【全程复习方略】2013版高中数学9.5几何概型课时提能训练苏教版

1、【全程复习方略】 2013 版高中数学9.5几何概型课时提能训练苏教版(45分钟100分)一、填空题 ( 每小题 5 分，共 40 分 )1.(2012 ·哈尔滨模拟 ) 已知函数 f(x)=lnx ，在区间 1，3上任取一点 x, 使得 f(x) 0 的概率为 _.x22. 四边形 ABCD为长方形， AB 2， BC1， O为 AB 的中点 . 在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于 1 的概率为 _.3. 在 Rt ABC中， A 90°， AB 1，BC 2. 在 BC边上任取一点M，则 AMB 90°的概率为 _.4.(2012 

2、3;徐州模拟 ) 已知正方形的四个顶点分别为O(0， 0) ， A(2 ，0) ， B(2， 2) ， C(0， 2) ，直线 y=1-2x与 x 轴、 y 轴围成的区域为M.在正方形 OABC内任取一点 P，则点 P 恰好在区域 M内的概率为 _.5. 已知 k 2,2 ，则 k 的值使得过 A(1,1) 可以作两条直线与圆x2 y2kx 2y 5k 0 相切的概率等4于 _.6.(2012 ·南京模拟 ) 把一根均匀的木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2 倍”的概率为 _.7.(2012 ·南通模拟 ) 设函数 y f(x)在区间 0,1上的图象

3、是连续不断的一条曲线，且恒有0 f(x) 1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y f(x) 及直线 x 0，x 1，y0 所围成部分的面积S. 先产生两组 ( 每组 N 个 ) 区间0,1 上的均匀随机数x1 ，x2 ，xN 和 y1，y2，yN，由此得到 N个点 (x i ，yi )(i 1,2，N). 再数出其中满足 y f(xi)(i 1,2 ， N)的点数 N，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为 _.i18. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 _.二、解答题 ( 每小题 15 分，共 45 分

4、 )9. 甲打靶射击，有4 发子弹，其中有一发是空弹.(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率 ;(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5 的弹孔 P,Q,R ，第四枪瞄准了三角形 PQR射击 , 第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小 ).10.投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是 2，两个面标的数字是4. 将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点- 1 -P 的横坐标和纵坐标.(1) 求点 P 落在区域

5、C： x2 y2 10 上的概率；(2) 若以落在区域C：x2 y2 10 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域 C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率 .11. 将长为 1 的木棒随机折成 3 段，求 3 段构成三角形的概率 .【探究创新】(15 分 ) 在区间 0,1 上任意取两个实数a， b，求函数 f(x) 1 x3 ax b 在区间 1,1 上有且仅有2一个零点的概率.答案解析1. 【解析】 由 f(x) 0 得 lnx 0，x即 lnx 0 得 x 1，又 x 1 ， 3， P= 3124 .2315522答案： 452. 【解析】 如图，根据几何概型的概率公式得

6、概率为S阴影2 112P2 S长方形 ABCD21.4答案： 1-43. 【解析】 如图，在Rt ABC中，作 AM BC，M为垂足 .1由题意知： AB 1， BC 2，可得 BM 1，则 AMB90°的概率为：P 2 1.224答案： 144. 【解题指南】本题属于几何概型问题，如图正方形的边长为2，面积为 4，直线 y=1-2x 与 x 轴、 y 轴围- 2 -成的区域M为图中阴影部分的直角三角形，面积为1×1×1=1，根据几何概型的概率计算公式可求.224【解析】 如图，正方形的边长为2，面积为 4，直线 y=1-2x 与 x 轴、 y 轴围成的区域M为图

7、中阴影部分的直角三角形，面积为11 × 1 × 1= 1 ，根据几何概型的概率计算公式可得P= 41.224416答案： 116【变式备选】 若 a，b 在区间 0， 3 上取值，则函数f(x) ax3 bx 2ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是 _.【解题指南】 f(x) 在 R 上有两个相异极值点的充要条件是a 0 且其导函数的判别式大于0.【解析】 易得 f (x) 3ax2 2bx a，函数 f(x) ax3 bx2 ax 在 R 上有两个相异极值点的充要条件是a0 且其导函数的判别式大于0，即 a0 且 4b2 12a2>0，又 a，b 在区间 0，

8、3 上取值，则 a>0，b>3 a，满足点 (a ，b) 的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为3 ，故所求的概率是3 .26答案：365. 【解题指南】 由过 A(1,1)可以作两条直线与圆x2 y2 kx 2y 5 k 0 相切，可得点A 在圆外，由此4可得 k 的取值范围 .【解析】 圆的方程化为(x k ) 2 (y 1) 22- 3 - 5k k 2 1，44 5k k2 4>0， k< 4 或 k>1.过 A(1,1) 可以作两条直线与圆k225kk 2(x ) (y 1) 1 相切，244225k k2 1， A(1,1

9、) 在圆外，得 (1 k ) (1 1)>244 k<0，故 k ( 1,0) ，其区间长度为1，因为 k 2,2 ，其区间长度为4，所以 P 1 .答案： 1446. 【解析】 如图所示，将一根木棒三等分，则在线段AB中或线段CD中拆开时满足条件，则概率 P= 2 .3答案： 237. 【解析】 这种随机模拟的方法是在0,1 内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1 个，所以根据比例关系S N 1 ，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N1 .S正方形NNN 1答案：N【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤：(1)用计算器或计算机产生一系列0,1 内的随机数

10、；(2)经平移和伸缩变换， x (b a)x 1 a， y (d c)y 1 c，使得随机数x 的范围在 a， b内，随机数 y的范围在 c， d内；(3) 统计落在所求区域内的随机数组(x ， y) 的个数 N(有时需计算检验 );(4) 应用公式S = N ·S 计算近似的面积，其中 S 为相应矩形面积(b a) × (d c) ，M为总的随机数组(x ，My) 的个数， S为所求图形 ( 往往是不规则 ) 的面积的近似值 .8. 【解题指南】本题实质上就是硬币与两条平行线相离，故可转化为硬币中心到直线的距离问题.【解析】 把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件

11、A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近- 4 -的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM的长度 ( 记作 |OM|) 的取值范围就是0,a ，只有当r |OM| a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是(r,a 的长度arP(A)=a. ， 的长度0a答案： ara9. 【解析】 设四发子弹编号为0( 空弹 ) ，1， 2， 3，(1) 设第一枪出现“空弹”的事件为1A，第一枪有 4 个基本事件 , 则： P(A)= .4(2) 方法一 : 前三枪出现“空弹”的事件为B, 则第四枪出现“空弹”的事件为B ,那么 P( B )=P(A) ，P(B)=1-P(B )

12、=1-P(A)=1-1=3.44方法二 : 前三枪共有 4个基本事件 0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3,满足条件的有三个, 则P(B)= 3.4(3)Rt PQR的面积为6， 分别以 P,Q,R 为圆心、 1 为半径的三个扇形的面积和为,2设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1 的事件为C,P(C)=6121.10. 【解析】 (1) 点 P 的坐标有： (0,0)，(0,2)， (0,4)，(2,0) ， (2,2) ， (2,4) ， (4,0) ，612(4,2) ， (4,4) ，共 9 种，其中落在区域 C： x2 y2 10上的点 P 的坐标有： (0,0)，(0,2

13、)， (2,0)， (2,2) ，共4 种 .故点 P 落在区域 C：x2 y2 10 上的概率为 4 .92 .(2) 区域 M为一个边长为 2 的正方形，其面积为 4，区域 C的面积为10 ，则豆子落在区域 M上的概率为511. 【解题指南】 设出其中两边，再根据任意两边之和大于第三边构造不等式求解.【解析】 设事件 A 表示“ 3 段构成三角形” ， x,y分别表示其中两段的长度，则第3 段的长度为1x y，则试验的全部结果可构成集合=(x,y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y<1，要使 3 段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第 3 段，即 x+y>1 x y? x+y> 1 ,x+1 x y>y? y< 1 ,y+1 x y>x? x< 1 .222故所求结果构成集合 A=(x,y)|x+y>1 ,y<1 ,x<1 .222- 5 -由图可知，所求概率为112P(A)= A的面积（）1 .22的面积12421【探究创新】【解析】 f (x) 3 x2a 0，故函数f(x) 1 x3 ax b 在区间 1,1 上有且仅有一个零点等价于22f