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文档简介

1、8.3 空间点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质(1) 公理 1 :如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内它的作用是可用来证明点在平面内或 (2) 公理2:过 上的三点,有且只有一个平面公理 2 的推论如下:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面,或用来证明点、线共面(3) 公理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点的公共直线它的作用是可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线、三线共点等问题2空间两条直线的位置关系(4) 位置关系的分

2、类相交直线:同一个平面内,有且只有.平行直线:同一个平面内, .异面直线:不同在任何一个平面内, .(5) 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注:异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”异面直线的画法:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交,也不共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性异面直线所成的角:已知两条异面直线 a, b,经过空间任一点O作直线a' /a, b' / b,把a'

3、;与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直 线所成角的范围是 .若两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线,所以空间两条直线垂直分为相交垂直和 .(6) 行公理公理4:平行于 的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了 判断空间两条直线平行的依据.4.等角定理等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .自查自纠1 . (1)两点直线在平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条2 . (1) 一个公共点没有公共点没有公共点汽(2)0,互相垂直异面垂直3 .同一条直线4 .相等或互补16 / 26给出下列命题:经过三点确定一个平面

4、;梯形可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确命题的个数是()A 0B 1C 2D 3解:经过不共线的三点可以确定一个平面,错误;两条平行线可以确定一个平面, 正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,正确;命题中没有说明三个 交点是否共线,这两个平面可能相交或重合,错误.故选C.(2015 广东)若直线li和12是异面直线,li在平面a内,I2在平面3内,1是平面”与平面3的交线,则下列命题正确的是()A l 与 l i, l 2 都不相交B l 与 l i, l 2 都相交C l 至多与 l i, l 2 中的一条

5、相交D l 至少与 l 1, l 2 中的一条相交解:可用反证法,假设l与li, 12都不相交,因为 l与li都在平面 a内,于是1 / 1 1,同理l / l 2,于是l 1 / l 2与已知矛盾.故选 D.若点 PC a , QC a , RC B , a A §=mi且F?mPQPm M 过P,Q,R三点确定一个平面丫,则B n 丫是()A.直线QRB.直线PRC.直线 RMD,以上均不正确解:. PCT m M m? B , ,MC § .又MC平面PQR即M 丫,故M是§与丫的公共点.又 RC § , RC 平面 PQR 即 RC 丫,.R是3

6、与丫的公共点.,3 n 丫 =MR故选C.如图是正四面体的平面展开图,G,H, M, N分别为DU BU EF, EC的中点,在这个正四面体中,GHW EF平行;Bg MN异面直线;GHW MN 60 角;DE与MNB直.以上四个命题中,正确命题的序号是解:把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GHT EF为异面直线,BD与MM异面 已知正方体 ABCDAiBCD中,E, F分直线,GHW MN 60。角,DEI MN故填.别为BB, CC的中点,那么异面直线 AE与DF所成角的余弦值为 解:连接DF,则AE/ DF,DFD即为异面直线 AE与DF所成的角.设正方体的棱长为 a,则DD= a,

7、 DF= DF= -2acos ZDFD=冬+当a -a22 .更a .吏a22a 2 a=3.故填3 55类型一 基本概念与性质问题在正方体ABC-DA1B1C1D1 中 , E, F 分别为棱 AA, CC的中点,则在空间中与三条直线AD, EF, CD都相交的直线 有条解:如图示,在EF上任取一点 M直线AiD与M确定一个平面,这个平面与 CD有且仅有1个交点N当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点 N而直线MNW这3条直线都有交点.故填无数.【点拨】 本题难度不大,但比较灵活解题关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面,进而找出与三条异面直线都相

8、交的直线解决点、线、面位置关系问题可借助平面、立体 ( 长方体、正方体 ) 模型,有利于我们看清问题一个正方体的展开图如图所示,A,B, C, D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(A. AB/ CDB. AB与 CDK交C. ABL CDD. AB与C所成的角为60。解:将展开图还原,得如图所示正方体,易知 AB与CD是异面直线,且它们所成的角为 60° . 故选D.类型二 点共线、线共点问题如图,空间四边形 ABCM, E, F分别是 AB AD的中点,G H分别在 BC CD±,且 BG GC= DH: HC= 1 : 2.(1)求证:E, F, G, H四点共面;

9、(2)设EG与FH交于点P,求证:P, A, C三点共线.证明:(1) ; E, F分别为AB AD的中点, EF/ BD- i BG DH 1在abcdK 弱hc=% .GH/ BDEF/ GH.E, F, G, H四点共面.(2) ES FH= P, PC EG EG 平面 ABC二PC平面 ABC同理PC平面 ADC.P为平面ABC平面ADC勺公共点.又平面 AB©平面 ADC= ACPC AC即P, A, C三点共线.【点拨】(1)证明四点共面的基本思路:一是直接证明,即利用公理或推论来直接证明;二是先由其中不共线的三点确定一个平面,再证第四个点也在这个平面内即可.(2)要证

10、明点共线问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上,本题即采用这种证法;或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.(3)证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上,如变式2.如图 , 在正方体ABCD- A1B1C1D1 中 ,E, F 分别为AB, AA1 的中点求证:(1) EF/ DC;(2) CE DF, DA三线共点.证明:(1)连接 A1B,则 EF/ AB, AB/ DC . . EF/ DC(2) .面 AADDA 面 ABCD DAr1且 EF/ DC, EF= 2DC,DF与

11、CE相交.又 DF?面 AADD, CE?面 ABCD.DF与CE的交点必在DA上. CE DF, DA三线共点.类型三共面问题如图,四边形 ABEF和ABCDO是直角梯形,/BAD=/FAB= 90。,BC统;AQ BE旧FA G H分别为FA FD的中点.(1)证明:四边形BCH遑平行四边形;(2) C D F、E四点是否共面?为什么?解:(1)证明:GHAFD的中位线,GHB;AD又 BCgAD ,GHB BC,四边形BCH陵平行四边形.(2) C D F、E四点共面.,1 一理由:BE触,AF,又由G为FA的中点知,BE触FG.四边形BEFG平行四边形,EF/ BG 由(1)知 BG/

12、 CHEF/ CHEF与CH共面.又 DC FH C D F、E四点共面.【点拨】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似,即先由部分点或者线确定一个平面,再证明其余的点或者在该平面内,或者由另外一部分点确定另一个平面,再证明这两个平面是同一个平面.无论是点共线、线共点问题,还是共面问题,我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理,其演绎推理的基本步骤是:首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面,再运用公理或者推论,证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内.下列如图所示的正方体和正四面体P、 Q、 R、 S 分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是 ( 填所有满足条件图形的序号)解:易知中P

13、S/ QR,四点共面.在中构造如图所示的含点P, S, R Q的正六边形,易知四点共面.在中,由点 P, R, Q确定平面”,由图象观察知点 S在平面a外,因此四点不共面.综上知,故填.类型四异面直线问题(2014全国)已知二面角a-l- §为 60 , AB? a , ABL l , A 为垂足,CD?B , CC l , / AC告135° ,则异面直线 AB与CD1D.2所成角的余弦值为()C.-3B.2A.1444解:如图,在平面 a内过点 C作CE/ AB,并取 CE 1,在平面 3内过点 C作CF,1,并取C曰1,过点F作FD/1 ,则易知 CFM等腰直角三角形

14、./ ECM 60° ,,EF= 1, CD= ®,/EFD= 90° , DE= J2.于是/ ECD为异面直线 AB与CD所成的角或其、“ .CEa CD2- ED2 12+ ( 2) 2 ( 2) 22 补角,故cos / ECD=H广=号-.故选 B.2CE- CD2X1X 24【点拨】 探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为“一作,二证,三求”,通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角,其中空间选点任意但要灵活,如常选择端点、中点、等分点,通过三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行平移等这是研究空间图形的

15、一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题如图所示,在三棱锥P- ABC 中,PA,平面 ABC / BAC= 60 , PA= AB= AC= 2, E是 PC的中点.(1)求证:AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.解:(1)证明:假设AE与PB共面,设此平面为 a.AC a , BC a , EC a ,,平面a即为平面ABEPC 平面 ABE显然这与P?平面AB野盾,AE与PB是异面直线.(2)取BC的中点F,连接EF, AF,则EF/ PR / AEF或其补角)就是异面直线 AE和PB 所成的角. / BAC= 60 ,PA= AB= AC= 2, P

16、AL 平面 ABCAF= 3, AE= 2, EF= 2,AE2+ EF2-AF2 2+2 31cos / AEF= - j= ,2 , AE- EF2X、J2xyf2 4一,人、1即异面直线AE和PB所成角的余弦值为4.1,判断空间线面关系命题的真假,是一类常见的客观题.解这类题,一要准确把握、理解相关概念;二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法;三要借助空间直观.如教室就 是一个长方体,建议同学们学立体几何时充分借助这一模型.2 .要重视三种数学语言一一文字语言、符号语言、图形语言的互译,特别要培养准确 使用符号语言的能力.在空间图形中,点是最基本的元素,点与线、点与面是元素与集合的关系,直

17、线与平面是集合与集合的关系,防止出现符号“? ”混用的错误.3 .求两条异面直线所成角的步骤是:先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一 条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线,即 平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问 题;证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角;计算,一般在一个三角形 中求解,这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决,如果计算出来的角是钝角,则需要冗 转化为相应的锐角,因为异面直线所成角的范围是0,三.4”证明“线共面”或者“点共面”问题时,可以先由部分直线或者点确定一个平面, 再证明其余

18、的直线或者其余的点也在这个平面内.5”证明“点共线”问题时,可以将这些点看做是两个平面的交线上的点,只要证明这 些点是两个平面的公共点,根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上,即点共线 .1. ( 2015 湖北)11, l 2表示空间中两条直线,若p: l 1, 12是异面直线;q: 11, l 2不相交,则()A. p是q的充分条件,但不是 q的必要条件B. p是q的必要条件,但不是 q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件,也不是 q的必要条件解:由11, 12是异面直线可得11, 12不相交,所以p? q;由11, 1 2不相交,可得11,1 2可能是异面直

19、线或11 / 12, qp.所以p是q的充分不必要条件.故选 A2.如图,点P、Q R S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ与RS是异面直线的一个图是()解:A, B中PQ爽RS D中直线PQ与RS相交(或RP/ SQ ,即直线 PQ与RS共面,均 不满足条件;C中的直线PQ与RS是两条既不平行,又不相交的直线,即直线PQ与RS是异面直线故选C.3. (2015 太原检测)已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与1()A,平行 B .相交 C .垂直 D .异面解:直线1与平面a相交时,在平面 a内不存在与1平行的直线,A错误;1 / a 时,在平面a内不存在与1相交的

20、直线,B错误;1? a时,在平面a内不存在与1异 面的直线,D错误.无论哪种情形,在平面 a内都有无数条直线与1垂直.故选C.4.直三棱柱 ABCABC中,若/BA仔90° , AB= AC= AA,则异面直线 BA与AC所成 的角等于 ()D 90°C 60°B 45°A 30°解:延长CA到D,使彳导AD= AC连接AiD, BQ则四边形 ADACi为平行四边形,/ DAB就是异面直线 BA与AC所成的角,又4AiDB为等边三角形,/ DAB= 60。.故选C5 如图 , 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, 下列结论 错误 的是 ()

21、A. AC/平面 ABCDB. AC,BDC. AC与 CD 45° 角D. AC与BC成60°角解:由AC/AC AC?平面 ABCD AC?平面 ABCD知AC/平面 ABCD A正确;由BDL平面ACCAi知BDLAC, B正确;由 AD/ BiC可知,/ DAC为AC与BiC所成的夹角, 又DAC为等边三角形,DAC=60° .故选C6. (2015 广东执信中学期中)如图所示,正方体ABCDABCD中,点P在侧面BCCB 及其边界上运动,并且总是保持 APL BD,则动点P的轨迹是()A 线段BiCB 线段BCiC BBi 的中点与CCi 的中点连成的线

22、段D. BC的中点与BC的中点连成的线段19 / 26解:连接AB, AC BD BiC, AB 在正方体 ABCDAiBCD中,易证Ad平面BDD, AB±平面BAD. ACLBD, ABXBD.又 AS AB= A,,BD,面 ABC,. . BD± BiC,从而动点 P的轨迹是线段BC故选A.7 .如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上,且AB/ CD正方体的六个面所在的平面与直线CE, EF相交的平面个数分别记为m, n,那么m+ n =解: 直线 CE 在正方体的下底面内,与正方体的上底面平行,与正方体的左右两个侧面、前后两个侧面都相交,故m= 4.取C

23、D的中点G,易证平面EFG与正方体的左右两个侧面平行,直线 EF与正方体的左右两个侧面平行.易知EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线 EF显然与正方体的上下两个底面相交,故n=4.综上可知n=8.故填8.8 . (2015 浙江)如图,在三锥 A-BCD 中,AB= AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2,点 M N分别是AD BC的中点,则异面直线 AN CM所成的角的余弦值是 .2i / 2624 / 26ME AN异面直线 AN CM所成的解:连接ND取 ND的中点为 E,连接 ME EC则角即为/ EMC或

24、其补角),. AN= 2 2, CN= 1, .ME= 2.又 CM= 2 2, NE= 2CE= . 3ME4 CM2- CE2cos / EMC= _ _2ME- CM2 + 837 7= 2xV2x2V2 =8. 故填8.9.如图,已知正方体 ABCDA' B' C D'(1)哪些棱所在直线与直线 BA'是异面直线?(2)直线BA和CC的夹角是多少?(3)哪些棱所在的直线与直线 AA垂直?解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD DC CC , DD , D' C' , B' C'所在直线 分别与直线BA是异面直线.(2)由

25、BB'/ CC可知,/B'BA'为异面直线BA与 CC的夹角,/B'BA'=45° ,所以直线 BA与CC的夹角为45°(3)直线 AB BC CD DA A' B' , B' C' , C D' , D' A 分别与直线 AA 垂直.10.如图,设E, F, G H, P, Q分别是正方体 ABCDA1BCD所在棱上的中点,求证:E, F, G, H, P, Q共面.证明:连接 AiCi, GQ EH . E, F, G Q分别是 AD, DC, CC, AA 的中点,. EF/AiC / QG同理FG/ EH 设 E, F, G, Q确定平面a > F> G H> E确定平面3 , 由于a与B都经过不共线的三点 E, F, G故a与B重合, 所以E, F, G H, Q五点共面.同理可证E, F, G P, Q五点共面. 所以E, F, G H, P, Q共面.11 .如图,在四棱锥 P-ABCDL底面ABCO边长为2的菱形,/ DAB= 60° ,对角线 AC与BD于点 Q PO

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