/6*3(1/2)*l 1/2*a+1/2*b+1/6*3(1/2)*l第二题程序：min=7.6*(25+x*x)0.5+(h*h+(15-x)*(15-x)0.5)+29.2*(25+(8-h)*(8-h)0.5;x*h=75

12、-5*x;x>=0;h>=0; Variable Value Reduced Cost X 6.163266 -0.2413405E-07 H 7.168872 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 294.7997 -1.000000 2 -0.2806044E-07 0.000000 3 6.163266 0.000000 4 7.168872 0.000000min=7.6*(5-y)*(5-y)+x*x)0.5+(h-y)*(h-y)+(15-x)*(15-x)0.5+y)+29.2*(25+(8-h)*(8-h)0.5;x*

13、(h-y)=(15-5*x)*(5-y);x>=0;h>=0; Variable Value Reduced CostY 2.933758 0.000000X 2.077644 0.000000H 7.520227 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 295.4488 -1.0000002 0.000000 0.1188843 3 2.077644 0.000000 4 7.520227 0.000000第三题程序：min=6*(25+x*x)0.5+6.4*(h*h+(15-x)*(15-x)0.5+28*(25+(8-h)*(8-

14、h)0.5;x*h=75-5*x;x>=0;y>=0; Variable Value Reduced Cost X 6.126887 -0.2370504E-07 H 7.241127 0.000000 Y 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 262.3499 -1.000000 2 -0.4755962E-07 0.2531651E-01 3 6.126887 0.000000 4 0.000000 0.000000min=6*(5-y)*(5-y)+x*x)0.5+6.4*(h-y)*(h-y)+(15-x)*(15-x)0.5+7.6*y+28*(25+(8-h)*(8-h)0.5;x*(h-y)=(15-5*x)*(5-y)